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D’ÉQUILIBRE.

Présentement, pour qu’il y ait équilibre dans le système, il est nécessaire et il suffit ( Lemme II. ) que les deux puissances auxquelles nous l’avons réduit soient à la fois égales et directement opposées : or, cela exige d’abord que les composantes de chacune, parallèles aux axes, ne diffèrent des composantes de l’autre, parallèles aux mêmes axes, que par le signe seulement ; ce qui donne 1.^o

$\mathrm {T'=-T,\quad U'=-U,\quad V'=-V}$ ;

éliminant $\mathrm {T',U',V',}$ des neuf équations ci-dessus, au moyen de celles-là, elles deviendront :

${\begin{array}{lll}\Sigma (\mathrm {X} ')=0,&\mathrm {T} (u-u')=\Sigma (\mathrm {X'} y'),&\mathrm {T} (v-v')=\Sigma (\mathrm {X'} z'),\\\Sigma (\mathrm {Y} ')=0,&\mathrm {U} (v-v')=\Sigma (\mathrm {Y'} z'),&\mathrm {U} (v-v')=\Sigma (\mathrm {Y'} x'),\\\Sigma (\mathrm {Z} ')=0,&\mathrm {V} (t-t')=\Sigma (\mathrm {Z'} x'),&\mathrm {V} (u-u')=\Sigma (\mathrm {Z'} y').\\\end{array}}$

Alors, les deux puissances étant égales, parallèles et agissant en sens contraire, il suffira, pour leur équilibre, qu’elles aient un point commun ; c’est-à-dire, qu’il suffira que les coordonnées de l’un des points de la direction de l’une satisfassent aux équations de l’autre ; or, l’une d’elles a pour ses équations :

$\mathrm {V} (x-t)=\mathrm {T} (z-v),\quad \mathrm {V} (y-u)=\mathrm {U} (z-v)$ ;

et, comme $t',u',v',$ sont les coordonnées de l’un des points de la direction de l’autre, on devra avoir 2.^o

$\left.{\begin{array}{ll}\mathrm {V} (t-t')&=\mathrm {T} (v'-v)\\\mathrm {V} (u-u')&=\mathrm {U} (v'-v)\\\end{array}}\right\}{\text{ ou }}\left\{{\begin{array}{ll}\mathrm {V} (t-t')&=\mathrm {T} (v-v'),\\\mathrm {V} (u-u')&=\mathrm {U} (v-v');\\\end{array}}\right.$

éliminant les binômes $t-t'$ et $u-u'$ des équations ci-dessus, au moyen de celles-là, et faisant en outre, pour abréger, $\mathrm {T} =m\mathrm {V}$ et $\mathrm {U} =n\mathrm {V} ,$ elles deviendront :

ces équations ne seront jamais impossibles, c’est-à-dire, qu’on pourra toujours y satisfaire par des valeurs réelles et finies des indéterminées qu’elles renferment.

Il en sera donc de même de tout système d’équations déduites de celles-là, par l’élimination de quelques-unes des variables entre lesquelles elles établissent des relations.