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QUESTIONS RÉSOLUES.

$=RR+2\mathrm {ZP} \times z'p'-2\mathrm {AP} \times \mathrm {A} p'+{\overline {\mathrm {A} p'}}^{2}+{\overline {z'p'}}^{2}$

$=RR+2Rr'\operatorname {Cos} .\mathrm {C-A} p'\times \mathrm {P'B} +r'r'$

$=R(R+2r')-2Rr'(1-\operatorname {Cos} .\mathrm {C} )-r'r'\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {A} \cdot \operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} +r'r'$

$=R(R+2r')-4Rr'\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\mathrm {C} )+r'r'(1-\operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {A} \cdot \operatorname {Tang} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} )$

$=R(R+2r')-4Rr'\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\mathrm {C} )+r'r'{\frac {\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A+B} )}{\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {A} \cdot \operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} }}$

$=R(R+2r')-4Rr'\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\mathrm {C} )+r'r'{\frac {\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {C} }{\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {A} \cdot \operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} }}$

$=R(R+2r')-{\tfrac {r'\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {C} }{\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {A} \cdot \operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} }}\left\{4R\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {A} \cdot \operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} \cdot \operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {C} -r'\right\}$

$=R(R+2r').$^[1]$\qquad \qquad$(§. VII, 2.^o)

1. De toute cette analise dérive naturellement la démonstration des deux Porismes énoncés à la page 64 de ce volume.

   En reprenant, en effet, les symboles employés dans la première note, de l’équation :

   $\mathrm {D^{2}=R^{2}-2R} r,$

   on tirera successivement :

   $1.^{\circ }\quad \mathrm {r} =\mathrm {\frac {R^{2}-D^{2}}{2R}} \quad ;\quad 2.^{\circ }\quad \mathrm {R} =\mathrm {r} \pm {\sqrt {\mathrm {r} ^{2}+\mathrm {D} ^{2}}}.$

   Or, la valeur unique de $r$, donnée par la première formule, étant toujours possible, tant que $\mathrm {R}$ n’est pas nul, et étant de plus positive, lorsqu’on a $\mathrm {R>D,}$ on en peut conclure, 1.^o qu’un point étant donné arbitrairement, dans l’intérieur d’un cercle dont le rayon est $\mathrm {R}$, et à une distance $\mathrm {D}$ de son centre ; il y a toujours une longueur, et une seule longueur $\mathrm {r}$, laquelle étant prise pour rayon d’un nouveau cercle, ayant son centre au point donné ; il arrivera qu’un même triangle pourra être à la fois inscrit au premier des deux cercles et circonscrit au second.

   Quant à la seconde formule, bien qu’elle donne pour $\mathrm {R}$ deux valeurs essentiellement réelles, l’une positive et l’autre négative, et cela indépendamment du rap-