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QUESTIONS.

Si les points donnés sont au nombre de $n$, il y aura $n$ équations dans chaque ligne ; on pourra donc tirer de celles de la première les valeurs des $n$ distances $a,b,c,d,\ldots$ lesquelles se trouveront toutes affectées du facteur $\lambda$, substituant ces valeurs dans les équations de la seconde ligne, et faisant, pour abréger, ${\frac {\mu }{\lambda ^{2}}}=\mathrm {N}$, on aura, entre les n angles inconnues $\mathrm {A,B,C,D,\dots ,}$ et la constante $\mathrm {N}$, $n$ équations qui donneront les valeurs de ces angles en fonction de $\mathrm {N}$ qu’on déterminera ensuite, en exprimant que les valeurs obtenues satisfont à l’équation $(3)$.

On voit par là que, bien que nous ayons supposé que c’était seulement l’aire $\mathrm {P}$ du polygone qui était donnée, les valeurs des angles $\mathrm {A,B,C,D,\dots ,}$ se trouvant délivrées de $\mathrm {P}$, ainsi que des distances $a,b,c,d,\dots ,$ nos résultats seront aussi exacts que s’ils eussent été déduits d’une analise en apparence plus rigoureuse.

Appliquons successivement ce procédé au triangle et au quadrilatère. On a 1.^o pour le triangle, les six équations

$a\operatorname {Sin} .\mathrm {A} +c\operatorname {Sin} .\mathrm {B} =\lambda ,\ b\operatorname {Sin} .\mathrm {B} +a\operatorname {Sin} .\mathrm {C} =\lambda ,\ c\operatorname {Sin} .\mathrm {C} +b\operatorname {Sin} .\mathrm {A} =\lambda ,\dots$

$ab\operatorname {Cos} .\mathrm {A} =\mu \quad bc\operatorname {Cos} .\mathrm {B} =\mu \quad ca\operatorname {Cos} .\mathrm {C} =\mu ,\dots$

Divisant les trois dernières deux à deux, il viendra

${\begin{array}{c}a\operatorname {Cos} .\mathrm {A} -c\operatorname {Cos} .\mathrm {B} =0,\\b\operatorname {Cos} .\mathrm {B} -a\operatorname {Cos} .\mathrm {C} =0,\\c\operatorname {Cos} .\mathrm {C} -b\operatorname {Cos} .\mathrm {A} =0.\end{array}}$

Comparant chacune de celles-ci à sa correspondante dans la première ligne, on en déduira ces doubles valeurs :

$a=\mathrm {\frac {\lambda \operatorname {Cos} .B}{\operatorname {Sin} .(A+B)}} ,\qquad b=\mathrm {\frac {\lambda \operatorname {Cos} .C}{\operatorname {Sin} .(B+C)}} ,\qquad c=\mathrm {\frac {\lambda \operatorname {Cos} .A}{\operatorname {Sin} .(C+A)}} ~;$

$a=\mathrm {\frac {\lambda \operatorname {Cos} .B}{\operatorname {Sin} .(B+C)}} ,\qquad b=\mathrm {\frac {\lambda \operatorname {Cos} .C}{\operatorname {Sin} .(C+A)}} ,\qquad c=\mathrm {\frac {\lambda \operatorname {Cos} .A}{\operatorname {Sin} .(A+B)}} ~;$

lesquelles, étant égalées entre elles, donneront

$\operatorname {Sin} .\mathrm {(A+B)} =\operatorname {Sin} .\mathrm {(B+C)} =\operatorname {Sin} .\mathrm {(C+A)}$