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LOGARITHMIQUES.

17. Si, au lieu de tirer de l’équation $\mathrm {M}$ la valeur de p, on prend celle de $\phi$, on aura :

$\textstyle \phi =-{\frac {2\lambda \mu -\lambda -\mu \pm {\sqrt {\lambda ^{2}-2\lambda \mu -(4\lambda ^{3}-4\lambda ^{2}-1)\mu ^{2}+4\lambda ^{2}(\lambda -1)\mu ^{3}}}}{2(\lambda -1)(\mu -1)}}$

et, en égalant la quantité soumise au radical à $(\lambda -k\mu +h\mu ^{2})^{2}$

$\lambda ^{2}-2k\lambda \mu +(2h\lambda +k^{2})\mu ^{2}-2hk\mu ^{3}+\mu ^{4}$

les coefficiens de $\mu {\text{ et de }}\mu ^{2}$, supposés égaux de part et d’autre, donneront $k=1{\text{ et }}h=-2\lambda (\lambda -1)$. On trouvera ensuite fort aisément $\mu ={\frac {1}{\lambda }}{\text{ et }}\phi ={\frac {(\lambda -1)^{2}\mp (\lambda -1)^{2}}{2(\lambda -1)^{2}}}{\text{ ou }}\phi =0{\text{ et }}\phi =1$. Enfin, en substituant respectivement ${\frac {1}{\lambda }}{\text{ et }}1$ à la place de $\mu {\text{ et }}\phi$ dans l’équation $\mathrm {L}$ ; on parviendra à l’équation principale :

$\left[x+{\frac {\lambda -1}{\lambda }}\right]\left[x+{\frac {\lambda +1}{\lambda }}\right]\left[x-{\frac {\lambda -1}{\lambda ^{2}}}\right]\left[x+{\frac {\lambda +1}{\lambda ^{2}}}\right]=0$

qui, en multipliant toutes ses racines par $\lambda ^{2}$, devient :

$\left[x+\lambda (\lambda -1)\right]\left[x+\lambda (\lambda +1)\right]\left[x-(\lambda -1)\right]\left[x+(\lambda +1)\right]=0$

et a pour résultante :

$x^{2}\left[x+\lambda ^{2}+1\right]^{2}=0$

Ces deux équations ne sont autre chose que les équations $\mathrm {K}$ du n.^o 14, et les reproduisent en faisant $\lambda ={\frac {a}{b}}$ multipliant ensuite toutes les racines par $b^{2}$.

18. On pourrait maintenant, à l’aide des valeurs obtenues dans les deux derniers n.^os pour les indéterminées $\phi {\text{ et }}\mu$, avoir d’autres valeurs qui satisferaient également à la question. Pour en donner un exemple, supposons qu’ayant trouvé dans le n.^o précédent que la