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INCOMMENSURABILITÉ.
Soient les deux séries correspondantes
assujéties aux conditions qui viennent d’être exposées.
On suppose reconnue que, si deux termes 
de l’une quelconque des séries, sont commensurables entre eux, ils ont, avec leurs correspondans dans l’autre série, la relation
et il s’agit de démontrer que, si deux autres termes 
, de l’une quelconque des séries sont incommensurables, ils auront également, avec leurs correspondans dans l’autre série, la relation
La proposition sera vraie, si l’on prouve généralement qu’on ne peut avoir un quelconque des deux rapports supérieur à l’autre ; par exemple,
Si, en effet, la relation 
pouvait exister, on devrait avoir
étant un terme choisi convenablement dans la seconde série et 
; or, quelque petite que puisse être d’ailleurs la différence 
, on peut concevoir, dans le numérateur 
, des parties égales encore plus petites ; et, en mesurant avec une de ces parties, on pourra former une quantité
c’est-à-dire, comprise entre et 
, et commensurable avec , laquelle devant nécessairement faire partie de la seconde série, aura
