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CARACTÈRES D’INDÉTERMINATION.

avec la relation

$ab'c''-ac'b''+ca'b''-ba'c''+bc'a''-cb'a''=0$ ;

ces équations n’équivaudront qu’à deux au plus ( art. 17) ; divisant donc par z, on pourra déterminer ${\frac {x}{z}}$ et ${\frac {y}{z}}$, et conséquemment aussi ${\frac {x}{y}}$, à l’aide de l’un des trois systèmes d’équations

$\left\{{\begin{array}{ll}a{\frac {x}{z}}+b{\frac {y}{z}}+c=0,\\a'{\frac {x}{z}}+b'{\frac {y}{z}}+c'=0;\\\end{array}}\right.\left\{{\begin{array}{ll}a'{\frac {x}{z}}+b'{\frac {y}{z}}+c'=0,\\a''{\frac {x}{z}}+b''{\frac {y}{z}}+c''=0;\\\end{array}}\right.\left\{{\begin{array}{ll}a''{\frac {x}{z}}+b''{\frac {y}{z}}+c''=0,\\a{\frac {x}{z}}+b{\frac {y}{z}}+c=0;\\\end{array}}\right.$

desquels on tirera :

$\left.{\begin{array}{ll}{\frac {x}{z}}=-{\frac {cb'-bc'}{ab'-ba'}},\quad {\frac {y}{z}}=-{\frac {ac'-ca'}{ab'-ba'}},\\{\frac {x}{z}}=-{\frac {c'b''-b'c''}{a'b''-b'a''}},\ {\frac {y}{z}}=-{\frac {a'c''-c'a''}{a'b''-b'a''}},\\{\frac {x}{z}}=-{\frac {cb''-bc''}{ab''-ba''}},\quad {\frac {y}{z}}=-{\frac {ac''-ca''}{ab''-ba''}},\\\end{array}}\right\}{\text{ et par suite }}\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {x}{y}}={\frac {cb'-bc'}{ac'-ca'}},\\{\frac {x}{y}}={\frac {c'b''-b'c''}{a'c''-c'a''}},\\{\frac {x}{y}}={\frac {cb''-bc''}{ac''-ca''}}~;\\\end{array}}\right.$

valeurs équivalentes, en vertu de la relation ci-dessus. Ces valeurs seront toutes déterminées, si chaque équation est comportée par les deux autres ; mais si, au contraire, deux des équations seulement reviennent l’une à l’autre, c’est-à-dire, si l’on se trouve dans le cas du 1.^o de l’art. 18, on trouvera pour un des systèmes

${\frac {x}{z}}={\frac {0}{0}},\quad {\frac {y}{z}}={\frac {0}{0}},\quad {\frac {x}{y}}={\frac {0}{0}}$.

Des circonstances analogues se présenteraient ; si l’on avait un plus grand nombre d’équations entre un pareil nombre d’inconnues.

22. Lorsqu’on a à résoudre un problème da premier degré qui, bien que son énoncé fournisse autant d’équations que d’inconnues, est néanmoins indéterminé, à raison des relations qui existent entre ses données ; si, pour déterminer les valeurs des inconnues, on a immé-