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COURBES.

L’asymptote $\mathrm {OS}$ aura pour équation :

$y=-2x+6$,

et celle de l’asymptote $\mathrm {OZ}$ sera :

$x=-3$,

d’où : $\qquad \qquad \qquad y+2x-6=0\quad {\text{et}}\quad x+3=0$.

Comme ces deux équations appartiennent au système commun des lignes $\mathrm {OS}$ et $\mathrm {OZ}$, on les combinera par voie de multiplication et l’on aura :

$xy+2x^{2}+3y-18=0$ ;

équation qui suffirait, si l’on ne cherchait qu’à représenter le système des asymptotes dont il s’agit ; mais, comme la courbe existe, il faut tenir compte des données que fournit sa situation. Or, on voit que l’équation finale doit être telle que, 1.^o si l’on y fait $x=0,$ on doit trouver :

$y=\mathrm {AK} ={\frac {8}{3}}$,

d’où : $\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad 3y-8=0$ ;

2.^o si l’on y fait $y=0,$ il doit venir :

$x=\mathrm {AG=AH} =\pm 2$,

d’où : $\qquad \qquad \qquad x^{2}=4,$ et par conséquent, $2x^{2}-8=0$ ;

ce qui indique que le terme indépendant des variables doit être $-8,$ et qu’ainsi l’équation cherchée sera :

$xy+2x^{2}+3y-8=0$.

Et en effet, outre les deux hypothèses alternatives $x=0$ et $y=0$ qui donnent des résultats convenables, on tire de cette équation ;

$y={\frac {-2x^{2}+8}{x+3}}=-x+6-{\frac {10}{x+3}}$,

résultat qui, dans le cas de $x=\infty$, se réduit à

$y=2x+6$ ;

qui est bien l’équation de l’asymptote $\mathrm {OS}$ ; pareillement, on aura $y=\infty$, si l’on fait $x=-3,$ qui est l’équation de l’autre asymptote $\mathrm {OZ}$.