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FRACTIONS-CONTINUES

d’où l’on déduit, en faisant, pour abréger, $h=q^{2}-4pr,$

$\qquad \left.{\begin{array}{rll}{\sqrt {h\mathrm {L^{2}} +4p^{2}v}}&=2p\mathrm {M} -q\mathrm {L} &=q\mathrm {L} -2p\mathrm {N} ,\\{\sqrt {h\mathrm {O^{2}} +4r^{2}v}}&=2r\mathrm {M} -q\mathrm {O} &=q\mathrm {O} -2p\mathrm {N} ,\\{\sqrt {h\mathrm {M^{2}} +4prv}}&=q\mathrm {M} -2r\mathrm {L} &=q\mathrm {M} -2p\mathrm {O} ,\\{\sqrt {h\mathrm {N^{2}} +4prv}}&=2r\mathrm {L} -q\mathrm {N} &=2p\mathrm {O} -q\mathrm {N} .\end{array}}\right\}$ ^[1]

16. Les deux premières de ces formules servent à déterminer les valeurs entières des y qui peuvent rendre quarrée toute expression de la forme $my^{2}+n^{2},$ dans laquelle $m$ et $n$ sont supposés des nombres entiers quelconques. Comparant, en effet, cette expression à $h\mathrm {O} ^{2}+4r^{2}$ ^[2] ou $(q^{2}-4pr)\mathrm {O} ^{2}+4r^{2},$ on aura

\left.{\begin{aligned}(q^{2}-4pr)&=m,\\2r&=n;\\\end{aligned}}\right\}{\text{ d’où }}2p={\frac {q'-m}{n}}

il en résultera l’équation

m=n^{2}y^{2}-2nqy+q^{2},

^[3]

qui donne

y={\frac {q+{\sqrt {m}}}{n}}.

Ici, $q$ pourra être pris a volonté, et la quantité $\mathrm {O} =(\beta \epsilon )(\beta \mathrm {F} )-(\beta \zeta )(\beta \mathrm {E} )$ qu’on obtient, en développant en fraction-continue la fraction ${\frac {q+{\sqrt {m}}}{n}},$

\mathrm {(C)} \quad p\mathrm {M} ^{2}+p\mathrm {MN-qLM} =0,\qquad \mathrm {(D)} \quad r\mathrm {M} ^{2}+r\mathrm {MN} -q\mathrm {OM} =0,

\mathrm {(E)} \quad p\mathrm {M} ^{2}+p\mathrm {MN} -q\mathrm {LN} \ =0,\qquad \mathrm {(F)} \quad \ r\mathrm {N} ^{2}\,+r\mathrm {MN} -q\mathrm {ON} \,=0\,;

formant alors

\mathrm {(A)+(C)=0,\quad (A)+(E)=0,\quad (B)+(D)=0,\quad (B)+(F)=0,}

on obtiendra, en réduisant, les quatre équations de M. Kramp.

↑ Ces résultats s’obtiennent en résolvant successivement chacune des quatre équations par rapport à chacune des deux lettres qui s’y trouvent au quarré.
↑ L’auteur suppose tacitement ici $v=+1$ et conséquemment le nombre des bases périodiques pair.
↑ Cette équation s’obtient en substituant, dans l’équation $0=p-qy+ry^{2},$ les valeurs $p={\frac {q^{2}-m}{2n}}{\text{ et }}r={\frac {n}{2}}.$
(Notes des éditeurs.)

[1] Ces résultats s’obtiennent en résolvant successivement chacune des quatre équations par rapport à chacune des deux lettres qui s’y trouvent au quarré.

[2] L’auteur suppose tacitement ici $v=+1$ et conséquemment le nombre des bases périodiques pair.

[3] Cette équation s’obtient en substituant, dans l’équation $0=p-qy+ry^{2},$ les valeurs $p={\frac {q^{2}-m}{2n}}{\text{ et }}r={\frac {n}{2}}.$
(Notes des éditeurs.)

[1]

[2]

[3]