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DE NUMERICIS ORDINIBUS TRACTATUS 52.^

trouver la somme des premiers nombres de cet ordre jusqu'à l'un quelconque d'entre eux.

Soit proposé, par exemple, de trouver la somme des cinq premiers nombres du sixième ordre.

Cherchons, d'après ce qui précède, le cinquième nombre (puisque c'est la somme des cinq premiers nombres qui est requise) du septième ordre (c'est-à- dire de l'ordre qui suit le sixième : ce nombre est la somme demandée.

En effet, les nombres des divers ordres sont for- més de telle façon que l'un quelconque d'entre eux est égal à la somme de tous les nombres de l'ordre précédent dont la racine ne surpasse point sa propre racine ; ainsi, le cinquième nombre du septième or- dre est égal (d'après la nature et la génération des ordres numériques) à la somme des cinq premiers nombres du sixième ordre : on le voit sans diffi- culté.

Conclusion.

La méthode que j'ai donnée pour la résolution des ordres numériques est tout à fait générale. Ce- pendant je ne l'ai trouvée qu'après bien des recher- ches. Voici celle qui m'était d'abord venue à l'es- prit :

Pour trouver la racine d'un nombre donné appar- tenant au troisième ordre numérique, je procédais ainsi : je prenais le double du nombre donné et j'en extrayais la racine carrée : cette racine carrée est la racine cherchée ou la surpasse d'une unité.

Soit à trouver, d'autre part, la racine d'un nom- bre donné du quatrième ordre : pour l'obtenir, on

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