Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1810-1811, Tome 1.djvu/116

112

ROTATION.

14. En vertu de ces trois rotations, le point $\mathrm {A}$ aura décrit l’arc $\mathrm {AA'}$ ; le point $\mathrm {B,}$ l’arc $\mathrm {BB'}$ ; et le point $\mathrm {C,}$ l’arc $\mathrm {CC'}$. Par les suppositions du problème, ces trois arcs pourront être confondus avec leurs sinus ; et on trouve les quarrés de ces derniers par la simple application de la formule donnée (3), En employant les réductions déjà enseignées, on aura finalement :

${\begin{aligned}(\mathrm {AA''} )^{2}&=\mathrm {B'} ^{2}\operatorname {Sin} .^{2}c+2\mathrm {BC} (\operatorname {Cos} .a-\operatorname {Cos} .b.\operatorname {Cos} .c)+\mathrm {C} ^{2}\operatorname {Sin} .^{2}b;\\(\mathrm {BB''} )^{2}&=\mathrm {C'} ^{2}\operatorname {Sin} .^{2}a+2\mathrm {CA} (\operatorname {Cos} .b-\operatorname {Cos} .c.\operatorname {Cos} .a)+\mathrm {A} ^{2}\operatorname {Sin} .^{2}c;\\(\mathrm {CC} ')^{2}&=\mathrm {A} ^{2}\operatorname {Sin} .^{2}b\ \,+2\mathrm {AB} (\operatorname {Cos} .c-\operatorname {Cos} .a.\operatorname {Cos} .b)+\mathrm {B} ^{2}\operatorname {Sin} .^{2}a.\\\end{aligned}}$

Problème VI.

15. Les mêmes choses étant supposées que dans le problème précèdent, on demande de déterminer, dans l’intérieur du triangle, la position du point qui, à la fin des trois rotations, se retrouvera dans sa situation primitive ? Désignant, comme dans le problème IV, par $\alpha ,\beta ,\gamma$, les coordonnées de ce point, au commencement des trois rotations, et par$x'',y'',z''$, les coordonnées du même point ; à la fin de ces rotations, on aura :

$x''=\alpha ,y''=\beta ,z''=\gamma$ ;

égalant donc à zéro les trois différences

$x''-\alpha ,y''-\beta ,z''-\gamma$ ;

on obtiendra les trois équations qui suivent

${\begin{aligned}o&=(n\gamma -o\beta )\mathrm {A} \ +(q\gamma -r\beta )\mathrm {B} +(t\gamma -u\beta )\mathrm {C} ;\\o&=(o\alpha -m\gamma )\mathrm {A} +(r\alpha -p\gamma )\mathrm {B} +(u\alpha -s\gamma )\mathrm {C} ;\\o&=(m\beta -n\alpha )\mathrm {A} +(p\beta -q\alpha )\mathrm {B} +(s\beta -t\alpha )\mathrm {C} .\end{aligned}}$

Par la nature du problème, chacune de ces trois équations doit