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Livre Troisième.

passer FIG le premier cercle cherché. Or ce cercle FG peut couper, ou toucher la Parabole en 1, ou 2, ou 3, ou 4 points, desquels tirant des perpendiculai­res sur l’essieu^[1], on a toutes les racines de l'équation tant vraies, que fausses. À savoir si la quantité q est marqué du signe +, les vraies racines seront celles de ces perpendiculaires, qui se trouveront du même côté de la parabole, que E le centre du cercle, comme FL ; et les autres, comme GK, seront fausses. Mais au contraire si cette quantité q est marquée du signe -, les vraies seront celles de l'autre côté ; et les fausses, ou moindres que rien seront du coté où est E, le centre du cercle. Et enfin si ce cercle ne coupe, n’y ne touche la parabole en aucun point, cela témoigne qu'il n'y a aucune racine ni vraie ni fausse en l'équation, et qu'elles sont toutes imaginaires. En sorte que cette règle est la plus générale, et la plus accomplie qu'il soit possible de souhaiter.

Figure 20

Et la démonstration en est fort aisée. Car si la ligne GK (fig 20.), trouvée par cette construction, se nomme z, AK sera z² à cause de la Parabole, en laquelle GK doit être moyenne proportionnelle, entre AK, et le côté droit qui est 1 ; puis si de AK j'ôte AC, qui est ${\frac {1}{2}}$, CD qui est ${\frac {1}{2}}p$,

il reste DK, ou EM, qui est $z^{2}-{\frac {1}{2}}p-{\frac {1}{2}}$,

dont le carré est

z⁴ – pz² – z² + ${\frac {1}{4}}p^{2}+{\frac {1}{2}}p+{\frac {1}{4}}$

et à cause que DE, ou KM est ${\frac {1}{2}}q$, la toute GM est

1. Axe.