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QUESTIONS.

${\begin{array}{lll}\operatorname {Cos} .(\mathrm {A} _{1}+\mathrm {A} _{2}+\dots +\mathrm {A} _{n-1})&=\operatorname {Cos} .\mathrm {A} _{n},&\operatorname {Cos} .(\mathrm {A} _{1}+\mathrm {A} _{2}+\dots +\mathrm {A} _{n-2})&=\operatorname {Cos} .(\mathrm {A} _{n-1}+\mathrm {A} _{n}),\dots ,\\\operatorname {Cos} .(\mathrm {A} _{2}+\mathrm {A} _{3}+\dots +\mathrm {A} _{n})&=\operatorname {Cos} .\mathrm {A} _{1},&\operatorname {Cos} .(\mathrm {A} _{2}+\mathrm {A} _{3}+\dots +\mathrm {A} _{n-1})&=\operatorname {Cos} .(\mathrm {A} _{n}+\mathrm {A} _{1}),\dots ,\\\operatorname {Cos} .(\mathrm {A} _{3}+\mathrm {A} _{4}+\dots +\mathrm {A} _{1})&=\operatorname {Cos} .\mathrm {A} _{2},&\operatorname {Cos} .(\mathrm {A} _{3}+\mathrm {A} _{4}+\dots +\mathrm {A} _{n})&=\operatorname {Cos} .(\mathrm {A} _{1}+\mathrm {A} _{2}),\dots ,\\\end{array}}$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

on pourra aussi, si l’on veut, employer l’équation

$\mathrm {A} _{1}+\mathrm {A} _{2}+\mathrm {A} _{3}+\dots +\mathrm {A} _{n}=2\varpi ~;$

mais en se rappelant qu’elle se trouve comportée par les $n$ équations ci-dessus.

Si, par exemple, on n’a que trois points donnés, il viendra

$\operatorname {Cos} .\mathrm {A} _{1}+\operatorname {Cos} .\mathrm {A} _{3}=-1,\quad \operatorname {Cos} .\mathrm {A} _{2}+\operatorname {Cos} .\mathrm {A} _{1}=-1,\quad \operatorname {Cos} .\mathrm {A} _{3}-\operatorname {Cos} .\mathrm {A} _{2}=-1\ ;$

d’où$\qquad \qquad \operatorname {Cos} .\mathrm {A} _{1}=\operatorname {Cos} .\mathrm {A} _{2}=\operatorname {Cos} .\mathrm {A} _{3}=-{\frac {1}{2}}$ ;

et partant,$\qquad \qquad \mathrm {A} _{1}=\mathrm {A} _{2}=\mathrm {A} _{3}={\frac {2}{3}}\varpi$.

Si l’on a quatre points, les équations seront

${\begin{aligned}\operatorname {Cos} .\mathrm {A} _{1}+\operatorname {Cos} .(\mathrm {A} _{1}+\mathrm {A} _{2})+\operatorname {Cos} .\mathrm {A} _{4}&=-1,\\\operatorname {Cos} .\mathrm {A} _{2}+\operatorname {Cos} .(\mathrm {A} _{2}+\mathrm {A} _{3})+\operatorname {Cos} .\mathrm {A} _{1}&=-1,\\\operatorname {Cos} .\mathrm {A} _{3}+\operatorname {Cos} .(\mathrm {A} _{1}+\mathrm {A} _{2})+\operatorname {Cos} .\mathrm {A} _{2}&=-1,\\\operatorname {Cos} .\mathrm {A} _{4}+\operatorname {Cos} .(\mathrm {A} _{2}+\mathrm {A} _{3})+\operatorname {Cos} .\mathrm {A} _{3}&=-1~;\end{aligned}}$

équations entre lesquelles éliminant les deux quantités $\operatorname {Cos} .(\mathrm {A} _{1}+\mathrm {A} _{2})$ et $\operatorname {Cos} .(\mathrm {A} _{2}+\mathrm {A} _{3})$, il viendra

$\qquad \qquad \left.{\begin{array}{rl}\operatorname {Cos} .\mathrm {A} _{1}&=\operatorname {Cos} .\mathrm {A} _{3},\\\operatorname {Cos} .\mathrm {A} _{2}&=\operatorname {Cos} .\mathrm {A} _{4}~;\end{array}}\right\}\quad$ d’où $\quad \left\{{\begin{array}{rl}\mathrm {A} _{1}&=\mathrm {A} _{3},\\\mathrm {A} _{2}&=\mathrm {A} _{4}~;\end{array}}\right.$

M. Lhuilier, étendant les procédés du calcul différentiel à des points situés d’une manière quelconque dans l’espace, parvient, à leur égard, au même principe général, c’est-à-dire, qu’il prouve que le point dont la somme des distances à des points donnés dans l’espace est la plus petite, doit être tellement située que la somme des cosinus des angles que formeront, avec une droite quelconque, les droites menées ce point aux points donnes soit zéro.