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Livre Troisième.

point cette construction, elle serait assez difficile à rencontrer; et, en la cherchant par la méthode ici proposée, ils ne s’aviseraient jamais de prendre DG pour la quantité inconnue, mais plutôt CF ou FD, à cause que ce sont elles qui conduisent le plus aisément à l’équation ; et lors ils en trouveraient une qui ne serait pas facile à démêler sans la règle que je viens d’expliquer. Car posant a pour BD ou CD, et c pour EF, et x pour DF, on a CF = a - x, et comme CF ou a - x est à FE ou c, ainsi FD ou x est à BF, qui par conséquent est ${\frac {cx}{a-x}}$. Puis à cause du triangle rectangle BDF dont les côtés sont l’un x et l’autre a, leurs carrés, qui sont x² + a², sont égaux à celui de la base, qui est ${\frac {cx}{x^{2}-2ax+a^{2}}}$ ; de façon que, multipliant le tout par x² - 2ax + a², on trouve que l’équation est

x⁴ - 2ax³ + 2a²x² - 2a³x + a⁴ = c²x²,

ou bien

x⁴ - 2ax³ + (2a² - c²) x² - 2a³x + a⁴ = 0 ;

et on connaît par les règles précédentes que sa racine, qui est la longueur de la ligne DF, est

${\frac {1}{2}}a+{\sqrt {{\frac {1}{4}}a^{2}+{\frac {1}{4}}c^{2}}}-{\sqrt {{\frac {1}{4}}c^{2}-{\frac {1}{2}}a^{2}+{\frac {1}{2}}a{\sqrt {a^{2}+c^{2}}}}}$

Que si on posait BF, ou CE, ou BE, pour la quantité inconnue, on viendrait derechef à une équation en laquelle il y aurait quatre dimensions, mais qui serait plus aisée à démêler, et on y vien-(drait)