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La Géométrie.

déjà trouvé. Ou bien en faisant que cette somme soit divisée comme l'autre par n²y²,

on a ${\frac {-n^{2}y^{4}+2my^{3}-p{\sqrt {u}}y^{2}-sy^{2}+{\frac {t^{2}}{4u}}y^{2}}{n^{2}y^{2}}}$

puis remettant ${\frac {t}{\sqrt {u}}}y^{4}+qy^{4}-{\frac {1}{4}}p^{2}y^{4}$, pour n²y⁴ ;

Et $ry^{3}+2{\sqrt {u}}y^{3}+{\frac {pt}{2{\sqrt {u}}}}y^{3}$ pour 2my³ ;

et multipliant l'une et l'autre somme par n²y², on a

$\textstyle {y^{6}-py^{5}+\left({\frac {1}{4}}p^{2}-{\frac {t}{\sqrt {u}}}\right)y^{4}+\left(2{\sqrt {u}}+{\frac {pt}{2{\sqrt {u}}}}\right)y^{3}+\left({\frac {t^{2}}{4u}}-p{\sqrt {u}}\right)y^{2}-ty+u}$,

égal à

$\textstyle {\left({\frac {1}{4}}p^{2}-q-{\frac {t}{\sqrt {u}}}\right)y^{4}+\left(r+2{\sqrt {u}}+{\frac {pt}{2{\sqrt {u}}}}\right)y^{3}+\left({\frac {t^{2}}{4u}}-s-p{\sqrt {u}}\right)y^{2}}$

C'est à dire qu'on a

y⁶ - py⁵ + qy⁴ - ry³ + sy² - ty + u = 0

D'où il paraît que les lignes CG, NR, QO, et semblables sont les racines de cette Équation, qui est ce qu'il fallait démontrer.

Créer quatre moyennes proportionnelles^[1]

Ainsi donc si on veut trouver quatre moyennes proportionnelles entre les lignes a et b, ayant posé x pour la première, l'Équation est x⁵ - a⁴b = 0, ou bien x⁶ - a⁴bx = 0.

En faisant y – a = x il vient

y⁶ - 6ay⁵ + 15a²y⁴ - 20 a³y³ + 15 a⁴y² - (6a⁵ + a⁴b) + a⁶ + a⁵b = 0.

C’est pourquoi il faut prendre 3a pour la ligne AB, et

$LH={\sqrt {{\frac {6a^{3}+a^{2}b}{\sqrt {a^{2}+ab}}}+6a^{2}}}$

pour BK ou le côté droit de la parabole, que j'ai

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