Page:Œuvres de Fermat, Tannery, tome 1, 1891.djvu/343

Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.

tantum est hypotenusa trianguli rectanguli, ejus quadratus bis, cubus ter, quadratoquadratus quater, etc. in infinitum.

Idem numerus primus et ipsius quadratus componuntur semel ex duobus quadratis ; ejus cubus et quadratoquadratus, bis ; quadratocubus et cubocubus ter ; etc. in infinitum.

Si numerus primus ex duobus quadratis compositus ducatur in alium primum etiam ex duobus compositum quadratis, productum componetur bis ex duobus quadratis ; si ducatur in quadratum ejusdem primi, productum componetur ter ex duobus quadratis ; si ducatur in cubum ejusdem primi, productum componetur quater ex duobus quadratis ; et sic in infinitum.

Hinc facile est determinare quoties numerus datus sit hypotenusa trianguli rectanguli.

Sumantur omnes primi, quaternarii multiplicem unitate superantes, qui datum numerum metiuntur : verbi gratia, 5, 13, 17.

Quod si potestates dictorum primorum metiantur datum numerum,

    quoque dignum est, etc. (p. 127, l. 7) ». En fait, le problème de Diophante consiste à trouver quatre nombres tels que la somme de leurs carrés, augmentée ou diminuée de chacun de ces nombres, fasse toujours un carré. Dans son commentaire, Bachet remarque : 1º Comment Diophante ramène ce problème à celui de trouver quatre triangles rectangles en nombres ayant une même hypoténuse ; 2º Comment ce nouveau problème se résout en nombres entiers par le choix de deux triangles rectangles non semblables, et en multipliant les côtés de chacun d’eux par l’hypotenuse de l’autre. C’est-à-dire que si l’on a

    on aura
    (1).

    3º Si d’ailleurs les hypoténuses sont, chacune respectivement, somme de deux carrés, leur produit peut être décomposé en deux carrés de deux manières differentes.

    Si l’on a

    on aura

    (2).

    Bachet ajoute que, toutefois, les deux carrés composant chaque hypoténuse doivent être inégaux, et qu’il ne doit pas y avoir de proportion entre les quatre.
    4º Comme maintenant, si un nombre est décomposé en deux carrés (soit p² et q²), on en