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COURBES.

4. 2.^o Pour l’hyperbole. Soit une hyperbole, disposée comme dans la fig, 8, et telle qu’on ait ;

$\mathrm {AD=1,\quad AE=3,\quad AB=5,\quad AB'=1,\quad OL=3}$.

L’équation du diamètre sera :

$y={\frac {1}{3}}x-1$.

et, à cause de $x'=5$ et de $x''=-1,$ on aura pour la courbe :

$y={\frac {1}{3}}x-1\pm {\sqrt {\mathrm {\frac {(B^{2}-4AC)}{4A^{2}}} (x-5)(x+1)}}$.

Mettant sous le radical, à la place de x, la valeur de $\mathrm {AC=2,}$ et comparant ce radical, ainsi modifié, à la valeur de $\mathrm {OL}$, prise sous une forme imaginaire, par la raison que le second diamètre ne saurait rencontrer la courbe, on fera ainsi :

${\sqrt {\mathrm {\frac {(B^{2}-4AC)}{4A^{2}}} \times -9}}=3{\sqrt {-1}}$;

d’où :

$\mathrm {\frac {(B^{2}-4AC)}{4A^{2}}} =+1$;

$y={\frac {1}{3}}x-1\pm {\sqrt {x^{2}-4x-5}}$,

or, lorsque m est positif, comme on le suppose ici, cette équation ne peut être satisfaite qu’en posant séparément

$y-x-2=0{\text{ et }}m(x-5)=0$

ou, plus simplement,

$y-x-2=0{\text{ et }}(x-5)=0$

d’où l’on voit que le coefficient m disparaît de lui-même. De plus, comme l’on a

$m=-{\frac {(y-x-2)^{2}}{(x-5)^{2}}}$,

on devra avoir, dans le cas actuel,

$m={\frac {0}{0}}$.

On voit par là qu’un même point conjugué peut être exprimé par une infinité d’équations numériques différentes.

(Note des éditeurs.)