(Ad problema XX commentarii in ultimam quaestionem Arithmeticorum Diophanti.)
Bachetus: Invenire triangulum rectangulum, cujus area sit datus numerus. Oportet autem ut quadratus areæ duplicate, additus alicui quadratoquadrato, faciat quadratum.
Area trianguli rectanguli in numeris non potest esse quadratus.
Hujus theorematis a nobis inventi demonstrationem, quam et ipsi tandem non sine operosa et laboriosa meditatione deteximus, subjungemus. Ioc nempe demonstrandi genus miros in Arithmeticis suppeditabit progressus.
Si area trianguli esset quadratus, darentur duo quadratoquadrati quorum differentia esset quadratus; unde sequitur dari duo quadratos quorum et summa et differentia esset quadratus datur itaque numerus, comipositus ex quadrato et duplo quadrati, æqualis quadrato, ea conditione ut quadrati eum componentes faciant quadratum. Sed, si numerus quadratus componitur ex quadrato et duplo alterius quadrati, ejus latus similiter componitur ex quadrato et duplo quadrati, ut facillime possumus demonstrare; unde concludetur latus illud esse summam laterum circa rectum trianguli rectanguli, et unum ex quadratis illud componentibus efficere basem, et duplum quadratum æquari perpendiculo.
Illud itaque triangulum rectangulum conficietur a duobus quadratis quorum summa et differentia erunt quadrati. At isti duo quadrati minores probabuntur primis quadratis primo suppositis, quorum tam summa quam differentia faciunt quadratum: ergo, si dentur duo quadrati quorum summa et differentia faciant quadratum, dabitur in integris sunmma duorum quadratorum ejusdem nature, priore minor.
Eodem ratiocinio dabitur et minor ista inventa per viam prioris, et semper in infinitum minores invenientur numeri in integris idem prastantes. Quod impossibile est, quia, dato numero quovis integro, non possunt dari infiniti in integris illo minores.
