Page:Œuvres de Fermat, Tannery, tome 1, 1891.djvu/344

disponantur unà cum reliquis loco laterum : verbi gratia, metiantur datum numerum

5 per cubum,   13 per quadratum,   et 17 per latus simpliciter.

Sumantur exponentes omnium divisorum : nempe numeri 5 exponens est 3 propter cubum ; numeri 13 exponens est 2 propter quadratum et numeri 17 unitas tantum.

Ordinentur igitur, ut volueris, dicti omnes exponentes : ut, si velis, 3.2.1.

Ducatur primus in secundum bis et producto adjiciendo summam primi et secundi, fit 17. Ducatur jam 17 in tertium bis et producto adjiciendo summam 17 et tertii, fit 52. Datus igitur numerus erit hypotenusa 52 triangulorum rectangulorum ; nec est dissimilis in quotcumque divisoribus et ipsorum potestatibus methodus.

Reliqui numeri primi qui quaternarii multiplicem unitate non supe--

déduit qu’il est l’hypoténuse d’un triangle rectangle en nombres, car

$\scriptstyle (p^{2}+q^{2})^{2}=(p^{2}-q^{2})^{2}+(2pq)^{2}$,on aura ainsi le moyen de construire deux nouveaux triangles rectangles ayant cc₁ pour hypoténuse, et le problème sera résolu, sous la reserve que les opérations ne seront pas illusoires, comme cela arriverait si, dans la double décomposition (2), on tombait sur une somme de deux carrés égaux ; on doit en conséquence exclure le cas où $\scriptstyle {\frac {\alpha _{1}}{\beta _{1}}}={\frac {\alpha +\beta }{\alpha -\beta }}$.

5º Bachet indique les corrections qu’il a apportées au texte grec.

6º II montre comment le procédé de Diophante peut être généralisé, en prenant deux nombres sommes de deux plans semblables ; le produit de ces nombres peut en effet, s’il n’y a pas proportion entre les composants, être divisé en deux carrés de quatre manières différentes.

Enfin, il soulève la question que Fermat a complètement résolue dans son observation, à savoir de trouver un nombre décomposable en deux carrés de tant de manières que l’on voudra. Si, dit-il, on multiplie un nombre qui est 1 fois seulement somme de deux carrés par un nombre jouissant de la même propriété, le produit sera somme de deux carrés 2 fois seulement. Un tel nombre, multiplié par un autre décomposable 1 seule fois, donnera un produit décomposable 3 ou 4 fois seulement (3 fois si le multiplicateur a un facteur commun avec le multiplicande, 4 fois dans le cas contraire). Un nonmbre décomposable 3 fois seulement, multiplie par un qui ne l’est que 1 fois seulement, donnera (en excluant le cas de facteurs communs) un produit décomposable 6 fois seulement.

On peut continuer ainsi indéfiniment : Un nombre décomposable 4 fois et un qui l’est 1 fois, ou bien deux décomposables 2 fois seulement donneront un produit 8 fois décomposable. Un nombre 6 fois décomposable par un 2 fois décomposable donnera un produit 24 fois décomposable. Bachet donne des exemples sans démonstration.