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PÉRIODIQUES.

or, comme (6)

${\begin{aligned}&\mathrm {(AQ+CP)} =(\alpha \zeta )\mathrm {(AE)} +(\alpha \epsilon \mathrm {(BE)} =(\alpha \mathrm {E} ),\\&\mathrm {(AS+CR)} \ =(\beta \zeta )\mathrm {(AE)} +(\beta \epsilon \mathrm {(BE)} =(\beta \mathrm {E} ),\\&\mathrm {(BQ+DP)} =(\alpha \zeta )\mathrm {(AF)} +(\alpha \epsilon \mathrm {(BF)} =(\alpha \mathrm {F} ),\\&\mathrm {(BS+DR)} \ =(\beta \zeta )\mathrm {(AF)} +(\beta \epsilon \mathrm {(BF)} =(\beta \mathrm {F} );\\\end{aligned}}$

on voit que l’équation en $y$ pourra être mise sous cette autre forme plus simple :

${\begin{aligned}0=&+(\alpha \epsilon )(\alpha \mathrm {F} )-(\alpha \zeta )(\alpha \mathrm {E} )\\&-(\alpha \epsilon )(\beta \mathrm {F} )y+(\alpha \zeta )(\beta \mathrm {E} )y\\&-(\beta \epsilon )(\alpha \mathrm {F} )y+(\beta \zeta )(\alpha \mathrm {E} )y\\&+(\beta \epsilon )(\beta \mathrm {F} )y^{2}-(\beta \zeta )(\beta \mathrm {E} )y^{2};\\\end{aligned}}$

donc, si l’on fait, pour abréger

${\begin{aligned}&\mathrm {L} \ =(\alpha \epsilon )(\alpha \mathrm {F} )-(\alpha \zeta )(\alpha \mathrm {E} ),\\&\mathrm {M} =(\alpha \epsilon )(\beta \mathrm {F} )y-(\alpha \zeta )(\beta \mathrm {E} )y,\\&\mathrm {N} \ =(\beta \epsilon )(\alpha \mathrm {F} )y-(\beta \zeta )(\alpha \mathrm {E} )y,\\&\mathrm {O} \ =(\beta \epsilon )(\beta \mathrm {F} )y^{2}-(\beta \zeta )(\beta \mathrm {E} )y^{2};\\\end{aligned}}$

il en résultera l’équation

$0=\mathrm {L-(M+N)} y+\mathrm {O} y^{2}.$

13. Les quatre coefficiens de cette équation, savoir $\mathrm {L,M,N,O,}$ sont liés entre eux par quelques relations générales qu’il importe de connaître.

Examinons d’abord la différence des deux coefficiens du milieu, savoir $\mathrm {-M+N}$ ; on a

$-\mathrm {M+N} =-(\alpha \epsilon )(\beta \mathrm {F} )+(\beta \epsilon )(\alpha \mathrm {F} )+(\alpha \zeta )(\beta \mathrm {E} )-(\beta \zeta )(\alpha \mathrm {E} )~;$

$or\left\{{\begin{aligned}&(\beta \epsilon )(\alpha \mathrm {F} )-(\alpha \epsilon )(\beta \mathrm {F} )=\mathrm {(AF)} u,\\&(\beta \zeta )(\alpha \mathrm {E} )-(\alpha \zeta )(\beta \mathrm {E} )=-\mathrm {(BE)} u,\\\end{aligned}}\right\}(7);$

donc

$-\mathrm {M+N} =u\left\{\mathrm {(AF)-(BE)} \right\}.$

Ainsi, la différence $\mathrm {-M+N}$ des deux coefficiens moyens est indépendante des bases initiales de la fraction et dépend simplement des bases périodiques ; elle est égale, dans tous les cas, à $\mathrm {(AF)-(BE)} ,$ affecté du signe plus ou du signe moins, suivant que le nombre des bases initiales est pair ou impair. La valeur absolue de cette diffé-