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NOTE COMMUNIQUÉE.

En substituant ces valeurs dans les formules générales données ci-dessus, et y faisant ensuite $z=1,2,3,4,\ldots ,$ on trouve

${\begin{array}{lrrr}y=&7,&70,&1393,&27790,\ldots \\x=&0,&21,&420,&8379,\ldots \\\end{array}}$

comme on le voit dans le mémoire de M. Kramp (pag. 285).

Si l’on met l’équation $y^{2}-11x^{2}=49$ sous cette forme

${\tfrac {y^{2}}{49}}-11{\tfrac {x^{2}}{49}}=1,$

en posant

${\tfrac {y}{7}}=y',\quad {\tfrac {x}{7}}=x',$

on aura à résoudre l’équation

$y'^{2}-11x'^{2}=1.$

Si l’on en cherchait les solutions en nombres entiers, on trouverait, comme ci-dessus, $y'=10,x'=3.$

Mais, si l’on cherche les valeurs fractionnaires qui peuvent y satisfaire, on en trouvera plusieurs parmi celles-ci qui auront l’avantage de donner, pour $y$ et $x$, des nombres entiers essentiellement différens de ceux qui ont déjà été déterminés. De ce nombre sont les valeurs

$\left.{\begin{aligned}y'&={\tfrac {15}{7}},\\x'&={\tfrac {4}{7}}~;\\\end{aligned}}\right\}$ d’où $\left\{{\begin{aligned}y&=15,\\x&=4~;\\\end{aligned}}\right.$

$\left.{\begin{aligned}y'&={\tfrac {18}{7}},\\x'&={\tfrac {5}{7}}~;\\\end{aligned}}\right\}$ d’où $\left\{{\begin{aligned}y&=18,\\x&=5~;\\\end{aligned}}\right.$

Prenant successivement ces deux systèmes de valeurs pour $Y$ et $X,$ on formera les deux nouvelles séries de valeurs correspondantes que voici

${\begin{array}{lrrr}y=&15,&282,&5625,\ldots \\x=&4,&85,&1696,\ldots \\\hline y=&18,&345,&6882,\ldots \\x=&5,&104,&2075,\ldots \\\end{array}}$

comme l’indique M. Kramp dans sa lettre insérée à la page 319.

On voit donc que l’existence des deux dernières séries de valeurs dont parle M. Kramp, et qui comme les premières, résolvent l’équa-