La correspondance qu’il engage avec Fermat (1) dans la se- conde moitié de 1654 ouvre pour Pascal une période de très grande activité mathématique. Depuis ses premiers travaux sur les sections coniques, Pascal avait étudié des sujets mathématiques très divers, probablement sans grande suite; il va dorénavant concentrer toute son attention sur les questions de probabilité qu’il discute avec Fermat et dont il devait probablement l’énoncé au chevalier de Méré (Vide infra, p. 377).
Au cours de sa correspondance avec Fermat, Pascal généra- lise de plus en plus son point de vue. Il conçoit la théorie du triangle arithmétique qu’il applique, non seulement au problème des partis, mais à l’étude des combinaisons, à la sommation des nombres des divers ordres, au calcul des coefficients du binôme. Il s’engage de plus en plus dans ces nouvelles recherches, abandonnant les questions qui l’avaient auparavant occupé.
La première lettre de Fermat, qui répond à une lettre perdue de Pascal, se rapporte au problème suivant : Supposons que, tentant huit fois la chance avec un dé, un joueur entreprenne d’amener le 1 , puis qu’au milieu de la partie on lui retire un des coups auquel il a droit : supposons, par exemple, que le joueur ait joué trois coups sans réussir, et qu’on lui retire son quatrième coup : comment devra-t-on l’indemniser ?
Le désaccord entre Fermat et Pascal provient de leurs manières différentes de comprendre l’énoncé. Si l’indemnité est calculée après trois coups joués. Fermat est dans le vrai en
I, Sur les rapports antérieurs de Fermat avec les Pascal, voir supra, t. I, p. 172.
