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TRAITÉ DU TRIANGLE ARITHMÉTIQUE 475

Le I . , qui est évident de luy-mesme, que dans le premier triangle cette égalité se trouve, puisque la somme des cellules de son unique rang, sçavoir G, ou l’unité, égale la somme des combinaisons de i, exposant du rang, dans i, exposant du Triangle.

Le 2., que, s’il se trouve un Triangle Arithmétique dans lequel cette proportion se rencontre, c’est à dire dans lequel, quelque rang que l’on prenne, il arrive que la somme des cellules soit égale à la multitude des combinaisons de l’exposant du rang dans l’exposant du Triangle : je dis que le triangle suivant aura la mesme propriété.

D’où il s’ensuit que tous les Triangles Arithmétiques ont cette égalité ; car elle se trouve dans le premier Triangle par le premier Lemme, et mesme elle est encore évidente dans le second ; donc par le second Lemme, le suivant l’aura de mesme, et partant le suivant encore ; et ainsi à l’infiny.

Il faut donc seulement demonstrer le second Lemme.

Soit un triangle quelconque, par exemple le troisiesme, dans lequel on suppose que cette égalité se trouve, c’est à dire que la somme des cellules du premier rang G + σ + π égale la multitude des com- binaisons de I dans 3, et que la somme des cellules du 2. rang φ+ψ égale les combinaisons de 2 dans 3 ; et que la somme des cellules du 3. rang A égale les combinaisons de 3 dans 3 : je dis que le quatriesme triangle aura la mesme égalité, et que, par exemple, la somme des cellules du second rang