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PROPRIÉTÉS.


d’où l’on doit conclure que les trois droites , passent par un même point qui est leur milieu commun.

2. Il suit de là que, dans tout tétraèdre, les droites qui joignent les milieux des arêtes opposées passent toutes trois par un même point qui est leur milieu commun[1].

3. Le point où se coupent les droites qui joignent les milieux des arêtes opposées d’un tétraèdre est le centre de gravité du volume de ce tétraèdre.

Que l’on conçoive, en effet, le tétraèdre partagé un une infinité de triangles élémentaires dont les plans soient parallèles à l’une de ses faces ; si, par le milieu de l’un quelconque des côtés de cette face et par l’arête opposée, l’on conçoit un plan, ce plan, coupant chaque triangle élémentaire suivant la droite qui joint son sommet au milieu de sa base, contiendra son centre de gravité ; il contiendra donc aussi le centre de gravité du tétraèdre ; ce dernier point est donc à l’intersection de trois plans conduits par les arêtes d’une même face et par les milieux des arêtes qui leur sont respectivement opposées : or, comme chacun de ces plans contient une des droites qui joignent les milieux des arêtes opposées, il s’ensuit que le point d’intersection de ces trois droites n’est autre que le point d’intersection des trois plans, c’est-à-dire, le centre de gravité du tétraèdre.

4. À l’avenir nous appellerons axes d’un tétraèdre, les trois droites qui joindront les milieux de ses arêtes opposées ; le point où ces axes se couperont sera le centre du tétraèdre ; les trois plans conduits par les axes, pris deux à deux, seront les plans principaux et détermineront, dans le tétraèdre, les sections principales, lesquelles seront toutes trois des parallélogrammes ayant deux des axes pour leur diagonales, et ayant, pour les deux côtés d’un même angle, des parallèles aux deux arêtes opposées du tétraèdre que le plan de la section ne rencontre pas. Chaque plan principal partage le tétraèdre en

  1. Voyez la Correspondance sur l’école polytechnique, tome II, n.° 1, pag. 1.re, el n. 2, pag. 96.
    (Note des éditeurs.)