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RÉSOLUES.

première avec $yr$ en $k$, la seconde avec $st$ en $l$, et la troisième avec $xu$ en $m$ ; je mène $ka,lb,mc$ qui, par leur rencontre, forment le triangle $\mathrm {ABC}$ ; enfin je tire $ao,bp,cq.$

2.^o Il est d’abord évident que le point $o$ est le pôle de $\mathrm {BC}$ ; car $ao$ est la corde des tangentes issues du point $k$, et $ko$ serait celle des tangentes issues du point $a$ ; par de semblables considérations, on s’assurera que $p$ et $q$ sont respectivement les pôles de $\mathrm {AC}$ et $\mathrm {AB}$.

3.^o Par une propriété connue de l’hexagone inscrit à une courbe du second degré, les trois points $k,l,m$ sont sur une même ligne droite^[1] ; mais $ao,bp,cq$ sont évidemment les cordes de contact des paires de tangentes issues des points $k,l,m$, respectivement ; donc ces trois droites se coupent en un point unique $d$, pôle de la droite $klm$.

4.^o Dans le quadrilatère $tuxy$, la diagonale $uy$ doit être divisée par les droites $tu,xy,cm$ en segmens proportionnels^[2], ou, en d’autres termes harmoniquement, donc les quatre droites $ca,cq,cb,c\mathrm {A}$ sont des droites harmoniques qui conséquemment doivent couper harmoniquement toute droite qui ne passe pas par leur point de concours $c$^[3]. Pour de semblables raisons, le système des droites $ac,ao,ab,a\mathrm {C} ,$ et le système des droites $ba,bp,bc,b\mathrm {A} ,$ sont des systèmes de droites harmoniques.

5.^o Soit $\alpha$ l’intersection de $ao$ avec $bc$, et soient désignées respectivement par $\mathrm {A',A''}$ les intersections de la même droite avec $\mathrm {AB}$ et $\mathrm {AC}$^[4]. D’abord (4.^o) $ao$ sera divisée harmoniquement en $a,d,\alpha ,\mathrm {A'}$, par les harmoniques $ca,cq,cb,c\mathrm {A}$ ; ensuite la même droite se trouvera encore harmoniquement divisée en $a,d,\alpha ,\mathrm {A''}$, par les harmoniques $ba,bp,bc,b\mathrm {A} ~;$ or quand, sur une même droite, deux systèmes

1. Voyez, ci-dessus, la note qui termine la première solution du second problème (pag. 335).
2. Voyez l’essai sur la théorie des transversales, à la suite du beau mémoire de Carnot sur la relation entre cinq points dans l’espace, Théorème vi.
3. Voyez le même ouvrage, Théorème vii.
4. On n’a point dû, dans la figure, désigner ces points que l’on va prouver n’être autres que le point $\mathrm {A}$.