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DU SECOND DEGRÉ.

le plan des $xy.$ Ces choses étant rappelées, nous pouvons passer aux exemples.

12. 2.^o Pour l’ellipsoïde. Soit $\mathrm {ILI'L'}$ (fig. 1) la projection, sur le plan des $xy,$ d’un ellipsoïde disposé de manière que son grand axe soit parallèle au plan des $xy,$ et élevé au-dessus de ce plan d’une quantité égale à 4. Soient

$\mathrm {AB=2,\quad AB'=4,\quad BI=1,\quad OL=1}$.

L’ellipse $\mathrm {ILI'L'}$ aura pour équation (2) :

$y^{2}-xy+{\tfrac {5}{4}}x^{2}-6x+8=0$.

Le plan-diamètre, parallèle au plan des $xy$, aura pour équation (10) :

$z=4$,

en sorte que l’équation de la surface sera de la forme

$z=4\pm {\sqrt {\mathrm {\frac {(B^{2}-4AA')}{4A^{2}}} (y^{2}-xy+{\tfrac {5}{4}}x^{2}-6x+8)}}$.

Il ne restera donc plus qu’à déterminer le facteur $\mathrm {\frac {B^{2}-4AA'}{4A^{2}}}$, ce qui se fera comme il suit.

Les coordonnées $x$ et $y,$ relatives au centre de l’ellipsoïde, sont ici

$\mathrm {AC=3,\quad CO={\tfrac {3}{2}}}$ ;

faisant donc $x=3,y={\tfrac {3}{2}},$ dans le polynome en $xy$ ci-dessus, la valeur du radical deviendra alors celle du demi-second-axe de la surface. Exécutant donc la substitution, et supposant le demi-second-axe égal à l’unité, il faudra poser

${\sqrt {\mathrm {\frac {(B^{2}-4AA')}{4A^{2}}} \times -1}}=1{\text{, d’où }}\mathrm {\frac {B^{2}-4AA'}{4A^{2}}} =-1$ ;

au moyen de quoi l’équation de la surface deviendra

$z=4\pm {\sqrt {-(y^{2}-xy+{\tfrac {5}{4}}x^{2}-6x+8)}}$,

ou

$4z^{2}-4xy+4y^{2}+5x^{2}-32z-24x+96=0$ ;