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QUESTIONS

$t={\frac {1}{\mathrm {K} ^{3}}}\left\{{\begin{array}{ll}-\mathrm {H} \left\{\left({\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} v}}\right)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} u^{2}}}-2{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} v}}{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} u\mathrm {d} v}}+\left({\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}\right)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} v^{2}}}\right\}\\+\mathrm {K} \left\{\left({\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} v}}\right)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}z}{\mathrm {d} u^{2}}}-2{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} v}}{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}z}{\mathrm {d} u\mathrm {d} v}}+\left({\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}\right)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}z}{\mathrm {d} v^{2}}}\right\}\\-\mathrm {G} \left\{\left({\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} v}}\right)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} u^{2}}}-2{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} v}}{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} u\mathrm {d} v}}+\left({\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}\right)^{2}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} v^{2}}}\right\}\\\end{array}}\right\}.$

Telles sont les formules demandées.

Quoique le procédé que nous venons d’employer, pour parvenir au but, ne laisse rien à désirer du côté de la brièveté, on pourrait lui reprocher d’être basé sur la considération des quantités infiniment petites $\mathrm {d} u{\text{ et }}\mathrm {d} v$ ; mais on peut le présenter sous une forme analogue à celle que l’illustre auteur de la Théorie des fonctions analitiques^[1] a indiquée pour le changement de la variable indépendante, dans les fonctions d’une seule variable ; ne reposant alors que sur la série de Tailor, il pourra être traduit dans toutes les notations. Voici ce qu’il faut faire pour cela.

Concevons qu’on fasse subir à $u$ et $v$ des accroissemens arbitraires et indépendans, respectivement désignés par $g$ et $h,$ on pourra, par la série de Tailor, développer les valeurs correspondantes de $x$ et $y,$ et en posant, pour abréger,

$\mathrm {G} ={\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} u}}{\tfrac {g}{1}}+{\tfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} v}}{\tfrac {h}{1}}+\cdots ,\quad \mathrm {H} ={\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} u}}{\tfrac {g}{1}}+{\tfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} v}}{\tfrac {h}{1}}+\cdots ,$

ces valeurs seront

$x+\mathrm {G} ,\quad y+\mathrm {H} ~;$

$z,$ comme fonction de $x$ et $y,$ deviendra donc

$z+p\mathrm {\tfrac {G}{1}} +q\mathrm {\tfrac {H}{1}} +\cdots ~;$

1. Voyez cet ouvrage, n.^o 200.