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La Géométrie.

$z+{\frac {1}{2}}q$,

dont le carré est $z^{2}+qz+{\frac {1}{4}}q^{2}$,

et assemblant ces deux carrés, on a

z⁴ – pz² + qz + ${\frac {1}{4}}q^{2}+{\frac {1}{4}}p^{2}+{\frac {1}{2}}p+{\frac {1}{4}}$, pour le carré de la ligne GE, a cause qu'elle est la base du triangle rectangle EMG.

Mais a cause que cette même ligne GE est le demi-­diamètre du cercle FG, elle se peut encore expliquer en d'autres termes, à savoir ED étant ${\frac {1}{2}}q$

et AD étant ${\frac {1}{2}}q+{\frac {1}{2}}$,

EA est ${\sqrt {{\frac {1}{4}}q^{2}+{\frac {1}{4}}p^{2}+{\frac {1}{2}}p+{\frac {1}{4}}}}$

à cause de l’angle droit ADE, puis HA étant moyenne proportionnelle entre AS qui est 1 et AR qui est r, elle est ${\sqrt {r}}$. et à cause de l'angle droit EAH, le carré de HE, ou EG est

${\frac {1}{4}}q^{2}+{\frac {1}{4}}p^{2}+{\frac {1}{2}}p+{\frac {1}{4}}+r$ ;

si bien qu’il y a Équation entre cette somme et la précédente, ce qui est le même que

z⁴ = pz² – qz + r.

et par conséquent la ligne trouvée GK qui a été nommée z est la racine de cette équation, ainsi qu'il fallait démontrer. Et si vous appliquez ce même calcul à tous les autres cas de cette règle, en changeant les signes + et - selon l'occasion, vous y trouverez votre compte en même sorte, sans qu'il soit besoin que je m'y arête.

L'invention de quatre moyennes proportionnelles.

Si on veut donc suivant cette règle trouver deux