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RÉSOLUES.

Solution du problème énoncé à la page 128
de ce volume.

Par un Abonné.

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Énoncé. Deux points étant donnés, déterminer l’équation la plus générale des courbes planes qui, passant par ces deux points, sont telles que l’espace mixtiligne compris entre l’arc qui s’y termine et sa corde, soit équivalent à une surface donnée ?

Solution. Soit $\mathrm {P}$ et $\mathrm {P'}$ ces deux points, et rapportons-les à deux axes rectangulaires ou obliques ; soit alors (a, b) les coordonnées du premier, et $(\alpha ,\;\beta )$ celles du second.

On connaîtra ainsi le trapèze compris entre la droite qui joint ces deux points, leurs ordonnées et l’axe des x ; et l’aire de ce trapèze sera ${\tfrac {1}{2}}(b+\beta )(a-\alpha )$.

Puis donc que l’on connaît aussi l’aire du segment compris entre l’arc qui se termine à ces deux points et sa corde, on doit connaître également l’aire du quadrilatère mixtiligne compris par l’arc de courbe, les ordonnées des deux extrémités de cet arc et l’axe des abscisses : l’aire de ce quadrilatère étant la somme ou la différence de l’aire au trapèze et de celle du segment.

Soit donc représenté cette dernière quantité par $k^{2}$, et soit désigné par $\mathrm {F} ,\;f\;\phi$, trois fonctions absolument arbitraires, mais nécessairement différentes, de l’abscisse x ; soit enfin désigné par $\mathrm {F'} ,\;f'\;\phi '$, les coefficiens différentiels ou fonctions-primes de ces fonctions, l’équation demandée sera :

$\left\{(\mathrm {Fa} -\mathrm {F} \alpha )(f'a\phi '\alpha -f'\alpha \phi 'a)+(fa-f\alpha )(\phi 'a\mathrm {F'} \alpha -\phi '\alpha \mathrm {F'} a)+(\phi a-\phi \alpha )(\mathrm {F'} af'\alpha -\mathrm {F'} \alpha f'a)\right\}y$

$\quad =\left\{k^{2}(f'a\phi '\alpha -f'\alpha \phi 'a)+(fa-f\alpha )(\beta \phi 'a-b\phi '\alpha )+(\phi a-\phi \alpha )(bf'\alpha -\beta f'a)\right\}\mathrm {F'} x$

$\quad +\left\{k^{2}(\phi '\alpha \mathrm {\mathrm {F'} } \alpha -\phi '\alpha \mathrm {\mathrm {F'} } a)+(\phi a-\phi \alpha )(\beta \mathrm {\mathrm {F'} } a-b\mathrm {F'} \alpha )+(\mathrm {Fa} -\mathrm {F} \alpha )(b\phi '\alpha -\beta \phi 'a)\right\}f'x$

$\quad +\left\{k^{2}(\mathrm {F'} af'\alpha -\mathrm {F'} \alpha f'a)+(\mathrm {Fa} -\mathrm {F} \alpha )(\beta f'a-bf'\alpha )+(fa-f\alpha )(b\mathrm {F'} \alpha -\beta \mathrm {\mathrm {F'} } a)\right\}\phi 'x$^[1]

1. On propose de couvrir l’analise qui a pu conduire à ce résultat.