Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1810-1811, Tome 1.djvu/158

154

QUESTIONS.

$\qquad =\mathrm {R} (\mathrm {R} -2r)+4\mathrm {R} r\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\mathrm {C} -rr\left(\operatorname {Cot} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {A} .\operatorname {Cot} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} -1\right)$^[1]

$\qquad =\mathrm {R} (\mathrm {R} -2r)+4\mathrm {R} r\operatorname {Sin} .^{2}{\tfrac {1}{2}}\mathrm {C} -rr\times {\frac {\operatorname {Cos} .{\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A+B} )}{\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {A} \operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} }}$

$\qquad =\mathrm {R} (\mathrm {R} -2r)+4\mathrm {Rr\operatorname {Sin} } .^{2}{\tfrac {1}{2}}\mathrm {C} -rr\times {\frac {\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {C} }{\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {A} \operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} }}$

$\qquad =\mathrm {R} (\mathrm {R} -2r)+r\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {C} \left(4\mathrm {R} r\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {C} -r\times {\frac {1}{\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {A} \operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} }}\right)$

$\qquad =\mathrm {R} (\mathrm {R} -2r)+{\tfrac {r\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {C} }{\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {A} \operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} }}\left(4\mathrm {R} r\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {A} .\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {B} .\operatorname {Sin} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {C} -r\right)$

$\qquad =\mathrm {R} (\mathrm {R} -2r)$

§. V.

Corollaire. L’équation ${\overline {\mathrm {Zz} }}^{2}=\mathrm {R} (\mathrm {R} -2r$) détermine la relation qui règne entre les distances des centres et les rayons de deux cercles, dont l’un est circonscrit à un triangle, et dont l’autre lui est inscrit ; de manière que deux de ces quantités étant données, la troisième est déterminée.

Ainsi,$\qquad \qquad \qquad (\mathrm {R} -r)={\overline {\mathrm {Zz} }}^{2}+rr$
et$\qquad \qquad 2r={\frac {\mathrm {RR} -{\overline {\mathrm {Zz} }}^{2}}{\mathrm {R} }}\qquad$ou$\qquad \mathrm {R:R+Z} z=\mathrm {R-Z} z:2r$

Savoir : le quarré de la différence des rayons des deux cercles est égal à la somme des quarrés de la distance des centres et du rayon du cercle inscrit.

Le rayon du cercle circonscrit est à la somme de ce rayon et de

1. À cause de
   $\mathrm {Ap} =zp.\operatorname {Cot} .z\mathrm {Ap} =r.\operatorname {Cot} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {A} {\text{, et de }}\mathrm {Bp} =zp.\operatorname {Cot} .z\mathrm {Bp} =r.\operatorname {Cot} .{\tfrac {1}{2}}\mathrm {B}$.
   
   (Note des éditeurs.)