Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1810-1811, Tome 1.djvu/246

238

SURFACES.

$z=-{\frac {1}{2}}y+1\,;$

l’équation de la surface sera donc de la forme

$z=-{\tfrac {1}{2}}y+1\pm {\sqrt {\mathrm {\tfrac {(B^{2}-4AA')}{4A^{2}}} (y^{2}+2xy+{\tfrac {5}{9}}x^{2}-8y-{\tfrac {40}{9}}x+{\tfrac {116}{9}}4)}}$ ;

faisant, dans le polynôme en $xy,x=\mathrm {AO} =4,y=0,$ et égalant le radical à la valeur du demi-second-axe, supposée égale à 4, et rendue imaginaire, on trouvera

$\mathrm {{\tfrac {(B^{2}-4AA')}{4A^{2}}}=-1}$,

ce qui donnera, pour l’équation cherchée,

$36z^{2}+36zy+72xy+45y^{2}+20x^{2}-72x-324y-160x+500=0$,

16. Soient les deux droites $\mathrm {OS}$ et $\mathrm {OR}$ (fig. 4), considérées comme les traces, sur le plan des $xy,$ d’un système de deux plans tangens à la surface d’un cône, et projetant cette surface sur ce plan ; soient

$\mathrm {AD=3,\quad AE=6,\quad AC={\tfrac {3}{2}},\quad OC=3}$ ;

les droites $\mathrm {OS}$ et $\mathrm {OR}$ auront respectivement pour équations

$y+2x-6=0,\quad y-2x=0$.

Multipliant ces deux équations par ordre, on aura pour équation de la projection

$y^{2}-4x^{2}-6y+12x=0$.

Si l’on suppose maintenant que le plan-diamètre, en vertu des données convenables, ait pour équation

$z-4y-6x=0$,

l’équation de la surface conique sera de la forme

$z=4y+6x\pm {\sqrt {\mathrm {\tfrac {(B^{2}-4AA')}{4A^{2}}} (y^{2}-4x^{2}-6y+12x)}}$ ;

substituant, sous le radical, les valeurs de $\mathrm {AC}$ et $\mathrm {CO,}$ et égalant ce radical à zéro, on trouvera

$\mathrm {\tfrac {B^{2}-4AA'}{4A^{2}}} ={\tfrac {0}{0}}$ ;