DE NUMERORUM CONTINUORUM PRODUCTIS 543
égale h. 2 II. Mais, d'autre part, le nombre donné, 4335, ou bien ne surpasse pas 4320, ou bien le sur- passe de moins de 2/4. Donc le nombre 5o4o est supérieur à 4335 ; en d'autres termes, le produit des facteurs 7, 8, 9, 10 est plus grand que le nom- bre proposé.
Pareillement, le nombre 126 est par hypothèse inférieur à 180; donc 126X24 est inférieur à i8oX24; mais, d'après ce qui précède, le nom- bre proposé n'est pas inférieur à 180X24. Donc 126X24, c'est-à-dire le produit des facteurs 6, 7, 8, 9 ne surpasse pas le nombre proposé; au con- traire le produit des facteurs 7, 8, 9, 10 surpasse ce nombre. Donc, etc. C. Q, F. D.
On peut donc énoncer en ces termes le problème et sa solution générale :
Trouver une suite de facteurs consécutifs en nom- bre donné, dont le produit soit le plus grand de son espèce que contienne un nombre proposé.
Divisons le nombre proposé par le produit d'au- tant de nombres de la série naturelle, partant de l'unité, que doit contenir le produit inconnu ; puis déterminons celle des racines du quotient qui appartient à l'ordre numérique dont l'exposant suipasse d'une unité le nombre des facteurs cher- chés: cette racine est le premier facteur du pro- duit ; les facteurs suivants s'obtiennent en ajoutant chaque fois une nouvelle unité.
Remarque.
On aurait pu démontrer ces divers résultats di- rectement, sans faire usage du triangle arithmétique
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