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DES PROBLÈMES DU PREMIER DEGRÉ.

chaque équation sera comportée par les deux autres, et deux quelconques pourront remplacer les trois.

24. Dans ce dernier cas, on pourra assigner les valeurs de ${\frac {x}{y}},\quad {\frac {y}{z}}$, et, par suite, celle de ${\frac {z}{x}}$. En faisant les substitutions convenables dans les formules de l’art. 21, on trouvera :

${\frac {x}{y}}={\frac {b+ac}{a+bc}},\quad {\frac {y}{z}}={\frac {a+bc}{1-c^{2}}},\quad {\frac {z}{x}}={\frac {1-c^{2}}{b+ac}}$ ;

${\frac {x}{y}}={\frac {1-a^{2}}{c+ab}},\quad {\frac {y}{z}}={\frac {c+ab}{b+ac}},\quad {\frac {z}{x}}={\frac {b+ac}{1-a^{2}}}$ ;

${\frac {x}{y}}={\frac {c+ab}{1-b^{2}}},\quad {\frac {y}{z}}={\frac {1-b^{2}}{a+bc}},\quad {\frac {z}{x}}={\frac {a+bc}{c+ab}}$ ;

De ces expressions on déduira encore les suivantes :

${\frac {x}{y}}={\frac {\sqrt {1-a^{2}}}{\sqrt {1-b^{2}}}},\quad {\frac {y}{z}}={\frac {\sqrt {1-b^{2}}}{\sqrt {1-c^{2}}}},\quad {\frac {z}{x}}={\frac {\sqrt {1-c^{2}}}{\sqrt {1-a^{2}}}}$ ;

valeurs qui peuvent être exprimées rationnellement, au moyen des formules précédentes.

24. Soient A, B, C, trois angles ; et, en supposant le rayon égal à l’unité, faisons

$a=\operatorname {Cos} .\mathrm {A} ,\quad b=\operatorname {Cos} .\mathrm {B} ,\quad c=\operatorname {Cos} .\mathrm {C}$ ;

les équations du problème seront

$\mathrm {(T)} \left\{{\begin{array}{ll}x=y\operatorname {Cos} .\mathrm {C} +z.\operatorname {Cos} .\mathrm {B} ,\\y=y\operatorname {Cos} .\mathrm {A} +x.\operatorname {Cos} .\mathrm {C} ,\\z=y\operatorname {Cos} .\mathrm {B} +y.\operatorname {Cos} .\mathrm {A} ;\\\end{array}}\right.$

et on aura, d’après les dernières formules,

${\frac {x}{y}}={\frac {\operatorname {Sin} .\mathrm {A} }{\operatorname {Sin} .\mathrm {B} }},\quad {\frac {y}{z}}={\frac {\operatorname {Sin} .\mathrm {B} }{\operatorname {Sin} .\mathrm {C} }},\quad {\frac {z}{x}}={\frac {\operatorname {Sin} .\mathrm {C} }{\operatorname {Sin} .\mathrm {A} }}$ ;

on pourra donc admettre que x, y, z, sont les trois côtés d’un triangle rectiligne, et $\mathrm {A,B,C,}$ les angles qui leur sont respectivement