Page:Œuvres de Descartes, éd. Cousin, tome V.djvu/417

413

Livre Troisième.

moyennes proportionnelles entre les lignes a et q (Figure 21) ; chacun sait que posant z pour l’une, comme a est à z, ainsi z à ${\frac {z^{2}}{a}}$, et ${\frac {z^{2}}{a}}$ à ${\frac {z^{3}}{a^{2}}}$

de façon qu’il y a équation entre q et ${\frac {z^{3}}{a^{2}}}$, c’est-à-dire

z³ = a²q.

Et la parabole FAG étant décrite, avec la partie de son essieu AC, qui est ${\frac {1}{2}}a$ la moitié du coté droit ; il faut du point C élever la perpendiculaire CE égale à ${\frac {1}{2}}q$ et du centre E par A, décrivant le cercle AF, on trouve FL et LA, pour les deux moyennes cherchées.

La division de l’angle en trois.

fig. 23

Tout de même si on veut diviser l’angle NOP (fig. 23), ou bien l’arc, ou portion de cercle NQTP, en trois parties égales ; faisant NO = 1, pour le rayon du cercle et, pour la subtendue de l’arc donné, et NQ = z pour la subtendue du tiers de cet arc ; l’équation vient z³ = 3z - q, Car ayant tiré les lignes NQ, OQ, OT ; et faisant QS parallèle à TO, on voit que comme NO est à NQ, ainsi NQ à QR, et QR à RS ; en sorte que NO étant 1, et NQ étant z, QR est z², et RS est z³ ; et à cause qu’il s’en faut seulement RS ou z³ que la ligne NP, qui est q, ne soit triple de NQ, qui est z, on a

q = 3z - z³

ou bien

z³ = 3z - q.