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FORMULES.

valeur, $\mu ={\frac {1}{\lambda }}$ rend la quantité qui est sous le radical égale à un carré, on substitue dans cette quantité ${\frac {1}{\lambda }}+r$ à la place de $\mu$ ; elle deviendra, par cette substitution,

${\frac {1}{\lambda ^{2}}}\left\{(\lambda -1)^{4}-2\lambda (\lambda -1)^{2}(4\lambda -1)k-\lambda ^{2}(4\lambda ^{3}-16\lambda ^{2}+12\lambda +1)k^{2}+4\lambda ^{4}(\lambda -1)k^{3}\right\}$

et, en égalant son second facteur au carré $\left[(\lambda -1)^{2}-k\gamma \right]^{2}$ ou

$(\lambda -1)^{4}-2k\gamma (\lambda -1)^{2}+k^{2}\gamma ^{2}$

on trouvera $k=\lambda (4\lambda -1),\;\gamma ={\tfrac {\lambda ^{2}+1}{\lambda (\lambda -1)}},\;\mu ={\tfrac {\lambda +1}{\lambda -1}}{\text{ et }}\ldots$

$\phi ={\tfrac {\lambda ^{2}+2\lambda -1\pm (3\lambda ^{2}+2\lambda +1)}{4(\lambda -1)}}{\text{ ou }}\phi ={\tfrac {\lambda (\lambda +1)}{\lambda -1}}{\text{ et }}\phi =-{\tfrac {\lambda ^{2}+1}{2(\lambda -1)}}$. La seconde valeur de $\phi$ conduira à l’équation principale :

$\left.{\begin{aligned}\left[x-{\frac {\lambda ^{2}+1}{2}}\right]&\left[x+{\frac {\lambda ^{2}-2\lambda -1}{2(\lambda -1)}}\right]\times \\\\\left[x-{\frac {(\lambda +1)(\lambda ^{2}+1}{2\lambda (\lambda -1)}}\right]&\left[x-{\frac {(\lambda +1)(\lambda ^{2}-2\lambda -1)}{4\lambda }}\right]\end{aligned}}\right\}=0$

qui, en multipliant toutes ses racines par $4\lambda (\lambda -1)$, devient :

$\left.{\begin{aligned}\left[x-2\lambda (\lambda -1)(\lambda ^{2}+1)\right]&\left[x+2\lambda (\lambda ^{2}-2\lambda -1)\right]\times \\\left[x-2(\lambda +1)(\lambda ^{2}+1)\right]&\left[x-(\lambda ^{2}-1)(\lambda ^{2}-2\lambda -1)\right]\\\end{aligned}}\right\}=0$

équation dont la résultante a aussi des racines commensurables. Par la première valeur de $\phi$ on reviendra aux équations déjà trouvées ( n.^o 16, 1.^o)

19. Lorsqu’on a, pour un degré quelconque, une équation principale et sa résultante dont les racines sont des nombres rationnels, on peut, par leur moyen, trouver deux autres équations qui, ayant également des racines commensurables, ne diffèrent entre elles que par leur dernier terme, soit que ce dernier terme doive être dans