Mémoire sur la variation des constantes arbitraires, dans les questions de mécanique

Siméon Denis Poisson

Mémoire sur la variation des constantes arbitraires, dans les questions de mécanique

Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 1, année 1816, 1818 (p. 1-70).

MÉMOIRE

Sur la variation des constantes arbitraires, dans les
questions de mécanique.

Par M. POISSON.

Lu à l’Académie, le 2 septembre 1816.

Ce Mémoire est le complément de celui que j’ai lu à l’Institut en 1809, sur le-même sujet, et qui a été imprimé dans le quinzième cahier du journal de l’École polytechnique. J’ai donné alors un systême de formules qui expriment directement les différentielles des constantes arbitraires, devenues variables, au moyen des différences partielles d’une certaine fonction dépendante des forces qui les font varier, prises par rapport à ces mêmes constantes ; et j’ai démontré d’une maniere directe que les coëfficients de ces différences partielles sont des fonctions des constantes, qui ne renferment pas le temps explicitement. On trouve ensuite, dans ce Mémoire, l’application de ces formules générales à deux questions différentes : au mouvement d’un point attiré vers un centre fixe, suivant une fonction indéterminée de la distance, et au mouvement de rotation d’un corps solide de figure quelconque. Un calcul très-long, dont j’ai rapporté tous les détails, m’a conduit aux expressions différentielles des six constantes arbitraires, relatives à chacun de ces deux problêmes. En les comparant, on reconnaît que les différentielles des constantes analogues ont identiquement la même forme pour l’une et l’autre question ; résultat singulier qui m’a fait présumer qu’on pourrait obtenir ces différentielles, ou du moins une partie d’entre elles, par une méthode indépendante de la nature du problême, et beaucoup plus courte que l’application des formules générales. C’est, en effet, ce que j’ai vérifié depuis, à l’égard des constantes qui complètent les intégrales fournies par les principes généraux de la mécanique. L’exposition de cette nouvelle méthode est un des objets principaux du Mémoire suivant. Elle est précédée d’un paragraphe où l’on trouvera les différents systèmes de formules générales, propres à déterminer les différentielles de toutes les constantes arbitraires, et d’un autre article où j’ai réuni, sous le titre de propriétés des équations générales du mouvement, diverses formules, déja en partie connues, qui sont indépendantes des forces appliquées aux mobiles, et quelquefois même de la nature du systême que l’on considère.

Les expressions différentielles des constantes arbitraires doivent être regardées comme une transformation des équations générales du mouvement, par laquelle on remplace un nombre d’équations différentielles secondes, égal à celui des variables indépendantes, par un nombre double d’équations du premier ordre. Cette transformation n’est d’aucune utilité pour la résolution rigoureuse des problêmes ; mais quand les forces qui font varier les constantes arbitraires, sont très-petites par rapport à celles qui agissaient primitivement sur les mobiles, elle est très-utile pour résoudre les questions de mécanique par une suite d’approximations ordonnées suivant les puissances des forces perturbatrices et elle a l’avantage qui lui est particulier, de ramener immédiatement aux quadratures, les valeurs déterminées par la première approximation, où l’on néglige le quarré de ces forces. Les termes qui entrent dans les différentielles des constantes, sont très-petits du même ordre que ces forces ; néanmoins il en est parmi eux qui augmentent beaucoup et deviennent très-sensibles par l’intégration dans la théorie des planètes, ces termes sont principalement ceux qui se trouvent indépendants des moyens mouvemens de la planète troublée et des planètes perturbatrices ; et leur détermination est, comme on sait, la question la plus importante de l’astronomie physique. Les formules de la variation des constantes arbitraires, en donnent la solution la plus simple et la plus directe, ainsi qu’on peut le voir dans le supplément au troisième volume de la mécanique céleste, et dans le tome second de la mécanique analytique. Je me borne à considérer, dans le quatrième et dernier paragraphe de ce Mémoire, les différentielles du grand axe et du moyen mouvement ; je rappelle d’abord la démonstration connue de l’invariabilité de ces deux élémens, quand on néglige les quantités du troisième ordre par rapport aux forces perturbatrices, et qu’on fait abstraction des inégalités périodiques ; ensuite je démontre que les variations des élémens elliptiques de la planète troublée n’introduiraient aucun terme non périodique dans la différentielle seconde de son moyen mouvement quand bien même on pousserait l’approximation jusqu’aux quantités du troisième ordre inclusivement ; d’où l’on pourra conclure, par induction, qu’il en serait de même dans toutes les approximations suivantes, du moins pour les termes résultans de la variation de ces élémens, car l’analyse que j’expose n’est point applicable aux termes dus à la variation des élémens des planètes perturbatrices. Passé le second ordre, les inégalités séculaires des moyens mouvemens des planètes seraient comparables, dans leurs maxima, aux inégalités périodiques ordinaires, et par conséquent on pourrait n’en tenir aucun compte. Mais dans la théorie des satellites, et particulièrement dans celle de la lune, ces inégalités, s’il en existait, ne devraient pas être entièrement négligées, en égard à la grandeur de la force perturbatrice du soleil ; d’ailleurs, sous le rapport de l’analyse, la disparition des termes non périodiques dans l’expression du moyen mouvement, est un théorême très-remarquable ; j’ai donc espéré que les géomètres ne trouveraient pas déplacée la démonstration relative au troisième ordre, qui termine ce Mémoire.

Une observation qu’on ne doit pas perdre de vue dans toute cette théorie, c’est que les moyens mouvemens y sont considérés d’une manière abstraite et indépendamment des rapports numériques qui existent entre eux. Quelquefois rapports peuvent produire des inégalités dont la période embrasse plusieurs siècles, ainsi que M. Laplace l’a fait voir relativement à Saturne et Jupiter ; d’autres fois même, il en peut résulter de véritables équations séculaires, en entendant par cette dénomination, des inégalités qui ont une période indépendante de la configuration des planètes ; et la libration des trois premiers satellites de Jupiter, dont la théorie est également due à l’auteur de la mécanique céleste, offre un exemple de ce second cas. À la vérité, le coëfficient de la libration est arbitraire, et les recherches de M. Delambre sur ce sujet, ont prouvé qu’il doit être insensible ; mais cela n’empêche pas que la libration n’existe, réellement pour la théorie, et qu’on ne doive la considérer comme une inégalité de l’espèce dont nous parlons, qui affecte les moyens mouvemens des trois satellites.

§. I^er.

Propriétés des équations générales du mouvement.

(1) Je considère un systême de points matériels, liés entre eux d’une manière quelconque, et sollicités par des forces qui proviennent, soit de leur action mutuelle, soit de causes étrangères au système ; je suppose seulement que la somme des forces motrices de tous ces points, multipliées chacune par l’élément de sa direction, forme une différentielle exacte par rapport aux coordonnées des mobiles, et je désigne par $\mathrm {V}$ l’intégrale de cette différentielle, laquelle intégrale sera une fonction donnée de ces coordonnées, qui pourra, en outre, contenir le temps explicitement. Soit $m,$ la masse d’un des mobiles ; $x,\,y,\,z,$ ses trois coordonnées orthogonales ; $\mathrm {L} =0,$ $\mathrm {M} =0,$ etc., les équations de condition qui expriment la liaison des points du systême que l’on considère ; $t$ le temps dont la différentielle première sera sup- . posée constante : les trois équations du mouvement du point $m$ seront

$\left.{\begin{aligned}m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {d\mathrm {V} }{dx}}=&\lambda {\frac {d\mathrm {L} }{dx}}+\mu {\frac {d\mathrm {M} }{dx}}+etc.,\\m{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {d\mathrm {V} }{dy}}=&\lambda {\frac {d\mathrm {L} }{dy}}+\mu {\frac {d\mathrm {M} }{dy}}+etc.,\\m{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {d\mathrm {V} }{dz}}=&\lambda {\frac {d\mathrm {L} }{dz}}+\mu {\frac {d\mathrm {M} }{dz}}+etc.\,;\end{aligned}}\right\}$(m)

et il y en aura trois semblables pour chacun des trois mobiles. Les facteurs $\lambda ,\,\mu ,$ etc., sont des inconnues qui resteront les mêmes dans les équations des autres points, c’est-à-dire que les différences partielles de $\mathrm {L}$ seront par-tout multipliées par le même facteur $\lambda ,$ celles de $\mathrm {M}$ par $\mu ,$ etc.

Au moyen des intégrales de toutes ces équations, on peut concevoir les coordonnées des mobiles exprimées en fonctions de $t$ et d’un certain nombre de constantes arbitraires ; leurs valeurs, substituées dans ces mêmes équations et dans $\mathrm {L} =0,$ $\mathrm {M} =0,$ etc., auront la propriété de les rendre identiques ; de sorte que l’on peut différentier chaque équation, en y considérant les variables comme des fonctions implicites des constantes arbitraires de l’intégration. Ainsi, en désignant par $\delta ,$ une différentielle relative à une portion quelconque de ces constantes, et par $\Delta ,$ une autre différentielle de la même nature, on aura

$\delta \,\mathrm {L=0,\qquad \Delta \,L=0,\qquad \delta \,M=0,\qquad \Delta \,M=0} ,$ etc.;

${\begin{alignedat}{6}m\;\delta \ {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}&+\delta \,{\frac {dV}{dx}}&&=&{\frac {d\mathrm {L} }{dx}}\delta \,\lambda &&+\lambda \,\delta {\frac {d\mathrm {L} }{dx}}&&+{\frac {d\mathrm {M} }{dx}}\delta \,\mu &&+\mu \,\delta {\frac {d\mathrm {M} }{dx}}&&+{\text{etc}}.,\\m\,\Delta {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}&+\Delta \,{\frac {dV}{dx}}&&=&{\frac {d\mathrm {L} }{dx}}\Delta \,\lambda &&+\lambda \,\Delta {\frac {d\mathrm {L} }{dx}}&&+{\frac {d\mathrm {M} }{dx}}\Delta \,\mu &&+\mu \,\Delta {\frac {d\mathrm {M} }{dx}}&&+{\text{etc}}.,\\\end{alignedat}}$

Des deux dernières équations on déduit celle-ci :

$m\left(\Delta \,x\,\delta {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-\delta \,x\,\Delta {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}\right)+\Delta \,x\,\delta {\frac {d\mathrm {V} }{dx}}-\delta \,x\,\Delta {\frac {d\mathrm {V} }{dx}}=$

${\frac {d\mathrm {L} }{dx}}\left(\Delta \,x\,\delta \,\lambda -\delta \,x\,\Delta \,\lambda \right)+\lambda \left(\Delta \,x\,\delta {\frac {d\mathrm {L} }{dx}}-\delta \,x\,\Delta {\frac {d\mathrm {L} }{dx}}\right)+{\text{etc}}.;$

don aura deux autres équations de même forme, l’une relative à $y,$ et l’autre relative à $z\,;$ en les réunissant toutes trois et étendant ensuite la somme à tous les points du systême, somme que j’indiquerai par la caractéristique $\sum ,$ on a

${\begin{aligned}&\sum m\left[\Delta \,x\,\delta {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}-\delta \,x\,\Delta {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+\Delta \,y\,\delta {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}-\delta \,y\,\Delta {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+\Delta \,z\,\delta {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}-\delta \,z\,\Delta {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}\right]\\&=\sum \left[\delta \,x\,\Delta {\frac {d\mathrm {V} }{dx}}-\Delta \,x\,\delta {\frac {d\mathrm {V} }{dx}}+\delta \,y\,\Delta {\frac {d\mathrm {V} }{dy}}-\Delta \,y\,\delta {\frac {d\mathrm {V} }{dy}}+\delta \,z\,\Delta {\frac {d\mathrm {V} }{dz}}-\Delta \,z\,\delta {\frac {d\mathrm {V} }{dz}}\right]\\&+\sum \lambda \left[\Delta \,x\,\delta {\frac {d\mathrm {L} }{dx}}-\delta \,x\,\Delta {\frac {d\mathrm {L} }{dx}}+\Delta \,y\,\delta {\frac {d\mathrm {L} }{dy}}-\delta \,y\,\Delta {\frac {d\mathrm {L} }{dy}}+\Delta \,z\,\delta {\frac {d\mathrm {L} }{dz}}-\delta \,z\,\Delta {\frac {d\mathrm {L} }{dz}}\right]\\&+\sum \left[\delta \,\lambda \left({\frac {d\mathrm {L} }{dx}}\Delta \,x+{\frac {d\mathrm {L} }{dy}}\Delta \,y+{\frac {d\mathrm {L} }{dz}}\Delta \,z\right)-\Delta \,\lambda \left({\frac {d\mathrm {L} }{dx}}\delta \,x+{\frac {d\mathrm {L} }{dy}}\delta \,y+{\frac {d\mathrm {L} }{dz}}\delta \,z\right)\right]\\&\qquad +{\text{etc}}.\end{aligned}}$

Or il est facile de prouver que tous les termes se détruisent dans le second membre de cette équation.

En effet la quantité $\lambda$ et ses différentielles peuvent être mises en-dehors du signe $\sum ,$ puisque ce sont des quantités communes à tous les points du systême ; les termes multipliés par $\delta \,\lambda$ deviennent donc

$\delta \,\lambda \,\sum \left({\frac {d\mathrm {L} }{dx}}\Delta \,x+{\frac {d\mathrm {L} }{dy}}\Delta \,y+{\frac {d\mathrm {L} }{dz}}\Delta \,z\right)=\delta \,\lambda \,\Delta \mathrm {L} =0\,;$

et il en est de même de la partie multipliée par $\mathrm {A} \lambda .$ Quant à celle qui renferme $\lambda ,$ elle devient

$\lambda \sum \left[\Delta \,x\,\delta {\frac {dL}{dx}}-\delta \,x\,\Delta {\frac {dL}{dx}}+\Delta \,y\,\delta {\frac {dL}{dy}}-\delta \,y\,\Delta {\frac {dL}{dy}}+\Delta \,z\,\delta {\frac {dL}{dz}}-\delta \,z\,\Delta {\frac {dL}{dz}}\right].$

Pour prouver que cette somme est nulle, soit $u$ une coordonnée quelconque de l’un des mobiles ; $\delta {\frac {d\mathrm {L} }{dx}}$ renfermera le terme ${\frac {d^{2}\mathrm {L} }{du\,dx}}\delta \,u,$ et $\Delta {\frac {d\mathrm {L} }{dx}}$ le terme ${\frac {d^{2}\mathrm {L} }{du\,dx}}\Delta \,x\,;$ donc cette somme contiendra le terme ${\frac {d^{2}\mathrm {L} }{du\,dx}}\left(\Delta \,x\,\delta \,u-\Delta \,u\,\delta \,x\right),$ et comme elle est symétrique par rapport à toutes les coordonnées, elle contiendra aussi le terme ${\frac {d^{2}\mathrm {L} }{du\,dx}}\left(\Delta \,u\,\delta \,x-\Delta \,x\,\delta \,u\right),$ égal et de signe contraire au précédent : elle se décomposera donc en couples de termes égaux et de signes contraires, et par conséquent elle se réduira à zéro.

Le même raisonnement s’applique à la partie du second membre de notre équation, qui renferme la fonction $\mathrm {V} \,;$ si donc on fait

${\frac {dx}{dt}}=x',\qquad {\frac {dy}{dt}}=y',\qquad {\frac {dz}{dt}}=z',$

cette équation se réduira à

$\delta \,m\left[\Delta \,x\,\delta {\frac {dx'}{dt}}-\delta \,x\,\Delta {\frac {dx'}{dt}}+\Delta \,y\,\delta {\frac {dy'}{dt}}-\delta \,y\,\Delta {\frac {dy'}{dt}}+\Delta \,z\,\delta {\frac {dz'}{dt}}-\delta \,z\,\Delta {\frac {dz'}{dt}}\right]=0.$

Son premier membre est une différentielle immédiate par rapport à $t\,;$ car on a identiquement

${\begin{aligned}\Delta \,x\,\delta {\frac {dx'}{dt}}=&d{\frac {(\Delta \,x\,\delta \,x')}{dt}}-\Delta \,x'\delta \,x',\\\delta \,x\,\Delta {\frac {dx'}{dt}}=&d{\frac {(\delta \,x\,\Delta \,x')}{dt}}-\delta \,x'\Delta \,x'\,;\end{aligned}}$

d’où il résulte

$\Delta \,x\,\delta {\frac {dx'}{dt}}-\delta \,x\,\Delta {\frac {dx'}{dt}}=d{\frac {(\Delta \,x\,\delta \,x'-\delta \,x\,\Delta \,x')}{dt}}\,;$

et de même pour les termes en $y$ ou en $z.$ Multipliant donc par $dt,$ et intégrant, on aura

$\sum m\left[\Delta \,x\,\delta \,x'-\delta \,x\,\Delta \,x'+\Delta \,y\,\delta \,y'-\delta \,y\,\Delta \,y'+\Delta \,z\,\delta \,z'-\delta \,z\,\Delta \,z'\right]={\text{const}}.(1)$

(2) Cette équation remarquable se décompose en autant d’autres équations que l’on peut former de combinaisons deux à deux, entre les constantes arbitraires contenues dans les intégrales complètes des équations du mouvement. En effet, en désignant ces constantes par $a,\,b,\,c,$ etc., on aura, de la manière la plus générale,

${\begin{alignedat}{4}\delta \,x\ \ &={\frac {dx}{da}}\delta \,a&&+{\frac {dx}{db}}\delta \,b&&+{\frac {dx}{dc}}\delta \,c&&+{\text{etc}}.,\\\delta \;x'&={\frac {dx'}{da}}\delta \,a&&+{\frac {dx'}{db}}\delta \,b&&+{\frac {dx'}{dc}}\delta \,c&&+{\text{etc}}.,\\\Delta \,x\ &={\frac {dx}{da}}\Delta \,a&&+{\frac {dx}{db}}\Delta \,b&&+{\frac {dx}{dc}}\Delta \,c&&+{\text{etc}}.,\\\Delta \,x'&={\frac {dx'}{da}}\Delta \,a&&+{\frac {dx'}{db}}\Delta \,b&&+{\frac {dx'}{dc}}\Delta \,c&&+{\text{etc}}.;\end{alignedat}}$

et de même pour les différentielles de $y,\,y',\,z,\,z'.$ Je substitue ees valeurs dans le premier membre de l’équation (1) ; je fais passer hors du signe, les produits des variations de $a,\,b,\,c,$ etc.; enfin j’observe que ces quantités étant indépendantes entre elles, il s’ensuit que le coëfficient de chaque produit de deux variations différentes, doit être séparément une quantité constante : ainsi, en considérant, par exemple, le coëfficient du produit $\Delta \,a\,\delta \,b,$ et désignant par $(a,b),$ une quantité indépendante de $t,$ on aura

$\sum m\left(+{\frac {dx}{da}}{\frac {dx'}{db}}-{\frac {dx}{db}}{\frac {dx'}{da}}+{\frac {dy}{da}}{\frac {dy'}{db}}-{\frac {dy}{db}}{\frac {dy'}{da}}\right.$

$\left.+{\frac {dz}{da}}{\frac {dz'}{db}}-{\frac {dz}{db}}{\frac {dz'}{da}}\right)=(a,b).\qquad$(2)

On formera une équation semblable pour chaque couple de constantes arbitraires ; et réciproquement l’équation (1), dans toute sa généralité, se déduira facilement de l’ensemble de toutes ces équations.

La constante $(a,b)$ sera quelquefois une quantité déterminée, et d’autres fois, une fonction d’une ou de plusieurs des constantes $a,\,b,\,c,$ etc. On emploie ici la notation $(a,b),$ pour rappeler l’origine de cette quantité, et non pour désigner une fonction de $a$ et $b$ seules. On peut observer que l’on a, d’après cette notation,

$(a,a)=0,\qquad (a,b)=-(b,a).$

(3) M. Lagrange donne, dans la seconde édition de la mécanique analytique^[1], une formule analogue à notre équation (1), qui se confond avec elle, quand les mobiles sont libres, mais qui en diffère essentiellement, lorsqu’il s’agit d’un systême de points liés entre eux d’une manière quelconque. Pour former cette autre équation, représentons par $\varphi ,\psi ,\theta ,$ etc., les variables indépendantes entre elles et réduites au plus petit nombre possible, qui déterminent la position des mobiles dans l’espace ; conservons à la quantité $\mathrm {V} ,$ sa signification précédente ; soit $\mathrm {T} ,$ la demi-somme des forces vives de tous les points du systême ; et faisons enfin

${\begin{alignedat}{3}{\frac {d\varphi }{dt}}=&\varphi ',\qquad &{\frac {d\mu }{dt}}=&\psi ',\qquad &{\frac {d\theta }{dt}}=&\theta ',{\text{etc}}.,\\{\frac {d\mathrm {T} }{d\varphi '}}=&u,\qquad &{\frac {d\mathrm {T} }{d\psi '}}=&v,&{\frac {d\mathrm {T} }{d\theta '}}=&s,{\text{etc}}.,\\\end{alignedat}}$

les équations du mouvement seront en même nombre que les variables $\varphi ,\,\psi ,\,\theta ,$ etc., et de la forme :

${\begin{alignedat}{2}{\frac {du}{dt}}&-{\frac {d\mathrm {T} }{d\varphi }}&&+{\frac {d\mathrm {V} }{d\varphi }}&&=0,\\{\frac {dv}{dt}}&-{\frac {d\mathrm {T} }{d\psi }}&&+{\frac {d\mathrm {V} }{d\psi }}&&=0,\\{\frac {ds}{dt}}&-{\frac {d\mathrm {T} }{d\theta }}&&+{\frac {d\mathrm {V} }{d\theta }}&&=0,\end{alignedat}}$

Or on en déduit, par une analyse semblable à celle du n^o 1, la formule de la mécanique analytique, savoir :

$\Delta \,\varphi \,\delta \,u-\delta \,\varphi \,\Delta \,u+\Delta \,\psi \,\delta \,v-\delta \,\psi \,\Delta \,v+\Delta \,\theta \,\delta \,s-\delta \,\theta \,\Delta \,s+\mathrm {etc} .$

$={\text{const}}.\qquad$(3)

Elle se décomposera comme la formule (1), en équations relatives à chaque couple de constantes arbitraires ; de sorte que $a$ et b étant deux de ces constantes, et $({\overline {a,b}})$ désignant une quantité indépendante de $t,$ on aura

${\frac {d\varphi }{da}}{\frac {du}{db}}-{\frac {d\varphi }{db}}{\frac {du}{da}}+{\frac {d\psi }{da}}{\frac {dv}{db}}-{\frac {d\psi }{db}}{\frac {dv}{da}}+{\frac {d\theta }{da}}{\frac {ds}{db}}-{\frac {d\theta }{db}}{\frac {ds}{da}}+{\text{etc}}.$

$=({\overline {a,b}}).\qquad$(4)

Lorsque les points du systême ne sont liés par aucune équation de condition, on peut prendre leurs coordonnées même, pour les variables indépendantes ; alors on a

$\mathrm {T} ={\frac {1}{2}}\sum m\left(x^{'2}+y^{'2}+z^{'2}\right)\,;$

et si l’on suppose que les trois variables $\varphi ,\psi ,\theta ,$ sont les coordonnées $x,\,y,\,z,$ on aura

$\varphi '=x',\qquad \psi '=y',\qquad \theta '=z',$

et par suite,

$u=mx',\qquad v=my',\qquad s=mz'\,;$

d’où il est facile de conclure que, dans ce cas particulier, les formules (3) et (4), coïncident avec les équations (1) et (2). En général, ces différentes formules expriment des propriétés des équations du mouvement, qui sont indépendantes des forces qui agissent sur les mobiles ; mais les formules (1) et (2) ont cela de particulier, qu’elles sont même indépendantes de la nature du systême, ou des équations de condition auxquelles les mobiles sont assujéties.

Il existe encore une formule de la même espèce, qui est, pour ainsi dire, inverse de l’équation (4), et que j’ai démontrée dans un autre Mémoire sur le même sujet que celui-ci^[2]. En conservant les notations précédentes, j’ai fait voir, en effet, que l’on a toujours

${\frac {da}{du}}{\frac {db}{d\varphi }}-{\frac {da}{d\varphi }}{\frac {db}{du}}+{\frac {da}{dv}}{\frac {db}{d\psi }}-{\frac {da}{d\psi }}{\frac {db}{dv}}+{\frac {da}{ds}}{\frac {db}{d\theta }}-{\frac {da}{d\theta }}{\frac {db}{ds}}+{\text{etc}}.$

$=[a,b]\,;\qquad$(5)

$[a,b]$ désignant une quantité indépendante du temps, qui peut être une constante déterminée, ou une fonction des constantes arbitraires. La démonstration que j’ai donnée de ce théorême est très-compliquée ; elle se simplifie beaucoup lorsque les points du systême sont libres, et qu’on prend leurs coordonnées orthogonales pour les variables indépendantes ; mais sa longueur paraît inévitable, dans le cas général où ces points sont liés entre eux d’une manière quelconque. Par rapport à cette notation $[a,b],$ on a aussi

$[a,b]=-[b,a],\qquad [a,a]=0.$

Quoique la fonction $\mathrm {V} ,$ qui dépend des forces motrices du système, n’entre pas dans les équations (1), (2), (3), (4), (5), il ne faut pas oublier cependant, qu’elles sont subordonnées à certaines restrictions, savoir : que les forces appliquées aux mobiles ne sont fonctions que du temps et de leurs coordonnées, et que la somme de ces forces, multipliées chacune par l’élément de sa direction, forme une différentielle, exacte par rapport à ces coordonnées. C’est ce qui, effectivement, a lieu pour toutes les forces de la nature, excepté pour celles qui proviennent du frottement ou de la résistance des milieux, et qui sont fonctions des vitesses des mobiles ; en sorte que nos formules ne seront en défaut que dans les cas où l’on aura égard à de semblables résistances.

(4) On trouve dans le Mémoire de M. Cauchy, sur la Théorie des ondes, des intégrales relatives au mouvement des fluides, qui ne sont qu’une application particulière de notre équation (2). En effet les équations du mouvement de chaque molécule fluide, sont

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {d\mathrm {U} }{dx}}=&{\frac {dp}{dx}},\\{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {d\mathrm {U} }{dy}}=&{\frac {dp}{dy}},\\{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {d\mathrm {U} }{dz}}=&{\frac {dp}{dz}}\,;\end{aligned}}$

$p$ étant une fonction inconnue de $x,\,y,\,z$ et $t,$ qui représente la pression que la molécule éprouve à un instant quelconque, et $\mathrm {U} ,$ l’intégrale de la somme des forces accélératrices qui la sollicitent, multipliées chacune par l’élément de sa direction. Or, en faisant $\mathrm {U} -p=\mathrm {V} ,$ on voit que ces équations ont la même forme que celles du n^o 1 ; nous pouvons donc considérer isolément le mouvement de la molécule qui répond aux coordonnées $x,\,y,\,z\,;$ et si nous prenons pour les constantes arbitraires $a,\,b,\,c,$ les valeurs initiales de ces trois coordonnées, nous, aurons, d’après l’équation (2),

${\frac {dx}{da}}{\frac {dx'}{db}}-{\frac {dx}{db}}{\frac {dx'}{da}}+{\frac {dy}{da}}{\frac {dy'}{db}}-{\frac {dy}{db}}{\frac {dy'}{da}}+{\frac {dz}{da}}{\frac {dz'}{db}}-{\frac {dz}{db}}{\frac {dz'}{da}}=(a,b),$

et des expressions semblables pour les quantités $(a,c)$ et $(b,c).$ Soient de plus $a',\,b',\,c',$ les valeurs initiales des vitesses $x',\,y',\,z',$ lesquelles sont des fonctions arbitraires de $a,\,b,\,c\,;$ on aura, à l’origine du mouvement

$x=a,\quad y=b,\quad z=c\,;\quad x'=a',\quad y'=b',\quad z'=c'\,;$

substituant ces valeurs dans l’équation précédente, elle se réduit à

${\frac {da'}{db}}-{\frac {db'}{da}}=(a,b)\,;$

donc, à cause que $(a,b)$ est une constante, on aura aussi, à un instant quelconque,

${\frac {dx}{da}}{\frac {dx'}{db}}-{\frac {dx}{db}}{\frac {dx'}{da}}+{\frac {dy}{da}}{\frac {dy'}{db}}-{\frac {dy}{db}}{\frac {dy'}{da}}+{\frac {dz}{da}}{\frac {dz'}{db}}-{\frac {dz}{db}}{\frac {dz'}{da}}={\frac {da'}{db}}-{\frac {db'}{da}}\,;$

et l’on en déduira, par la permutation des lettres,

${\begin{alignedat}{7}{\frac {dz}{dc}}{\frac {dz'}{da}}&-{\frac {dz}{da}}{\frac {dz'}{dc}}&&+{\frac {dx}{dc}}{\frac {dx'}{da}}&&-{\frac {dx}{da}}{\frac {dx'}{dc}}&&+{\frac {dy}{dc}}{\frac {dy'}{da}}&&-{\frac {dy}{da}}{\frac {dy'}{dc}}&&={\frac {dc'}{da}}&&-{\frac {da'}{dc}},\\{\frac {dy}{db}}{\frac {dy'}{dc}}&-{\frac {dy}{dc}}{\frac {dy'}{db}}&&+{\frac {dz}{db}}{\frac {dz'}{dc}}&&-{\frac {dz}{dc}}{\frac {dz'}{db}}&&+{\frac {dx}{db}}{\frac {dx'}{dc}}&&-{\frac {dx}{dc}}{\frac {dx'}{db}}&&={\frac {db'}{dc}}&&-{\frac {dc'}{db}}.\end{alignedat}}$

Ces trois équations sont celles que M. Cauchy a formées d’une manière différente, dans le Mémoire cité. Il est facile de vérifier qu’elles sont identiques, lorsque la formule

$x'dx+y'dy+z'dz$

est une différentielle exacte, ce qui a lieu, comme on sait, dans la plupart des problèmes relatifs au mouvement des fluides, soit incompressibles, soit élastiques.

On pourrait aussi prendre $a',b',c',$ pour les constantes arbitraires, et regarder $a,\,b,\,c$ comme des fonctions de ces quantités. On aurait alors, en vertu de la formule (2), trois équations qui se déduiront des précédentes par l’échange réciproque des lettres $a,\,b,\,c,$ et $a',b',c'\,;$ mais il ne paraît pas que ces diverses équations puissent être d’aucune utilité dans la théorie des fluides,

§. II.

Expressions différentielles des constantes arbitraires, devenues variables.

(5) Supposons maintenant que, sans changer la nature du systême que nous considérons, on ajoute de nouvelles forces à celles qui agissaient précédemment sur les mobiles. Les équations de condition du systême seront toujours $\mathrm {L} =0,$ $\mathrm {M} =0,$ etc.; mais les facteurs indéterminés qui multiplient les différences partielles de $\mathrm {L,\,M} ,$ etc., dans les équations du mouvement, pourront avoir changé ; c’est pourquoi nous les désignerons par $\lambda ',\mu ',$ etc., au lieu de $\lambda ,\,\mu ,$ etc. qui désignaient ces mêmes facteurs avant l’introduction des nouvelles forces. Les trois équations du mouvement du point m seront présentement

.

$\left.{\begin{aligned}m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {d\mathrm {V} }{dx}}=&(x)+\lambda '{\frac {d\mathrm {L} }{dx}}+\mu '{\frac {d\mathrm {M} }{dx}}+{\text{etc}}.,\\m{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {d\mathrm {V} }{dy}}=&(y)+\lambda '{\frac {d\mathrm {L} }{dy}}+\mu '{\frac {d\mathrm {M} }{dy}}+{\text{etc}}.,\\m{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {d\mathrm {V} }{dz}}=&(z)+\lambda '{\frac {d\mathrm {L} }{dz}}+\mu '{\frac {d\mathrm {M} }{dz}}+{\text{etc}}.;\end{aligned}}\right\}(m')$

où l’on a représenté par $(x),\,(y),\,(z),$ les composantes des nouvelles forces, dirigées respectivement suivant les coordonnées $x,\,y,\,z,$ et tendantes à les augmenter. On aura trois équations semblables pour chacun des autres points du systême.

Représentons comme précédemment (n^o 3), par $\varphi ,\,\mu ,\,\theta ,$ etc., les variables indépendantes qui suffisent pour fixer la position de tous les mobiles dans l’espace, et dont, parconséquent, leurs coordonnées sont des fonctions déterminées. Ces quantités sont les véritables inconnues du problème ; et si l’on suppose que l’on ait intégré complètement les équations du mouvement en négligeant les nouvelles forces, les valeurs de $\varphi ,\,\mu ,\,\theta ,$ etc., seront des fonctions données de $t$ et d’un certain nombre de constantes arbitraires, que nous continuerons de désigner par $a,\,b,\,c,$ etc. Or il est facile de s’assurer que le nombre de ces constantes sera toujours double de celui des inconnues,, 0, etc.; si donc, pour résoudre le problême en ayant égard aux nouvelles forces, nous faisons varier $a,\,b,\,c,$ etc., et que nous les regardions comme de nouvelles inconnues, leur nombre étant double de celui des inconnues qu’elles remplacent, nous pourrons nous donner arbitrairement autant d’équations de condition, qu’il y a de quantités $\varphi ,\,\mu ,\,\theta ,$ etc. : nous supposerons que la différentielle de chacune de ces quantités, prise par rapport à la totalité des inconnues $a,\,b,\,c,$ etc., soit égale à zéro ; hypothèse dont l’avantage sera d’émpêcher les différentielles secondes de $a,\,b,\,c,$ etc., de paraître dans les équations du mouvement ; d’où il résultera que ces inconnues seront déterminées par des équations du premier ordre.

Dorénavant nous emploierons la caractéristique $\delta ,$ pour indiquer une différentielle prise par rapport à la totalité des quantités $a,\,b,\,c,$ etc., regardées comme des fonctions de $t\,;$ et nous conserverons $\Delta$ pour marquer une variation infiniment petite, relative à une ou plusieurs de ces mêmes quantités, auxquelles on attribue des accroissemens arbitraires : la caractéristique $d$ indiquera toujours une différentielle relative au temps ; et à tout ce qui en dépend. Nous aurons, d’après notre hypothèse,

$\delta \,\varphi =0,\qquad \delta \,\psi =0,\qquad \delta \,\theta =0,\quad {\text{etc}}.;$

mais les coordonnées des mobiles étant des fonctions de $\varphi ,\psi ,\theta ,$ etc., qui ne sauraient contenir explicitement les quantités $a,\,b,\,c,$ etc., il s’ensuit qu’on aura aussi, pour chaque mobile,

${\begin{alignedat}{4}\delta \,x&={\frac {dx}{d\varphi }}\delta \,\varphi &&+{\frac {dx}{d\psi }}\delta \,\psi &&+{\frac {dx}{d\theta }}\delta \,\theta +{\text{etc}}.&&=0,\\\delta \,y&={\frac {dy}{d\varphi }}\delta \,\varphi &&+{\frac {dy}{d\psi }}\delta \,\psi &&+{\frac {dy}{d\theta }}\delta \,\theta +{\text{etc}}.&&=0,\\\delta \,z&={\frac {dz}{d\varphi }}\delta \,\varphi &&+{\frac {dz}{d\psi }}\delta \,\mu &&+{\frac {dz}{d\theta }}\delta \,\theta +{\text{etc}}.&&=0,\\\end{alignedat}}$

c’est-à-dire que les coordonnées et leurs différentielles premières conserveront la même forme dans l’hypothèse de $a,\,b,\,c,$ etc., variables, et dans celle de $a,\,b,\,c,$ etc., constantes.

(6) Cela posé, soit, comme dans le n^o 1,

${\frac {dx}{dt}}=x',\qquad {\frac {dy}{dt}}=y',\qquad {\frac {dz}{dt}}=z'\,;$

en différenciant par rapport à $t$ et à $a,\,b,\,c,$ etc., regardées comme fonctions de $t,$ on aura

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt}}=&{\frac {dx'}{dt}}dt+\delta \,x',\\{\frac {d^{2}y}{dt}}=&{\frac {dy'}{dt}}dt+\delta \,y',\\{\frac {d^{2}z}{dt}}=&{\frac {dz'}{dt}}dt+\delta \,z'\,;\end{aligned}}$

substituant ces valeurs dans les équations $(m'),$ qui doivent coïncider avec les équations $(m)$ du n^o 1, dans l’hypothèse de $a,\,b,\,c,$ etc., constantes, on en conclut

${\begin{alignedat}{4}m\,\delta \,x'&=(x)dt&&+(\lambda '-\lambda ){\frac {d\mathrm {L} }{dx}}dt&&+(\mu '-\mu ){\frac {d\mathrm {M} }{dx}}dt&&+{\text{etc}}.,\\m\,\delta \,y'&=(y)dt&&+(\lambda '-\lambda ){\frac {d\mathrm {L} }{dy}}dt&&+(\mu '-\mu ){\frac {d\mathrm {M} }{dy}}dt&&+{\text{etc}}.,\\m\,\delta \,z'&=(z)dt&&+(\lambda '-\lambda ){\frac {d\mathrm {L} }{dz}}dt&&+(\mu '-\mu ){\frac {d\mathrm {M} }{dz}}dt&&+{\text{etc}}.\end{alignedat}}$

Je multiplie ces trois équations respectivement par $\Delta \,x,\,\Delta \,y,\,\Delta \,z\,;$ je les ajoute ensuite, et au moyen de la caractéristiquẹ $\sum ,$ j’étends la somme à tous les points du système ; observant de plus que les facteurs $(\lambda '-\lambda ),(\mu '-\mu ),$ etc., peuvent être mis en-dehors de cette caractéristique, il vient

$\sum m\left(\Delta \,x\,\delta \,x'+\Delta \,y\,\delta \,y'+\Delta \,z\,\delta \,z'\right)=\sum \left((x)\Delta \,x+(y)\Delta \,y+(z)\Delta \,z\right)dt$

$+(\lambda '-\lambda )\Delta \mathrm {L} \,dt+(\mu '-\mu )\Delta \mathrm {M} \,dt+{\text{etc}}.;$

mais on a (n^o 1) $\Delta \mathrm {L} =0,$ $\Delta \mathrm {M} =0,$ etc.; faisant donc, pour abréger,

$\sum \left((x)\Delta \,x+(y)\Delta \,y+(z)\Delta \,z\right)=\nabla ,$

on aura cette équation indépendante des conditions du systême :

$\sum m\left(\Delta \,x\,\delta \,x'+\Delta \,y\,\delta \,y'+\Delta \,z\,\delta \,z'\right)=\nabla \,dt.$

On peut faire coïncider cette seconde valeur de v avec la formule (1) du n^o 1, en en retranchant la quantité

$\sum m\left(\Delta \,x'\delta \,x+\Delta \,y'\delta \,y+\Delta \,z'\delta \,z\right),$

laquelle est identiquement nulle, à cause de

$\delta \,x=0,\qquad \delta \,y=0,\qquad \delta \,z=0.$

On aura alors

$\nabla \,dt=\sum m\left(+\Delta \,x\,\delta \,x'-\Delta \,x'\delta \,x+\Delta \,y\,\delta \,y'-\Delta \,y'\delta \,y\right.$

$\left.+\Delta \,z\,\delta \,z'-\Delta \,z'\delta \,z\right)\,;\qquad$(6)

mais il faut observer que les quantités $a,\,b,\,c,$ etc., étant devenues variables, la différentielle de cette formule n’est plus nulle, comme dans le n^o 1, où ces quantités étaient supposées constantes.

(7) Cette formule se décompose en autant d’autres équations qu’il y a de quantités $a,\,b,\,c,$ etc. En effet, d’après les notations convenues (n^o 5), on a

${\begin{alignedat}{4}\delta \;\;x\;=&{\frac {dx}{da}}da&&+{\frac {dx}{db}}db&&+{\frac {dx}{dc}}dc&&+{\text{etc}}.,\\\delta \;\;x'=&{\frac {dx'}{da}}da&&+{\frac {dx'}{db}}db&&+{\frac {dx'}{dc}}dc&&+{\text{etc}}.,\\\Delta \,x\;=&{\frac {dx}{da}}\Delta \,a&&+{\frac {dx}{db}}\Delta \,b&&+{\frac {dx}{dc}}\Delta \,c&&+{\text{etc}}.,\\\Delta \,x'=&{\frac {dx'}{da}}\Delta \,a&&+{\frac {dx'}{db}}\Delta \,b&&+{\frac {dx'}{dc}}\Delta \,c&&+{\text{etc}}.\,;\end{alignedat}}$

et de même pour toutes les autres coordonnées. Je substitue ces valeurs dans le second membre de l’équation (6) ; j’ordonne tous les termes par rapport aux variations $\Delta \,a,\,\Delta \,b,\,\Delta \,c,$ etc.; et en faisant usage de la notation du n^o 2, je trouve

$\nabla \,dt=\left[(a,b)db+(a,c)dc+{\text{etc}}.\right]\Delta \,a+\left[(b,a)da+(b,c)dc+{\text{etc}}.\right]\Delta \,b+$

$\left[(c,a)da+(c,b)db+{\text{etc}}.\right]\Delta \,c+{\text{etc}}.,$

Substituons de même les valeurs de $\Delta \,x,\,\Delta \,y,\,\Delta \,z,$ dans la première expression de $\nabla$ du numéro précédent ; ordonnons aussi par rapport à $\Delta \,a,\,\Delta \,b,\,\Delta \,c,$ etc.; et désignons par $(a),\,(b),\,(c),$ etc., les coëfficients de ces variations : nous aurons en second lieu

$\nabla =(a)\Delta \,a+(b)\Delta \,b+(c)\Delta \,c+$etc.;

en supposant

$(a)=\sum \left((x){\frac {dx}{da}}+(y){\frac {dy}{da}}+(z){\frac {dz}{da}}\right),$

et de même pour les autres quantités $(b),\,(c),$ etc. Or ces deux expressions de $\nabla$ doivent être identiques par rapport

aux variations $\Delta \,a,\,\Delta \,b,\,\Delta \,c,\,$ etc., qui sont arbitraires et indépendantes entre elles ; égalant donc leurs coëfficients de part et d’autre, on aura

${\begin{aligned}(a)dt=&(a,b)db+(a,c)dc+{\text{etc}}.,\\(b)dt=&(b,a)da+(b,c)dc+{\text{etc}}.,\\(c)dt=&(c,a)da+(c,b)db+{\text{etc}}.,\\{\text{etc}}.\quad \;&\end{aligned}}$

Ces équations sont en même nombre que $a,\,b,\,c,$ etc., et les différentielles de ces quantités y sont multipliées par des fonctions de $a,\,b,\,c,$ etc., qui ne renferment pas le temps explicitement ; par les simples règles de l’élimination, on en déduira donc, dans chaque cas particulier, des valeurs de $da,\,db,\,dc,$ etc., dans lesquelles les coëfficiens de $(a),\,(b),\,(c),$ etc., seront aussi des fonctions de $a,\,b,\,c,$ etc., indépendantes de la variable t ; mais il ne paraît pas qu’on puisse parvenir, par ce moyen, aux expressions générales de ces différentielles.

(8) Au lieu de partir des équations du mouvement entre les coordonnées des mobiles, si nous eussions employé les équations entre les variables indépendantes, réduites au moindre nombre possible, comme dans le n^o 3, nous aurions obtenu, par une analyse semblable à la précédente, d’autres expressions des quantités $(a),\,(b),\,(c),$ etc., savoir :

${\begin{aligned}(a)dt=&({\overline {a,b}})db+({\overline {a,c}})dc+{\text{etc}}.,\\(b)dt=&({\overline {b,a}})da+({\overline {b,c}})dc+{\text{etc}}.,\\(c)dt=&({\overline {c,a}})da+({\overline {c,b}})db+{\text{etc}}.,\\{\text{etc}}.;\quad &\end{aligned}}$

où les notations telles que $({\overline {a,b}}),$ représentent les mêmes quantités que dans le n^o 3, et sont des fonctions de $a,\,b,\,c,$ etc., indépendantes du temps.

Ces formules sont dues à M. Lagrange, qui les a données dans son premier Mémoire sur la Théorie générale de la variation des constantes arbitraires^[3]. Elles coïncident avec les précédentes, lorsque les mobiles sont libres et indépendans entre eux ; mais, dans le cas général, elles en different par la forme des coëfficiens des différentielles $da,\,db,\,dc,$ etc., qui sont exprimés dans les unes, au moyen des variables, indépendantes, et dans les autres, au moyen des coordonnées des mobiles. Il existe d’autres formules, inverses de celles de M. Lagrange, qui donnent directement les différentielles $da,\,db,\,dc,$ etc., au moyen des quantités $(a),\,(b),\,(c),$ etc., et que l’on obtient de la manière suivante.

(9) En ayant égard aux nouvelles forces, ajoutées à celles qui agissaient primitivement sur les mobiles, les équations du mouvement du n^o 3 deviendront

$\left.{\begin{alignedat}{3}{\frac {du}{dt}}&-{\frac {d\mathrm {T} }{d\varphi }}&&+{\frac {d\mathrm {V} }{d\varphi }}&&=(\varphi ),\\{\frac {dv}{dt}}&-{\frac {d\mathrm {T} }{d\psi }}&&+{\frac {d\mathrm {V} }{d\psi }}&&=(\psi ),\\{\frac {ds}{dt}}&-{\frac {d\mathrm {T} }{d\theta }}&&+{\frac {d\mathrm {V} }{d\theta }}&&=(\theta ),\end{alignedat}}\right\}$(7)

On désigne ici par $(\varphi ),\,(\psi ),\,(\theta ),$ les coefficiens de $\Delta \,\varphi ,\,\Delta \,\psi ,\,\Delta \,\theta ,$ etc., dans la quantité $\nabla$ du n^o 6, quand on y exprime les coordonnées des mobiles en fonctions des variables indépendantes, c’est-à-dire que l’on a maintenant

$\nabla =(\varphi )\Delta \,\varphi +(\psi )\Delta \,\psi +(\theta )\Delta \,\theta +{\text{etc}}.,$

de la même manière que nous avons supposé (n^o .7)

$\nabla =(a)\Delta \,a+(b)\Delta \,b+(c)\Delta \,c+{\text{etc}}.,$

lorsque nous regardions les coordonnées des mobiles comme des fonctions de $a,\,b,\,c,$ etc.

Cette forme des équations générales du mouvement, est une extension des équations connues de la mécanique analytique, qui se rapportent au cas où la formule $\nabla$ est une différentielle exacte par rapport aux variables $\varphi ,\,\psi ,\,\theta ,$ etc., et où parconséquent $(\varphi ),(\psi ),(\theta ),$ etc. sont des différences partielles relatives à $\varphi ,\,\psi ,\,\theta ,$ etc.

(10) Maintenant supposons qu’on ait intégré complètement les équations (7), en faisant abstraction de leurs seconds membres ; $a,\,b,\,c,$ etc., étant les constantes arbitraires contenues dans leurs intégrales, chacune d’elles pourra être exprimée en fonction de $t,\,\varphi ,\,\psi ,\,\theta ,$ etc., $\varphi ',\psi ',\theta ',$ etc., ou, si l’on veut, en fonction de $t,\,\varphi ,\,\psi ,\,\theta ,$ etc., $u,\,v,\,s,$ etc., à cause que $\varphi ',\psi ',\theta ',$ etc. peuvent être exprimées elles-mêmes au moyen des dernières variables : on aura donc, dans la seconde hypothèse,

$a=\operatorname {fonct} .(t,\varphi ,\psi ,\theta ,{\text{etc}}.,u,\,v,\,s,{\text{etc}}.)\,;$

et cette équation sera une des intégrales premières des équations (7), quand on suppose nulles, les quantités $(\varphi ),(\psi ),(\theta ),$ etc. Parconséquent, pour satisfaire à ces équations avec leurs seconds membres, si l’on regarde $a$ comme une nouvelle variable ; que l’on prenne sa différentielle complète, et que l’on y substitue pour $du,\,dv,\,ds,$ etc. leurs valeurs

tirées des équations (7), tous les termes s’y détruiront, excepté ceux qui seront multipliés par $(\varphi ),(\psi ),(\theta ),$ etc.; de sorte que l’on aura simplement

$da={\frac {da}{du}}(\varphi )dt+{\frac {da}{dv}}(\psi )dt+{\frac {da}{ds}}(\theta )dt+{\text{etc}}.$

On aura des expressions semblables pour les différentielles des autres quantités $b,\,c,$ etc., devenues variables ; il ne reste donc plus, pour obtenir les valeurs de ces différentielles que nous cherchons, qu’à exprimer les coëfficiens $(\varphi ),(\psi ),(\theta ),$ etc., au moyen des coëfficiens $(a),(b),(c),$ etc.

(11) Pour cela, je différencie par rapport à la caractéristique $\Delta ,$ les quantités $a,\,b,\,c,$ etc., regardées comme des fonctions de $\varphi ,\,\psi ,\,\theta ,$ etc., $u,\,v,\,s,$ etc.; il vient

${\begin{alignedat}{6}\Delta \,a=&{\frac {da}{d\varphi }}\Delta \,\varphi &&+{\frac {da}{d\psi }}\Delta \,\psi &&+{\text{etc}}.&&+{\frac {da}{du}}\Delta \,u&&+{\frac {da}{dv}}\Delta \,v&&+{\text{etc}}.,\\\Delta \,b=&{\frac {db}{d\varphi }}\Delta \,\varphi &&+{\frac {db}{d\psi }}\Delta \,\psi &&+{\text{etc}}.&&+{\frac {db}{du}}\Delta \,u&&+{\frac {db}{dv}}\Delta \,v&&+{\text{etc}}.,\\\Delta \,c=&{\frac {dc}{d\varphi }}\Delta \,\varphi &&+{\frac {dc}{d\psi }}\Delta \,\psi &&+{\text{etc}}.&&+{\frac {dc}{du}}\Delta \,u&&+{\frac {dc}{dv}}\Delta \,v&&+{\text{etc}}.,\\{\text{etc}}.,&\end{alignedat}}$

Je substitue ces valeurs dans la seconde expression de $\nabla$ du n^o . 9 ; et en l’égalant à la première, on a

${\begin{aligned}(\varphi )&\Delta \,\varphi +(\psi )\Delta \,\psi +(\theta )\Delta \,\theta +{\text{etc}}.=\\&\left[{\frac {da}{d\varphi }}(a)+{\frac {db}{d\varphi }}(b)+{\frac {dc}{d\varphi }}(c)+{\text{etc}}.\right]\Delta \,\varphi \\+&\left[{\frac {da}{d\psi }}(a)+{\frac {db}{d\psi }}(b)+{\frac {dc}{d\psi }}(c)+{\text{etc}}.\right]\Delta \,\psi \\+&\left[{\frac {da}{d\theta }}(a)+{\frac {db}{d\theta }}(b)+{\frac {dc}{d\theta }}(c)+{\text{etc}}.\right]\Delta \,\theta \\+&{\text{ etc}}.\end{aligned}}$

${\begin{aligned}&+\left[{\frac {da}{du}}(a)+{\frac {db}{du}}(b)+{\frac {dc}{du}}(c)+{\text{etc}}.\right]\Delta \,u\\&+\left[{\frac {da}{dv}}(a)+{\frac {db}{dv}}(b)\,+{\frac {dc}{dv}}(c)+{\text{etc}}.\right]\Delta \,v\\&+\left[{\frac {da}{ds}}(a)+{\frac {db}{ds}}(b)\,+{\frac {dc}{ds}}(c)+{\text{etc}}.\right]\Delta \,s\\&+{\text{etc}}.,\end{aligned}}$

Or les variations $\Delta \,a,\,\Delta \,b,\,\Delta \,c,$ etc. étant arbitraires et indépendantes, les variations, en nombre égal, $\Delta \varphi ,\,\Delta \psi ,\,\Delta \theta ,$ etc., $\Delta \,u,\,\Delta \,v,\,\Delta \,s,$ etc., le sont aussi ; les coëfficiens de chacune de celles-ci, doivent donc être égaux dans les deux membres de cette équation ; d’où il résulte d’abord

${\begin{alignedat}{4}(\varphi )=&{\frac {da}{d\varphi }}(a)&&+{\frac {db}{d\varphi }}(b)&&+{\frac {dc}{d\varphi }}(c)&&+{\text{etc}}.,\\(\psi )=&{\frac {da}{d\psi }}(a)&&+{\frac {db}{d\psi }}(b)&&+{\frac {dc}{d\psi }}(c)&&+{\text{etc}}.,\\(\theta )=&{\frac {da}{d\theta }}(a)&&+{\frac {db}{d\theta }}(b)&&+{\frac {dc}{d\theta }}(c)&&+{\text{etc}}.,\\{\text{etc}}.,&\end{alignedat}}$

et à cause que $\Delta \,u,\,\Delta \,v,\,\Delta \,s,$ etc., se trouvent dans le second membre, sans entrer dans le premier, on aura aussi

${\begin{alignedat}{4}{\frac {da}{du}}(a)&+{\frac {db}{du}}(b)&&+{\frac {dc}{du}}(c)&&+{\text{etc}}.&&=0,\\{\frac {da}{dv}}(a)&+{\frac {db}{dv}}(b)&&+{\frac {dc}{dv}}(c)&&+{\text{etc}}.&&=0,\\{\frac {da}{ds}}(a)&+{\frac {db}{ds}}(b)&&+{\frac {dc}{ds}}(c)&&+{\text{etc}}.&&=0,\\{\text{etc}}.,\ &\end{alignedat}}$

Au moyen de ces valeurs de $(\varphi ),(\psi ),(\theta ),$ etc., l’expression de $da$ du numéro précédent devient

${\begin{aligned}da&=\left[{\frac {da}{d\varphi }}{\frac {da}{du}}+{\frac {da}{d\psi }}{\frac {da}{dv}}+{\frac {da}{d\theta }}{\frac {da}{ds}}+{\text{etc}}.\right].(a)dt\\&+\left[{\frac {db}{d\varphi }}{\frac {da}{du}}+{\frac {db}{d\psi }}{\frac {da}{dv}}+{\frac {db}{d\theta }}{\frac {da}{ds}}+{\text{etc}}.\right].(b)dt\\&+\left[{\frac {dc}{d\varphi }}{\frac {da}{du}}+{\frac {dc}{d\psi }}{\frac {da}{dv}}+{\frac {dc}{d\theta }}{\frac {da}{ds}}+{\text{etc}}.\right].(c)dt\\&+{\text{etc}}.,\end{aligned}}$

Je multiplie les équations précédentes respectivement par ${\frac {da}{d\varphi }},\,{\frac {da}{d\psi }},\,{\frac {da}{d\theta }},$ etc.; j’en fais la somme que je retranche en do suite de la valeur de $da\,:$ en adoptant la notation de la formule (5) du n^o 3, il vient

$da=[a,b].(b)dt+[a,c].(c)dt+{\text{etc}}.;$

et l’on aura semblablement

${\begin{aligned}db=&[b,a].(a)dt+[b,c].(c)dt+{\text{etc}}.,\\dc=&[c,a].(a)dt+[c,b].(b)dt+{\text{etc}}.,\\{\text{etc}}.;&\end{aligned}}$

expressions dans lesquelles les coëfficiens de $(a),(b),(c),$ etc., sont des fonctions de $a,\,b,\,c,$ etc., qui ne renferment pas le temps d’une manière explicite.

Ces formules sont celles qui se trouvent dans mon Mémoire déja cité, sur la variation des constantes arbitraires ; mais alors j’avais supposé la quantité que nous désignons par $\nabla ,$ une différentielle exacte par rapport aux variables $\varphi ,\,\psi ,\,\theta ,$ etc.; et, quoiqu’il fût aisé de voir que mon analyse ne dépendait pas de cette hypothèse, j’ai cru qu’il était bon de la reproduire ici, en ne s’assujétissant à aucune supposition.

(12) Les différentielles des constantes arbitraires se réduisent à la forme la plus simple, lorsqu’on prend pour ces constantes les valeurs initiales des variables $\varphi ,\,\psi ,\,\theta ,$ etc.; $u,\,v,\,s,$ etc.; ce qui est toujours permis. Supposons, en effet, que l’origine du mouvement réponde à $t=0,$ et qu’alors on ait

${\begin{alignedat}{3}\varphi =&a,&\psi =&b,&\theta =&c,{\text{ etc}}.,\\u=&a',\qquad &v=&b',\qquad &s=&c',{\text{ etc}}.;\end{alignedat}}$

on aura, en même temps,

${\begin{alignedat}{3}{\frac {da}{d\varphi }}=&1,\qquad &{\frac {db}{d\psi }}=&1,\qquad &{\frac {dc}{d\theta }}=&1,{\text{ etc}}.;\\{\frac {da'}{du}}=&1,&{\frac {db'}{dv}}=&1,&{\frac {dc'}{ds}}=&1,{\text{ etc}}.;\end{alignedat}}$

et toutes les autres différences partielles de $a,\,b,\,c,$ etc., $a',\,b',\,c',$ etc., relatives à $\varphi ,\psi ,\theta ,$ etc., $u,\,v,\,s,$ etc., seront égales à zéro. D’après cela, les coëfficiens des quantités $(a),(b),(c),$ etc., $(a'),(b'),(c'),$ etc., seront tous nuls quand $t=0,$ excepté les suivans, qui deviendront

${\begin{alignedat}{2}\left[a,a'\right]&=-[a',a]&&=-1,\\\left[b,b'\right]&=-[b',b]&&=-1,\\\left[c,c'\right]&=-[c',c]&&=-1,\\{\text{etc}}.\;&\end{alignedat}}$

Donc, puisque la variable $t$ doit disparaître d’elle-même dans chacun de ces coëfficiens, il s’ensuit qu’ils conserveront les mêmes valeurs, lorsqu’elle ne sera plus nulle ; par consé-

quent on aura, à un instant quelconque,

${\begin{alignedat}{2}da=&-(a')dt,\qquad &da'=&(a)dt&\,;\\db=&-(b')dt,&db'=&(b)dt&\,;\\dc=&-(c')dt,&dc'=&(c)dt&\,;\\{\text{etc}}.&\end{alignedat}}$

Ce système de constantes arbitraires ne se présente pas ordinairement dans les questions de mécanique ; néanmoins il était bon de donner les formules qui s’y rapportent, à cause de leur simplicité et de l’usage que nous en ferons dans la suite de ce Mémoire. Relativement à d’autres constantes, le calcul des coëfficiens qui entrent dans l’expression de leurs différentielles, est bien loin d’être aussi simple : si la question présente trois variables indépendantes, comme le mouvement d’un point attiré vers un centre fixe, et le mouvement de rotation d’un corps solide, on a alors six constantes arbitraires, et, par conséquent, quinze coëfficiens à calculer ; or, dans mon premier Mémoire sur ce sujet, j’ai calculé directement les quinze coëfficiens pour chacun de ces deux problêmes, et l’on a pu voir combien ce calcul est long et pénible. Mais il y a certaines constantes dont on peut trouver les différentielles d’une manière beaucoup plus simple, et toujours sous la forme du numéro précédent ; ce sont celles qui complètent les intégrales fournies par les principes généraux de la mécanique : elles ont cela de particulier que l’expression de leurs différentielles est la même pour tous les problêmes, ainsi qu’on va le voir dans le paragraphe suivant.

S. III.

Expressions relatives à des constantes particulières.

(13) Représentons par

$a=\mathrm {P} ,$

une intégrale première des équations du mouvement du n^o 1, résolue par rapport à la constante arbitraire $a,$ et telle que $\mathrm {P}$ soit une fonction donnée du temps $t,$ des coordonnées orthogonales des mobiles, et de leurs différentielles premières. En différenciant cette équation, désignant par $x',y',z',$ les quantités ${\frac {dx}{dt}},{\frac {dy}{dt}},{\frac {dz}{dt}},$ et substituant pour ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}},$ leurs valeurs tirées des équations $(m)$ du n^o 1, on aura

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}&+\sum \left({\frac {d\mathrm {P} }{dx}}x'+{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}y'+{\frac {d\mathrm {P} }{dz}}z'\right)-\sum {\frac {1}{m}}\left({\frac {d\mathrm {V} }{dx}}{\frac {d\mathrm {P} }{dx}}+{\frac {d\mathrm {V} }{dy}}{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}+{\frac {d\mathrm {V} }{dz}}{\frac {d\mathrm {P} }{dz}}\right)\\&+\lambda \sum {\frac {1}{m}}\left({\frac {d\mathrm {L} }{dx}}{\frac {d\mathrm {P} }{dx}}+{\frac {d\mathrm {L} }{dy}}{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}+{\frac {d\mathrm {L} }{dz}}{\frac {d\mathrm {P} }{dz}}\right)\\&+\mu \sum {\frac {1}{m}}\left({\frac {d\mathrm {M} }{dx}}{\frac {d\mathrm {P} }{dx}}+{\frac {d\mathrm {M} }{dy}}{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}+{\frac {d\mathrm {M} }{dz}}{\frac {d\mathrm {P} }{dz}}\right)+{\text{etc}}.=0,\end{aligned}}$

où la caractéristique $\sum$ indique toujours une somme relative à tous les points du système. Or, si l’intégrale $a=\mathrm {P} ,$ est fournie par l’un des principes généraux de la conservation des forces vives, des aires, ou du mouvement du centre de gravité, il est facile de vérifier que, dans l’équation qui s’en déduit, chacun des termes multipliés par $\lambda ,\,\mu ,$ etc., sera séparément nul ; ce qui est d’ailleurs évident, à priori, par la considération qu’une semblable intégrale satisferait encore aux équations du mouvement, lors même que les points du

systême deviendraient libres, ou qu’une partie seulement des équations de condition $\mathrm {L} =0,$ $\mathrm {M} =0,$ etc., cesserait d’avoir lieu. Ainsi l’équation précédente se décomposera en ces équations :

${\begin{aligned}{\frac {d\mathrm {P} }{dt}}+&\sum \left({\frac {d\mathrm {P} }{dx}}x'+{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}y'+{\frac {d\mathrm {P} }{dz}}z'\right)-\sum {\frac {1}{m}}\left({\frac {d\mathrm {V} }{dx}}{\frac {d\mathrm {P} }{dx}}+{\frac {d\mathrm {V} }{dy}}{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}+{\frac {d\mathrm {V} }{dz}}{\frac {d\mathrm {P} }{dz}}\right)=0,\\&\sum {\frac {1}{m}}\left({\frac {d\mathrm {L} }{dx}}{\frac {d\mathrm {P} }{dx}}+{\frac {d\mathrm {L} }{dy}}{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}+{\frac {d\mathrm {L} }{dz}}{\frac {d\mathrm {P} }{dz}}\right)=0,\\&\sum {\frac {1}{m}}\left({\frac {d\mathrm {M} }{dx}}{\frac {d\mathrm {P} }{dx}}+{\frac {d\mathrm {M} }{dy}}{\frac {d\mathrm {P} }{dy}}+{\frac {d\mathrm {M} }{dz}}{\frac {d\mathrm {P} }{dz}}\right)=0,\\&{\text{ etc}}.\end{aligned}}$

Maintenant pour étendre l’intégrale $a=\mathrm {P} ,$ aux équations du mouvement du n^o 5, considérons $a$ comme variable, et différencions, dans cette hypothèse, cette équation $a=\mathrm {P} \,:$ en substituant à la place de ${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}},{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}},$ leurs valeurs tirées des équations (m’) de ce numéro, on verra que tous les termes se détruisent en vertu des équations précédentes, excepté ceux qui sont multipliés par les nouvelles forces $(x),(y),(z)\,;$ de sorte que si l’on conserve $a,$ à la place de sa valeur $\mathrm {P} ,$ on aura simplement

$da=\sum {\frac {1}{m}}\left[{\frac {da}{dx'}}(x)+{\frac {da}{dy'}}(y)+{\frac {da}{dz'}}(z)\right]dt.\qquad$(8)

Il ne s’agira donc plus que de mettre cette valeur de $da$ sous la même forme que dans le n^o 11, c’est-à-dire de l’exprimer au moyen des quantités que nous avons désignées par $(a),(b),(c),$ etc., et dont le type général est (n^o 7)

$(c)=\sum \left[{\frac {dx}{dc}}(x)+{\frac {dy}{dc}}(y)+{\frac {dz}{dc}}(z)\right].\qquad$(9).

C’est ce que nous allons faire successivement pour chacune des intégrales premières, résultantes des principes généraux de la mécanique.

(14) Considérons d’abord l’intégrale fournie par le principe des forces vives : en désignant par $h,$ la constante arbitraire qu’elle contient elle sera, comme on sait,

$h=\mathrm {V} +{\frac {1}{2}}\sum {\frac {1}{2}}\left(x^{'2}+y^{'2}+z^{'2}\right)\,;$

on en déduit

${\frac {dh}{dx'}}=mx',\qquad {\frac {dh}{dy'}}=my',\qquad {\frac {dh}{dz'}}=mz'\,;$

mettant donc $h$ à la place de $a$ dans l’équation (8), on aura

$dh=\sum \left[x'(x)+y'(y)+z'(z)\right]dt.$

Or le principe des forces vives suppose que la fonction $\mathrm {V}$ ne contient pas le temps explicitement ; les équations du mouvement du n^o 1, ne renferment donc que l’élément de cette variable ; par conséquent une des constantes arbitraires, contenues dans leurs intégrales, doit être ajoutée au temps ; de sorte qu’en supposant que c soit cette cette constante, les coordonnées des mobiles doivent être des fonctions de $t+c.$ Nous aurons donc

$x'={\frac {dx}{dt}}={\frac {dx}{dc}},\qquad y'={\frac {dy}{dc}},\qquad z'={\frac {dz}{dc}}\,;$

d’où il suit

$dh=\sum \left[{\frac {dx}{dc}}(x)+{\frac {dy}{dc}}(y)+{\frac {dz}{dc}}(z)\right]dt\,;$

et, à cause de l’équation (9),

$dh=(c)dt.$

Cette valeur de $dh$ est, comme on voit, ramenée à la forme générale du n^o 11 ; et comme il arrive ici que $(c)$ est la seule des quantités $(a),(b),(c),$ etc., qu’elle renferme, il en faut conclure que tous les coëfficiens $[h,a],[h,b],$ etc., sont nuls, excepté $[h,c],$ qui sera égal à l’unité ; résultat qui nous sera utile dans la suite de ce Mémoire.

(15). Si l’on suppose que les forces comprises dans la fonction $\mathrm {V} ,$ proviennent uniquement de l’action mutuelle des points du systême, on aura, d’après le principe de la conservation du mouvement du centre de gravité,

$\mathrm {M} g=\sum mx',\qquad \mathrm {M} g'=\sum my',\qquad \mathrm {M} g''=\sum mz'\,;$

${\begin{alignedat}{3}&\mathrm {M} f&&+\mathrm {M} gt&&=\sum mx,\\&\mathrm {M} f'&&+\mathrm {M} g't&&=\sum my,\\&\mathrm {M} f''&&+\mathrm {M} g''t&&=\sum mz\,;\end{alignedat}}$

$\mathrm {M}$ désignant la somme de toutes les masses, et $f,f',f'',$ $g,g',g'',$ des constantes arbitraires. De plus $\mathrm {X,\,Y,\,Z} ,$ étant des quantités indépendantes de ces six constantes, les coordonnées du point quelconque $m$ seront de la forme :

${\begin{alignedat}{3}x&=f&&+gt&&+\mathrm {X} ,\\y&=f'&&+g't&&+\mathrm {Y} ,\\z&=f''&&+g''t&&+\mathrm {Z} \,;\end{alignedat}}$

et de même pour les coordonnées des autres mobiles.

On tire de là

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {M} {\frac {dg}{dx'}}=&m,\qquad &{\frac {dg}{dy'}}=&0,\qquad &{\frac {dg}{dz'}}=&0\,;\\{\frac {dx}{df}}=&1,&{\frac {dy}{df}}=&0,&{\frac {dz}{df}}=&0\,;\end{alignedat}}$

mettant donc $g$ à la place de $a$ dans l’équation (8), et $f$ à la place de $c$ dans l’équation (9), on aura

$\mathrm {M} dg=\sum (x)dt,\qquad (f)=(x)\,;$

d’où il résulte

$\mathrm {M} dg=(f)dt\,;$

et l’on trouvera de même

$\mathrm {M} dg'=(f)dt,\qquad \mathrm {M} dg''=(f'')dt.$

Ces équations donnent les valeurs de $dg,dg',dg'',$ sous la forme démandée. Pour obtenir de même les différentielles de $f,f',f'',$ j’élimine d’abord $g$ de l’équation qui détermine $f\,;$ ce qui donne

$\mathrm {M} f+t\sum mx'=\sum mx\,;$

d’où je conclus

$\mathrm {M} {\frac {dg}{dx'}}=-tm,\qquad {\frac {df}{dy'}}=0,\qquad {\frac {df}{dz'}}=0\,;$

j’ai d’ailleurs

${\frac {dx}{dg}}=t,\qquad {\frac {dy}{dg}}=0,\qquad {\frac {dz}{dg}}=0\,;$

les équations (8) et (9) donneront donc

$\mathrm {M} df=-t\sum (x)dt,\qquad (g)=t\sum (x),$

et par conséquent

$\mathrm {M} df=-(g)dt.$

On trouvera de même

$\mathrm {M} df=-(g')dt,\qquad \mathrm {M} df''=-(g'')dt.$

(16) Considérons enfin les intégrales résultantes du principe de la conservation des aires, lequel suppose d’abord que les mobiles ne sont sollicités que par leur action mutuelle et par une force dirigée constamment vers l’origine des coordonnées, et, de plus, que le système peut tourner librement autour de cette origine.

En vertu de ce principe, nous aurons

${\begin{aligned}l\;\;&=\sum m(xy'-yx'),\\l'\;&=\sum m(zx'-xz'),\\l''&=\sum m(yz'-zy')\,;\end{aligned}}$

$l,l',l'',$ étant des constantes arbitraires. On en déduit

${\begin{alignedat}{3}{\frac {dl}{dx'}}=&-my,\qquad &{\frac {dl}{dy'}}=&mx,\qquad &{\frac {dl}{dz'}}=&0\,;\\{\frac {dl'}{dx'}}=&mz,&{\frac {dl'}{dy'}}=&0,&{\frac {dl'}{dz'}}=&-mx\,;\\{\frac {dl''}{dx'}}=&0,&{\frac {dl''}{dy'}}=&-mz,&{\frac {dl''}{dz'}}=&my\,;\end{alignedat}}$

donc en mettant successivement $l,l',l'',$ à la place de $a$ dans l’équation (8), nous aurons

${\begin{alignedat}{2}&dl&&=\sum \left[x(y)-y(x)\right]dt,\\&dl'&&=\sum \left[z(x)-x(z)\right]dt,\\&dl''&&=\sum \left[y(z)-z(y)\right]dt\,;\end{alignedat}}$

mais pour ramener ces différentielles à la forme de celles du n^o 11, il est nécessaire de recourir aux formules connues de la transformation des coordonnées.

Soient donc $p,\,q,\,r,$ les nouvelles coordonnées orthogonales du point $m,$ rapportées à la même origine que $x,y,z.$ Désignons par $\gamma ,$ l’angle compris entre l’axe des $r$ et celui des $z\,;$ par $\alpha ,$ l’angle que fait l’intersection du plan des $p$ et $q,$ avec l’axe des $x\,;$ par $\beta ,$ l’angle compris entre cette même intersection et l’axe des $p\,;$ et pour qu’il ne reste aucune ambiguité sur le sens dans lequel ces angles sont comptés, supposons que les angles $\alpha$ et $\beta$ comprennent entre eux l’angle $\gamma ,$ aigu ou obtus, et que la projection de l’axe des $r$ sur le plan des $x,y,$ fait avec l’axe de $x,$ un angle égal au complément de $\alpha \,:$ nous aurons alors, d’après les formules connues,

${\begin{aligned}x&=p(sin.\alpha ..sin.\beta .cos.\gamma +cos.\alpha .cos.\beta .)\\&+q(sin.\alpha .cos.\beta .cos.\gamma -cos.\alpha .sin.\beta )+r.sin.\alpha .sin.\gamma ,\\y&=p(cos.\alpha .sin.\beta .cos.\gamma -sin.\alpha .cos.\beta )\\&+q(cos.\alpha .cos.\beta .cos.\gamma +sin.\alpha .sin.\beta )+r.cos.\alpha .sin.\gamma ,\\z&=-p.sin.\beta .sin.\gamma -q.cos.\beta .sin.\gamma +r.cos.\gamma .\end{aligned}}$

Or le système que nous considérons pouvant tourner librement autour de l’origine des coordonnées, les trois angles $\alpha ,\beta ,\gamma ,$ sont des constantes arbitraires ; et à cause que les forces qui agissent sur les mobiles, ne dépendent pas de la direction des coordonnées, on peut supposer les valeurs inconnues de $p,\,q,\,r,$ indépendantes de ces constantes. Différenciant donc par rapport à $\alpha ,$ dans cette hypothèse, on trouve

${\frac {dx}{d\alpha }}=y,\qquad {\frac {dy}{d\alpha }}=-x,\qquad {\frac {dz}{d\alpha }}=0\,;$

donc, en mettant $\alpha$ au lieu de c\cos dans l’équation (9), nous aurons

$(\alpha )=\sum \left[y(x)-x(y)\right],$

et par conséquent

$dl=-(\alpha )dt\,;$

expression qui a la forme demandée. Le calcul relatif à $dl'$ et $dl''$ n’est pas aussi simple ; nous allons en donner le détail dans le numéro suivant.

(17) Je représente, pour un moment, les valeurs précédentes de $x,\,y,\,z,$ par

${\begin{alignedat}{3}x&=\mathrm {A} p&&+\mathrm {B} q&&+\mathrm {C} r,\\y&=\mathrm {A} 'p&&+\mathrm {B} 'q&&+\mathrm {C} 'r,\\z&=\mathrm {A} ''p&&+\mathrm {B} ''q&&+\mathrm {C} ''r\,;\end{alignedat}}$

et j’observe que l’on aura réciproquement

${\begin{alignedat}{3}p&=\mathrm {A} x&&+\mathrm {A} 'y&&+\mathrm {A} ''z,\\q&=\mathrm {B} x&&+\mathrm {B} 'y&&+\mathrm {B} ''z,\\r&=\mathrm {C} x&&+\mathrm {C} 'y&&+\mathrm {C} ''z.\end{alignedat}}$

Cela posé, 1^o je différencie par rapport à $\beta \,;$ en faisant attention à la forme des coëfficiens de $p,\,q,\,r,$ je trouve

${\begin{alignedat}{2}{\frac {dx}{d\beta }}&=\mathrm {B} p&&-\mathrm {A} q,\\{\frac {dy}{d\beta }}&=\mathrm {B} 'p&&-\mathrm {A} 'q,\\{\frac {dz}{d\beta }}&=\mathrm {B} ''p&&-\mathrm {A} ''q,\\\end{alignedat}}$

substituant pour $p,\,q,\,r,$ leurs valeurs, on a

${\begin{alignedat}{2}{\frac {dx}{d\beta }}&=\mathrm {\left(BA'-AB'\right)} y&&+\mathrm {\left(BA''-AB''\right)} z,\\{\frac {dy}{d\beta }}&=\mathrm {\left(B'A-A'B\right)} x&&+\mathrm {\left(B'A''-A'B''\right)} z,\\{\frac {dz}{d\beta }}&=\mathrm {\left(B''A-A''B\right)} x&&+\mathrm {\left(B''A'-A''B'\right)} y\,;\end{alignedat}}$

en vertu de l’équation (9), nous aurons donc

$(\beta )=\mathrm {\left(BA'-AB'\right)} .\sum \left[y(x)-x(y)\right]+\mathrm {\left(B''A-A''B\right)} .\sum \left[x(z)-z(x)\right]$

$+\mathrm {\left(B'A''-A'B''\right)} .\sum \left[z(y)-y(z)\right]\,;$

ou, ce qui est la même chose,

$(\beta )dt=\mathrm {\left(AB'-BA'\right)} dl+\mathrm {\left(A''B-B''A\right)} dl+\mathrm {\left(A'B''-B'A''\right)} dl''.$

Or on sait et il est aisé de vérifier que

${\begin{aligned}&\mathrm {AB'-BA'=C''} =cos.\gamma ,\\&\mathrm {A''B-B''A=C'} =cos.\alpha .sin.\gamma ,\\&\mathrm {A'B''-B'A''=C} =sin.\alpha .sin.\gamma \,;\end{aligned}}$

on aura donc enfin

$(\beta )dt=cos.\gamma .dl+cos.\alpha .sin.\gamma .dl'+sin.\alpha .sin.\gamma .dl''.\qquad$(10)

2^o Je différencie les valeurs de $x,\,y,\,z,$ par rapport à $\gamma \,;$ il vient

${\begin{aligned}{\frac {dx}{d\gamma }}&=(\mathrm {A} 'p+\mathrm {B} ''q+\mathrm {C} ''r).sin.\alpha =z.sin.\alpha ,\\{\frac {dy}{d\gamma }}&=(\mathrm {A} 'p+\mathrm {B} 'q+\mathrm {C} ''r).cos.\alpha =z.cos.\alpha ,\\{\frac {dz}{d\gamma }}&=-(p.sin.\beta +q.cos.\beta )cos.\gamma -r.sin.\gamma \,;\end{aligned}}$

mettant pour $p,\,q,\,r,$ leurs valeurs dans cette dernière équation, et réduisant, on trouve

${\frac {dz}{d\gamma }}=-x.sin.\alpha -y.cos.\alpha \,;$

donc, en vertu de l’équation (9), on aura

$(\gamma )=sin.\alpha .\sum \left[z(x)-x(z)\right]-cos.\alpha .\sum \left[y(z)-z(y)\right]\,;$

ce qui est la même chose que

$(\gamma )dt=sin.\alpha .dl'-cos.\alpha .dl''.\qquad$(11)

3^o En observant que $dl=-(\alpha )dt,$ je tire des équations (10) et (11), les valeurs cherchées de $dl'$ et $dl'',$ savoir :

${\begin{alignedat}{3}dl'&={\frac {cos.\alpha }{sin.\gamma }}.(\beta )dt&&+{\frac {cos.\alpha .cos.\gamma }{sin.\gamma }}.(\alpha )dt&&+sin.\alpha .(\gamma )dt,\\dl''&={\frac {sin.\alpha }{sin.\gamma }}.(\beta )dt&&+{\frac {sin.\alpha .cos.\gamma }{sin.\gamma }}.(\alpha )dt&&-cos.\alpha .(\gamma )dt.\end{alignedat}}$

(18) Jusqu’ici, rien ne spécifie le plan que nous avons pris pour celui des coordonnées $p$ et $q\,;$ supposons maintenant que ce soit le plan du maximum des aires, dont la direction dépend, comme on sait, des valeurs des quantités $l,l',l'',$ de manière qu’il est invariable, lorsque ces quantités sont constantes, et qu’il change de direction ; quand elles deviennent variables. En appelant $k,$ la somme des aires relatives à ce plan, et observant que $cos.\gamma ,$ $cos.\alpha .sin.\gamma ,$ $sin.\alpha .sin.\gamma ,$ sont les cosinus des angles que l’axe des $r,$ qui lui est perpendiculaire, fait avec les axes des $z,\,y,\,x,$ on aura, d’après la théorie connue de la projection des aires,

$l=k.cos.\gamma ,\qquad l'=k.cos.\alpha .sin.\gamma ,\qquad l''=k.sin.\alpha .sin.\gamma \,;$

et l’on pourra remplacer les trois constantes arbitraires $l,l',l'',$ par les quantités $k,\alpha$ et $\gamma .$

Je différencie donc ces valeurs de $l,l',l'',$ et je substitue leurs différentielles dans les équations (10) et (11), et dans $dl-(\alpha )dt\,;$ il vient

${\begin{aligned}(\beta )dt&=dk,\qquad (\gamma )dt=-k.sin.\gamma .d\alpha ,\\(\alpha )dt&=-cos.\gamma .dk+k.sin.\gamma .d\gamma \,;\end{aligned}}$

d’où l’on tire

${\begin{aligned}dk&=(\beta )dt,\\d\alpha &=-{\frac {1}{k.sin.\gamma }}(\gamma )dt,\\d\gamma &={\frac {1}{k.sin.\gamma }}.(\alpha )dt+{\frac {cos.\gamma }{k.sin.\gamma }}(\beta )dt,\end{aligned}}$

pour les valeurs de $dk,\,d\alpha ,\,d\gamma ,$ sous la forme du n^o 11.

(19) Nous pouvons conclure de tout ce qui précède, qu’il y a dix constantes arbitraires dont on peut déterminer, à priori, les différentielles, savoir : les six constantes $f,f',f'',$ $g,g',g'',$ relatives au mouvement du centre de gravité du systême ; la constante $h,$ qui entre dans l’équation des forces vives ; les angles $\alpha$ et $\gamma ,$ qui déterminent la direction du plan invariable ; et enfin la constante $k,$ qui représente la somme des aires relatives à ce plan. Quant à l’angle $\beta ,$ compté dans le plan invariable, et à la constante $c,$ ajoutée au temps, ce n’est que dans chaque cas particulier qu’on en pourra déterminer les différentielles, ainsi que celles des constantes contenues dans les autres intégrales relatives au problême qu’on se proposera de résoudre. S’il s’agit du mouvement d’un point attiré vers un centre fixe, suivant une fonction quelconque de la distance, ou du mouvement de rotation d’un corps solide autour d’un point fixe, on n’aura pas à considérer les six constantes $f,f',f'',$ $g,g',g''\,;$ et, de plus, chacun de ces problêmes ne comportant que six constantes arbitraires, on pourra prendre, pour ces constantes, les six quantités $h,\,k,\,c,$ $\alpha ,\gamma ,\beta ,$ comme je l’ai fait dans le Mémoire cité sur la variation des constantes arbitraires. Il ne restera alors à trouver que les différentielles de $\beta$ et de $c\,;$ et d’après le n^o 11, elles seront de la forme :

${\begin{alignedat}{5}d\beta &=[\beta ,h].(h)dt&&+[\beta ,k].(k)dt&&+[\beta ,\alpha ].(\alpha )dt&&+[\beta ,\gamma ].(\gamma )dt&&+[\beta ,c].(c)dt,\\dc&=[c,h].(h)dt&&+[c,k].(k)dt&&+[c,\alpha ].(\alpha )dt&&+[c,\gamma ].(\gamma )dt&&+[c,\beta ].(\beta )dt.\end{alignedat}}$

Or, dans le n^o 14, nous avons vu qu’on devoit avoir

$[\beta ,h]=0,\qquad [c,h]=-[h,c]=-1\,;$

par la même raison, la quantité $(c)$ n’entrant pas dans les valeurs précédentes de $dk,\,d\alpha ,\,d\gamma ,$ on aura

$[c,k]=0,\qquad [c,\alpha ]=0,\qquad [c,\gamma ]=0\,;$

et si l’on fait attention aux coëfficiens de la quantité $(\beta )$ dans ces mêmes différentielles, on en conclura

$[\beta ,k]=-[k,\beta ]=-1,\qquad [\beta ,\alpha ]=0,\qquad [\beta ,\gamma ]=-[\gamma ,\beta ]=-{\frac {cos.\gamma }{ksin.\gamma }}.$

Donc, à cause de $[c,\beta ]=-[\beta ,c],$ les valeurs de $d\beta$ et $dc$ se réduisent à

${\begin{aligned}d\beta &=-(k)dt-{\frac {cos.\gamma }{k.sin.\gamma }}.(\gamma )dt+[\beta ,c].(c)dt,\\dc&=-(h)dt-[\beta ,c].(\beta )dt\,;\end{aligned}}$

de sorte que l’on n’aura plus que le coëfficient $[\beta ,c]$ à calculer.

On est obligé de recourir à la formule (5) du n^o 3, pour déterminer la valeur de cette quantité ; elle dépend de la ligne à laquelle répond l’angle $\beta ,$ compté dans le plan principal des momens, à partir de son intersection avec le plan fixe des $x,\,y,$ et aboutissant à la ligne arbitraire que l’on a prise pour l’axe des $p\,:$ si l’on suppose que cette ligne soit un rayon vecteur maximum ou minimum du mobile, dans le problême du mouvement d’un point autour d’un centre fixe, on trouve le coëfficient $[\beta ,c]$ égal à zéro ; et dans celui du mouvement de rotation, on trouve également cette quantité nulle, en partant de la supposition que j’ai faite dans le Mémoire cité plus haut. J’ai donné, dans ce Mémoire, le calcul entier de la valeur de $[\beta ,c],$ et je me contenterai d’y renvoyer pour cet objet^[4].

En supprimant donc ces derniers termes des valeurs de $d\beta$ et $dc,$ on aura

${\begin{aligned}d\beta &=-(k)dt-{\frac {cos.\gamma }{k.sin.\gamma }}.(\gamma )dt,\\dc&=-(h)dt\,;\end{aligned}}$

et ces formules, jointes à celles des n^os14 et 18, détermineront les différentielles de toutes les constantes arbitraires, relatives, soit au mouvement de rotation d’un corps solide, soit au mouvement d’un point attiré vers un centre fixe.

(20) Pour plus de généralité, nous n’avons pas supposé, dans toute notre analyse, les nouvelles forces qui font varier les constantes arbitraires, assujéties à la condition que la somme de ces forces, multipliées chacune par l’élément de sa direction, fût une différențielle exacte relativement aux coordonnées des mobiles ; de manière que nos formules peuvent servir à en calculer, par exemple, les altérations produites par la résistance d’un milieu, et généralement tous les genres de perturbations résultantes de forces données qu’on suppose très-petites par rapport à celles qui agissaient primitivement sur les mobiles. Lorsque la condition dont nous parlons aura lieu, la quantité $\nabla$ du n^o 6, sera la différentielle exacte d’une. fonction des variables indépendantes, et par conséquent aussi, d’une fonction des constantes arbitraires. Si l’on représente cette fonction par $\Omega ,$ les coëfficiens désignés généralement par $(a),(b),(c),$ etc. (nº 7), ne seront autre chose que les différences partielles de $\Omega ,$ par rapport à $a,\,b,\,c,$ etc.; faisant donc, dans les formules précédentes,

$(h)=dh,\qquad (k)={\frac {d\Omega }{dk}},\qquad (c)={\frac {d\Omega }{dc}},{\text{etc}}.\,;$

elles deviendront

${\begin{aligned}dh&={\frac {d\Omega }{dk}}.dt,\\dc&=-{\frac {d\Omega }{dh}}.dt,\\dk&={\frac {d\Omega }{d\beta }}.dt,\\d\alpha &=-{\frac {1}{k.sin.\gamma }}.{\frac {d\Omega }{d\gamma }}.dt,\\d\gamma &={\frac {1}{k.sin.\gamma }}.{\frac {d\Omega }{d\alpha }}.dt+{\frac {cos.\gamma }{k.sin.\gamma }}.{\frac {d\Omega }{d\beta }}.dt,\\d\beta &=-{\frac {d\Omega }{dk}}.dt-{\frac {cos.\gamma }{k.sin.\gamma }}.{\frac {d\Omega }{d\gamma }}.dt\,;\end{aligned}}$

équations dont il est facile de reconnaître l’identité avec celles que j’ai trouvées dans mon premier Mémoire, par le calcul direct des quinze coëfficiens relatifs aux deux problêmes auxquels ces formules s’appliquent.

On peut remarquer qu’en désignant par $d,$ une différentielle relative à la totalité des constantes arbitraires, on a $d\Omega =0\,;$ propriété qui convient, en effet, à toute fonction des variables indépendantes, puisque la variation d de chacune de ces variables a été supposé nulle (n^o 5); mais on voit de plus que, relativement à la fonction $\Omega ,$ sa différentielle par rapport aux deux constantes $h$ et $c,$ est séparément nulle ; de manière que l’équation $d\Omega =0,$ se décompose en deux autres, savoir :

${\frac {d\Omega }{dh}}dh+{\frac {d\Omega }{dc}}dc=0,$

${\frac {d\Omega }{dk}}dk+{\frac {d\Omega }{d\alpha }}d\alpha +{\frac {d\Omega }{d\gamma }}d\gamma +{\frac {d\Omega }{d\beta }}d\beta =0.$

§ IV.

Application des formules précédentes aux variations des
grands axes et des moyens mouvemens des planètes.

(21) Les théorêmes que nous allons démontrer dans ce paragraphe, supposent que les forces qui font varier les constantes arbitraires satisfont à la condition du numéro précédent ; ils exigent de plus que la fonction relative à ces forces, que nous avons appelée, soit développable en série convergente de sinus ou de cosinus d’arcs proportionnels au temps, et qu’il en soit de même à l’égard de ses différences partielles, prises par rapport aux constantes arbitraires ; or, pour que cette dernière condition soit remplie, il est nécessaire que la différentiation du développement de $\Omega ,$ par rapport à l’une de ces constantes, ne fasse pas sortir le temps hors des sinus ou cosinus : c’est ce que l’on obtiendra, dans le cas du mouvement des planètes, en faisant subir aux formules de la variation des constantes, la préparation que nous allons expliquer.

Supposons donc que la somme des forces perturbatrices, multipliées chacune par l’élément de sa direction, satisfasse à la condition d’intégrabilité du numéro précédent ; supposons aussi que le principe des forces vives a lieu, par rapport aux forces qui agissaient primitivement sur les mobiles ; on aura alors, quel que soit le systême que l’on considère (n^o 14),

$dh={\frac {d\Omega }{dc}}dt\,;$

$h$ étant la constante de l’équation des forces vives, et $c,$ la constante ajoutée au temps dans les intégrales des équations du mouvement dû aux forces primitives. En même temps, la différentielle de cette constante $c,$ devenue variable, sera de la forme :

$dc=-{\frac {d\Omega }{dh}}dt+\mathrm {C} dt\,;$

en représentant par $\mathrm {C} dt,$ la somme des termes de sa valeur, qui peuvent contenir les différences partielles de $\Omega ,$ relatives aux autres constantes arbitraires.

Imaginons enfin que dans les intégrales du mouvement primitif, le temps soit par-tout multiplié par une certaine fonction de $h$ que nous désignerons par $n.$ Les valeurs des coordonnées des mobiles qu’on tirera de ces intégrales et des équations de condition du systême, seront des fonctions de $n(t+c),$ qui pourront encore contenir $h,$ indépendamment de $n.$ Il en sera de même de la fonction $\Omega ,$ dans laquelle on aura substitué, à la place de ces coordonnées, leurs valeurs ; par conséquent la différence partielle relative à $h,$ se partagera en deux parties, savoir :

${\frac {d\Omega }{dh}}+{\frac {t+c}{n}}.{\frac {dn}{dh}}.{\frac {d\Omega }{dc}}\,;$

le premier terme représentant la partie relative à la quantité $h$ qui entre explicitement dans $\Omega ,$ et le second exprimant la différence partielle de $\Omega ,$ prise par rapport à $n,$ considérée comme une fonction de $h.$ Mettant donc ces deux termes à la place de ${\frac {d\Omega }{dh}},$ dans la valeur de $dc,$ on aura

$dc=-{\frac {d\Omega }{dh}}dt-{\frac {t+c}{n}}.{\frac {dn}{dh}}.{\frac {d\Omega }{dc}}dt+\mathrm {C} dt.$

D’ailleurs on a identiquement

$n(t+c)=\int ndt+\int tdn+nc\,;$

si donc on fait

$\int tdn+nc=\varepsilon ,$

et si l’on considère $\Omega$ comme une fonction de $\int ndt+\varepsilon ,$ au lieu de $n(t+c),$ on aura

$d\varepsilon =(t+c)dn+ndc,\qquad {\frac {d\Omega }{dc}}=n{\frac {d\Omega }{d\varepsilon }}\,;$

d’où l’on conclut

$dh=n{\frac {d\Omega }{d\varepsilon }}dt,$

$d\varepsilon =-n{\frac {d\Omega }{dh}}dt+n\mathrm {C} dt.$

La constante $c,$ se trouvera ainsi remplacée par $\varepsilon ,$ dont la la différentielle a conservé, au facteur $n$ près, la même forme que celle de $c\,;$ et, d’après ce qu’on a dit à la fin du n^o 14, la différence partielle de $\Omega ,$ par rapport à $h,$ n’entrant pas dans les différentielles des autres constantes arbitraires, il n’y aura rien de changé à leurs expressions, si ce n’est qu’il y faudra mettre $n{\frac {d\Omega }{d\varepsilon }},$ à la place de ${\frac {d\Omega }{dc}}.$

(22) Toutes les suppositions que nous venons de faire, conviennent au mouvement elliptique d’une planète autour du soleil, ou d’un satellite autour de sa planète, troublé par l’action des autres corps célestes. En effet les coordonnées du mouvement elliptique s’expriment en fonctions de la longitude moyenne qui est de la forme $n(t+c)\,;$ et le coëfficient $n$ dépend du grand axe, lequel dépend lui-même de la constante des forces vives ; car on a les équations connues

$a=-{\frac {\mu }{h}},\qquad n={\frac {\sqrt {\mu }}{a{\sqrt {a}}}}\,;$

dans lesquelles $h$ est la même constante que précédemment, $a,$ le demi-grand axe de l’orbite, et $\mu ,$ une constante absolue qui exprime l’intensité de la pesanteur universelle à l’unité de distance. De plus $\Omega$