Traité du Triangle arithmétique, infra, p. 503). Si nous l’étendons aux puissances supérieures, nous pourrons appeler « contour d’une puissance keme » la différence (n + 1)^k — n^k ou, plus généralement, la différence (n + l)^k — n^k.
Dès lors, on peut supposer que l’écrit intitulé De numericarum potestatum ambitibus n’était qu’une première rédaction du Traité imprimé en 1665 à la suite du Triangle Arithmétique sous le titre : Potestatum numericarum summa (Vide infra, LVI). Dans ce dernier traité, Pascal cherche le développement de la différence (A + 3)4 — A4 et, en général, de (A + B)n — An. On peut admettre alors que l’attention de Pascal, fixée primitivement sur le calcul même de la différence, se serait ensuite portée plus particulièrement sur l’application de ce calcul à la sommation des puissances numériques. Que telle fut la marche de l’esprit de Pascal, nous le savons d’ailleurs par la lettre qu’il écrivit à Fermât le 29 juillet i654, lettre où est énoncée la proposition suivante : « Duorum quorumlibet cuborum proximorum differentia, unitate dempta, sextupla est omnium numerorum in minori radice contentorum. » Peut-être cette proposition, soumise par Pascal au jugement de ses amis, est-elle une de celles qu’il présenta à l’Académie Parisienne.
Des recherches de Pascal sur les nombres magiquement magiques ou les carrés magiques rien n’a subsisté, — à moins qu’on ne veuille voir un fruit de ces recherches dans un appendice des Nouveaux Elemens de Géométrie publiés par Arnauld chez Guillaume Desprez en 1667. Cet appendice (p. 387-400 de la 2e édition, 1683) a pour titre : Solution d’un des plus célèbres et des plus difficiles problèmes d’ Arithmétique, appelé communément les Quarrez magiques.
« De toute progression arithmétique qui commence à l’unité toutes les sommes des nombres depuis l’unité sont polygones…, et les gnomons, en tous polygones, de mesme qu’aux quarrez, sont les plus grands nombres de ceux de la progression qui auront esté adjoustez ensemble. »
