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Joseph Boussinesq - Essai sur la théorie des eaux courantes, 1877.djvu
TitreEssai sur la théorie des eaux courantes
AuteurJoseph Boussinesq Voir l'entité sur Wikidata
Maison d’éditionImprimerie Nationale
Lieu d’éditionParis
Année d’édition1877
BibliothèqueBibliothèque nationale de France
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Pages

Titre

Rapport

 iv  v  vi  vii  viii  ix  x  xi  xii  xiii  xiv  xv  xvi  xvii  xviii  xix  xx  xxi  xxii  xxiii  xxiv  xxv

Introduction

001 002 003 004 005 006 007 008 009 010 011 012 013 014 015 016 017 018 019 020 021 022 023

Première partie

024 025 026 027 028 029 030 031 032 033 034 035 036 037 038 039 040 041 042 043 044 045 046 047 048 049 050 051 052 053 054 055 056 057 058 059 060 061

Deuxième partie

062 063 064 065 066 067 068 069 070 071 072 073 074 075 076 077 078 079 080 081 082 083 084 085 086 087 088 089 090 091 092 093 094 095 096 097 098 099 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241

Troisième partie

242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529

Quatrième partie

530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 611 612 613 614 615 616 617 618 619 620 621 622 623 624 625 626 627 628 629 630 631 632 633 634 635 636 637 638 639 640 641 642 643 644 645 646 647 648 649 650 651 652 653 654 655 656 657 658 659

Corrections et additions

660 661 662 663 664 665 666

Table des matières

TdM TdM TdM TdM TdM TdM TdM TdM TdM TdM TdM TdM TdM TdM

Additions et éclaircissements

001 002 003 004 005 006 007 008 009 010 011 012 013 014 015 016 017 018 019 020 021 022 023 024 025 026 027 028 029 030 031 032 033 034 035 036 037 038 039 040 041 042 043 044 045 046 047 048 049 050 051 052 053 054 055 056 057 058 059 060 061 062 063 064 065

TABLE DES MATIÈRES




Pages.
Rapport approbatif, par MM. Bonnet, Phillips, de Saint-Venant, rapporteur 
 i à xxii
INTRODUCTION.
i
L’écoulement des fluides, bien continu dans les espaces capillaires, est tumultueux et tourbillonnant dans les grandes sections 
 1
 
Sur les mouvements bien continus et sur les phénomènes de filtration (note) 
 1
II
Comment on peut tenir compte analytiquement de l’agitation tourbillonnaire. Régime uniforme. 
 6
III
Mouvement permanent graduellement varié. Division dès cours d’eau en deux classes principales, rivières et torrents. 
 8
IV
Influence d’une courbure sensible de la surface libre. Circonstances que présentent l’établissement et la destruction du régime uniforme ou, plus généralement, de tout régime graduellement varié. 
 11
V
Influence d’une courbure sensible du fond. Cas d’un fond régulièrement ondulé 
 14
VI
Du mouvement non permanent. Propagation des ondes le long d’un canal contenant une eau en repos 
 15
VII
Propagation des ondes le long d’un canal dont l’eau s’écoule 
 19
VIII
Lois particulières qui régissent les longues intumescences de courbure insensible. 
 20
IX
Objet des Notes complémentaires 
 22

PREMIÈRE PARTIE.

ÉTABLISSEMENT DES FORMULES FONDAMENTALES.

§ i. — considérations préliminaires sur le mouvement des eaux courantes : vitesses moyennes locales, accélérations moyennes locales, etc.
1. 
Vitesses moyennes locales, filets fluides 
 24
2. 
Condition de continuité ou de conservation des volumes fluides 
 25
3. 
Vitesses des dilatations et des glissements 
 26
4. 
Expressions des accélérations moyennes locales 
 28
5. 
Cas exceptionnel pour lequel ces expressions sont peut-être en défaut. 
 30
§ ii. — formules relatives aux actions moyennes qui sont exercées à travers des éléments plans fixes.
Pages.
6. 
Composantes des pressions moyennes locales, exprimées en fonction de six d’entre elles 
 32
 
Sur les formules générales qui régissent les pressions à l’intérieur des milieux (note) 
 32
7, 
8 et 9. Formules de ces six composantes N, T 
  33
§ iii. — expression approchée du coefficient ε des frottements intérieurs.
10  
et 11. Causes dont dépendent le coefficient ε des frottements intérieurs et l’intensité de l’agitation tourbillonnaire 
 46
12. 
Valeurs de ε quand la section est rectangulaire très-large ou circulaire 
 49
13. 
Forme de l’expression de ε dans les autres cas 
 51
§ iv. — équations indéfinies des mouvements.
14. 
Établissement de ces équations 
 52
15. 
Ce que ces équations deviennent : 1o Quand les frottements sont négligeables. 
 53
16. 
2o Quand les filets fluides sont presque rectilignes et parallèles. 
 55
§ v. — conditions spéciales aux surfaces-limites.
17. 
Conditions cinématiques 
 57
18. 
Conditions dynamiques 
 58
19. 
Application aux parois. Frottement extérieur 
 59
20. 
Application aux surfaces libres 
 60

DEUXIÈME PARTIE.

ÉTUDE DU MOUVEMENT PERMANENT.

§ vi. — du mouvement permanent graduellement varié ; équations différentielles.
21  
et 22. Ces équations : 1o En général. 
 62
23. 
2o Quand la section est un rectangle de grande largeur. 
 67
24. 
3o Quand la section est circulaire ou demi-circulaire 
 70
§ vii. — cas particulier du régime uniforme.
25. 
Lois du régime uniforme : 1o Quand la section est rectangulaire très-large 
 72
26. 
2o Quand-elle est circulaire ou demi-circulaire 
 73
27. 
3o Quand elle est quelconque 
 75
28. 
Remarques. 
 77
§ viii. — comparaison de la théorie avec l’expérience
Pages.
29. 
Accord de la théorie avec les expériences anciennes et avec celles de MM. Darcy et Bazin sur les débits des tuyaux et des canaux 
 78
29  
bis. Expression approchée du débit d’une rivière à régime uniforme, en fonction de la hauteur de ses eaux en un point donné 
 80
30. 
Formules monômes et valeur moyenne du coefficient de frottement b 
 82
31. 
Accord de la théorie avec les expériences de MM. Darcy et Bazin sur la répartition des vitesses aux divers points-des sections. 
 84
32. 
Valeurs moyennes des deux coefficients a et B, caractéristiques du frottement intérieur èf du frottement extérieur 
 86
33. 
Remarques 
 87
34. 
Expériences à faire pour déterminer a et B dans les divers cas 
 87
§ ix. — du mouvement permanent graduellement varié, quand la section est rectangulaire très-large.
35. 
Équation fondamentale 
 88
36. 
Son intégration par approximations successives 
 89
37. 
Expression du frottement extérieur en fonction de la vitesse moyenne 
 90
38. 
Équation du mouvement 
 92
§ x. — du mouvement permanent graduellement varié, quand la section est circulaire ou demi-circulaire
39. 
Équation fondamentale. Son intégration par approximations successives 
 93
40. 
Expression du frottement extérieur en fonction de la vitesse moyenne 
 94
41. 
Équation cherchée du mouvement 
 95
§ xi. — vérification, dans les deux-cas précédents et dans un autre cas assez général, de la condition d’incompressibilité.
42. 
Celle vérification résulte de ce que les rapports mesurant les inclinaisons relatives des filets fluides, sont sensiblement des fonctions linéaires des coordonnées transversales y, z 
 96
42  
bis. Sur un autre cas assez général où les rapports varient encore linéairement d’un point à un autre d’une même section 
 98
43. 
Les rapports ne sont ainsi des fonctions linéaires des coordonnées transversales qu’autant que le mouvement permanent est graduellement varié 
 101
§ xii. — équation générale du mouvement permanent graduellement varié.
44. 
Forme provisoire de l’équation cherchée 
 102
45. 
Expression du frottement extérieur en fonction de la vitesse moyenne 
 104
45  
bis. Valeur générale du coefficient β caractéristique de la partie du frottement extérieur qui dépend de la variation du mouvement 
 107
46. 
Équation définitive du mouvement : ses différences d’avec l’équation de Coriolis. Évaluation de la perte de charge due aux frottements 
 112
§ xiii. — considérations générales sur l’emploi de cette équation.
47. 
Application aux cas : 1o D’un tuyau unique 
 114
48. 
2o D’un réseau de tuyaux 
 115
49. 
3o D’un canal découvert 
 116
50. 
Sur les points où le mouvement cesse d’être graduellement varié, parce que le lit s’y écarte notablement de la forme prismatique 
 117
51. 
Sur les points où il se produit des ressauts 
 119
52. 
Il doit exister un principe général de stabilité du mouvement permanent, qui lève l’indétermination apparente du problème 
 120
§ xiv. — principe de borda et formule du ressaut.
53. 
Principe de Borda modifié 
 121
54. 
Perte de charge que produit un élargissement brusque d’un tuyau 
 126
55. 
Coefficient de la dépense fourme par un ajutage cylindrique court 
56. 
Cas d’un ajutage dont la section est plus grande que l’orifice en mince paroi plane auquel il est adapté 
56  
bis. Perte de charge produite à l’entrée non évasée d’un tuyau 
 129
57. 
Formule du ressaut 
 129
58. 
Tout ressaut relie deux parties d’un cours d’eau, dont l’une est à l’état torrentueux et l’autre à l’état tranquille 
 131
59. 
Accord de la formule du ressaut, modifiée, avec les résultats fournis par l’expérience 
 134
60. 
Formule générale pour le calcul de tout accroissement brusque de la section vive d’un canal découvert 
 135
60  
bis. Extension de cette formule et du principe de Borda à des cas où les parois ne sont plus prismatiques et à d’autres où il y a bifurcation des tuyaux ou des canaux 
 138
§ xv. — du mouvement permanent varié dans un canal où pourrait s’établir un régime sensiblement uniforme.
61. 
Exposé du problème 
 141
62. 
Caractère distinctif des parties d’amont et des parties d’aval 
 142
63. 
Trois cas peuvent se présenter 
 144
64. 
1o Canal de faible pente 
 145
65. 
Impossibilité de l’existence de plus d’un ressaut le long d’un canal prismatique et détermination complète de l’état hydraulique d’un tel canal 
 147
66. 
2o Canal de forte pente 
 149
67. 
3o Canal dont la pente est très-graduellement variée, tantôt forte, tantôt faible 
 150
§ xvi. — classification des cours d’eau : rivières et torrents. — considérations sur l’établissement du régime des cours d’eau naturels.
68. 
Division des cours d’eau en deux classes principales. 
 151
69. 
Caractères des cours d’eau de forte pente 
 152
70. 
Caractères des cours d’eau de faible pente 
 152
71. 
Dénominations de torrent et de rivière. Remarque sur le fait consistant en ce que le coefficient b’ varie en sens inverse du rayon moyen 
 153
72. 
Endroits exceptionnels où un torrent est à l’état tranquille ou une rivière à l’état torrentueux 
 154
73  
et 74. Comment se règle à la longue le lit de la plupart des cours d’eau. Pourquoi les rivières sont-elles, en général, de plus grands cours d’eau que les torrents ? 
 154
§ xvii. — digression sur les thalwegs et les faîtes à la surface du sol et sur leurs rapports avec les lignes des déclivités minima.
75. 
Trait distinctif de la forme de la surface terrestre 
 162
76  
et 77. Lignes de thalweg et bassins 
 164
78. 
Lignes de fuite. Réflexion sur les deux modes comparés de la circulation des liquides à la surface du globe et dans l’organisme animal 
 169
79. 
Versants 
 171
80. 
Propriété caractéristique des lignes des déclivités maxima et de celles des déclivités minima. Rapports des faîtes et des thalwegs avec ces dernières lignes 
 172
81. 
Formes diverses de l’équation des lignes des déclivités maxima ou minima 
 173
81  
bis. Autre propriété de ces lignes remarquables 
 175
§ xviii. — du mouvement permanent varié dans un canal d’une largeur constante très-grande, en avant égard à la courbure des filets fluides. équations différentielles.
82  
et 83. Formules fondamentales 
 178
84. 
Mode d’intégration 
 185
84  
bis. Forme que prend l’équation du mouvement, quelle que soit l’expression de la petite quantité μ 
 186
§ xix. — équation approchée du mouvement permanent.
85. 
Hypothèse simplificatrice consistant à remplacer, dans les termes qui dépendent des courbures, les composantes longitudinales u des vitesses par leur valeur moyenne U 
 189
86. 
Établissement de l’équation cherchée 
 191
87  
et 88. Formes diverses qu’on peut lui donner 
 193
§ xx. — examen du cas où le fond n’a pas de courbure longitudinale sensible. formules préliminaires.
Pages.
89. 
Introduction de la profondeur de régime uniforme 
 194
§ xxi. — circonstances que présentent l’établissement et la destruction du régime uniforme et, plus généralement, de tout régime graduellement varié. nécessité d’établir, sous le nom de torrents de pente modérée, une troisième classe de cours d’eau.
90  
et 91. Simplifications qui résultent, aux points considérés, de la petitesse de l’excès relatif de la profondeur sur celle de régime uniforme prise pour unité 
 196
92  
et 93. Intégration de l’équation approchée du mouvement permanent 
 198
94, 
95, 96, 97 et 98. Circonstances que présentent l’établissement et la destruction du régime uniforme 
 200
99. 
Nécessité d’admettre une troisième classe intermédiaire de cours d’eau 
 207
99  
bis. Circonstances que présentent, en général, l’établissement et la destruction d’un régime graduellement varié. 
 208
§ xxii. étude de la forme des ressauts allongés et onduleux qui se produisent, dans les torrent peu rapide, aux points où le régime cesse d’être uniforme.
100. 
Exposé du problème 
 211
101. 
Forme générale du profil longitudinal du ressaut 
 212
102. 
Calcul approximatif de la hauteur des ondulations successives 
 214
103. 
La forme de chaque ondulation est à peu près celle d’une onde solitaire. 
 216
104. 
Vérifications expérimentales 
 216
105. 
Forme que prend la surface quand on produit une cataracte et non un ressaut 
 217
§ xxiii. — retour au cas plus général d’un fond courbe. intégration approchée de l’équation du mouvement permanent aux points où le régime est presque uniforme.
106  
et 107. Simplifications qui proviennent de la quasi-uniformité supposée du mouvement 
 218
108  
et 109. Superposition des petits effets. Intégration de l’équation, principalement quand le fond présente une série d’ondulations de même longueur, mais d’une hauteur progressivement croissante ou décroissante 
 220
§ xxiv. — influence que des ondulations du fond exercent sur la surface.
110. 
Cas d’un fond régulièrement ondulé : phase et amplitude des ondulations produites à la surface 
 223
111  
et 112. Lois de la phase 
 224
113, 
114 et 115. Lois de l’amplitude 
 228
116. 
Pente particulière pour laquelle le régime est pseudo-uniforme. Équation exacte propre à ce régime 
 232
116  
bis. Cas d’un fond irrégulièrement ondulé ou dont la forme résulte de la superposition de plusieurs systèmes distincts d’ondulations sinusoïdales. 
 236
§ xxv. — des diverses formes courbes du fond du canal pour lesquelles, à son entrée et à sa sortie, la surface libre est la même que si le fond était plat.
117  
et 118. Intégration de l’équation différentielle approchée des profils de fond qui jouissent de cette propriété remarquable 
 238
119. 
Forme de ces profils 
 240

TROISIÈME PARTIE.

ÉTUDE DU MOUVEMENT NON PERMANENT.

§ xxvi. — du mouvement non permanent, graduellement varié, dans les tuyaux de conduite et dans les canaux découverts.
120. 
Du mouvement non permanent dans les tuyaux 
 242
120  
bis. Ce mouvement est presque toujours quasi-permanent 
 248
 
Du mouvement non permanent des eaux souterraines (note) 
 252
121. 
Du mouvement non permanent dans un canal rectangulaire. Équations à intégrer 
 261
121  
bis. Condition de continuité 
 262
122. 
Expression de la composante transversale de la vitesse 
 262
123. 
Formule fondamentale 
 264
124. 
Sa résolution par approximations successives 
 265
125. 
Équation cherchée du mouvement. Autre manière plus simple de l’établir 
 267
125  
bis. Considérations relatives à son intégration 
 270
126. 
Équation analogue pour un canal dont la section a une forme quelconque 
 274
126  
bis. Ce qu’elle devient quand on peut négliger les frottements 
 280
127. 
Réduction de cette équation et de celle de continuité à leur forme immédiatement applicable 
 281
§ xxvii. — propagation des ondes et des remous d’une médiocre hauteur dans un canal sensiblement prismatique, où se trouve établi un régime à peu près permanent, uniforme ou très-graduellement varié. première approximation.
128  
et 129. Équations différentielles de première approximation 
 282
130. 
Leur intégration 
 285
131. 
Lois qui régissent, à une première approximation, la marche des ondes et des remous 
 287
132. 
Comparaison avec l’expérience, dans le cas d’une eau en repos et dans celui d’une eau courante 
 288
133. 
Nouveau caractère distinctif des deux états principaux, tranquille et torrentueux, que peut affecter un cours d’eau. Application à la théorie du régime permanent dans un canal prismatique 
 290
134. 
Trajectoires décrites par les molécules liquides au passage d’une onde 
 293
135. 
Modes de détermination des fonctions arbitraires dont dépendent la hauteur d’intumescence et la vitesse 
 296
135  
bis. Réflexion des ondes 
 298
§ xxviii. — équations diverses applicables quand la surface présente des courbures sensibles, et qui régissent le mouvement non permanent, soit dans un canal rectangulaire où les vitesses des divers filets fluides sont supposées assez peu différentes, soir dans un bassin dont le liquide était d’abord en repos. étude succincte des ondes périodiques ou d’oscillation.
136. 
Équations différentielles du problème pour le cas d’un canal rectangulaire 
 299
136  
bis. Équation du mouvement qui s’en déduit, quand les vitesses sont peu variables aux divers points d’une même section 
 300
136  
ter. Cette équation est surtout applicable au calcul d’ondes propagées au sein d’une eau en repos 
 305
137. 
Elle est alors un cas particulier d’autres équations, qui se rapportent à des mouvements produits dans un bassin et se propageant en largeur aussi bien qu’en longueur 
 307
137  
bis. Les formules dont il s’agit ne s’étendent pourtant pas aux ondes périodiques d’une demi-longueur d’ondulation inférieure à une huitaine de fois environ la profondeur d’eau. Autre équation, qui comprend les précédentes dans le cas d’un bassin à fond horizontal et d’où se déduisent en même temps les lois de ces ondes 
 315
 
Considérations diverses sur les ondes liquides périodiques (noie) 
 317
137  
ter. Formules approchées d’un clapotis et d’une houle simples 
 332
138. 
On peut encore, dans l’étude des ondes périodiques, déterminer directement les déplacements des molécules et non leurs vitesses 
 336
138  
bis. Lois exactes d’une houle simple, dans un bassin qui contient plusieurs liquides superposés et même compressibles, quand la profondeur totale est assez grande pour que les mouvements soient insensibles au fond 
 342
 
Sur un mémoire de M. Stokes, relatif aux ondes qui se propagent sans se déformer. Étude de deuxième approximation d’une houle et d’un clapotis simples (note) 
 347
§ XXIX. — lois qui régissent, à une deuxième approximation, la propagation des ondes et des remous dans un canal rectangulaire, quand les vitesses des divers filets fluides sont peu différentes.
Pages.
139. 
Équations différentielles à intégrer 
 348
140, 
141 et 142. Leur intégration, effectuée une première fois en introduisant les vitesses de propagation des diverses parties de l’intumescence 
 354
143  
et 144. Lois générales 
 358
 
Vitesse de propagation d’une crue des eaux souterraines d’une contrée (note) 
 359
§ XXX. — cas particulier d’ondes propagées au sein d’un liquide en repos. mouvement que prend alors le centre de gravité d’une intumescence. énergie et moment d’instabilité d’une onde.
145. 
Équations dont dépendent les variations de hauteur d’un même élément d’intumescence 
 361
146, 
147 et 148. Mouvement du centre de gravité d’une intumescence ou d’une partie d’intumescence 
 362
149. 
Évaluation de l’énergie d’une onde 
 365
150. 
Cette énergie est constante quand on fait abstraction des frottements. Son expression peut être étendue au cas d’ondes quelconques produites dans un bassin 
 367
 
Sur l’emploi des théorèmes des forces vives et du viriel dans l’étude des petits mouvements d’un système matériel quelconque (note) 
 376
151. 
Quantité totale de mouvement d’une onde 
 377
152. 
Conservation ou invariabilité du moment d’instabilité d’une onde 
 378
§ XXXI. — onde solitaire.
153. 
Équation différentielle de l’onde solitaire de Scott Russell 
 380
154. 
Son équation finie 
 380
155. 
Sa vitesse de propagation 
 382
156  
et 157. Formes diverses de l’équation finie de l’onde solitaire 
 382
158  
et 159. Propriété géométrique distinctive de la même onde 
 384
160. 
Détermination de son centre de gravité 
 386
161. 
Déformations graduelles qu’elle éprouve le long d’un canal de profondeur variable 
 387
162. 
Trajectoires paraboliques des molécules 
 388
162  
bis. Forme la plus générale des intumescences, propagées le long d’un canal horizontal et rectangulaire, qui avancent sans se déformer 
 390
§ xxxiimoment d’instabilité d’une intumescence. stabilité de l’onde solitaire et cause de sa formation fréquente.
Pages.
163, 
164, 165 et 166. Le moment d’instabilité, est minimum pour l’onde solitaire 
 396
 
Autre propriété de minimum dont jouit l’onde solitaire (note) 
 400
167. 
Conséquences 
 401
§ xxxiiiexamen des cas où l’intumescence n’est pas une onde solitaire
168. 
Vitesse de propagation d’une intumescence continue. Analogie d’une telle intumescence avec un ressaut 
 402
169. 
Onde initiale signalée par M. Bazin 
 404
170. 
Subdivision, observée par Scott Russell, d’une grosse intumescence en plusieurs ondes solitaires 
 406
171. 
Oncles négatives 
 406
171  
bis. Autre méthode pour l’étude des déformations successives d’une onde négative. Vitesses de propagation des divers éléments d’énergie d’une intumescence 
 408
§ xxxiv. — étude particulière des longues intumescences, positives ou négatives, dont la surface n’a qu’une courbure insensible.
172. 
Simplifications résultant de l’extrême petitesse de la courbure 
 411
173. 
Intégration complète et facile quand on néglige les frottements 
 412
174. 
Application qu’on pourrait en faire au calcul de la marche des marées le long d’un canal communiquant avec l’Océan, si l’influence des frottements était, en effet, négligeable 
 413
175. 
Accord des formules obtenues avec d’autres de M. de Saint-Venant 
 415
§ xxxv. — retour au cas général d’onde propagées le long d’un canal où se trouve établi un régime presque permanent et uniforme ou très-graduellement varié, mais en continuant à évaluer l’influence des courbures sans tenir compte de l’inégalité de vitesse des filets fluides.
176. 
Extension, à ce cas, de la plupart des résultats établis pour des ondes propagées au sein d’une eau en repos 
 417
177. 
Calcul de l’énergie d’une onde, énergie dont l’expression devient alors plus complexe 
 421
§ xxxvi. — sur les causes qui empêchent ces lois d’être vérifiées dans un canal où les filets fluides ont des vitesses sensiblement différentes. formules approchées qui conviennent alors.
178, 
179, 179 bis, 180 et 180 bis. Équation différentielle du mouvement, à une deuxième approximation, quand les filets fluides présentent des courbures sensibles et sont animés de vitesses notablement différentes 
 425
181. 
Son intégration 
 437
182. 
Conséquences relatives aux vitesses de propagation d’une onde isolée, d’un remous indéfini, d’un gonflement ascendant produit par l’abaissement d’une vanne, etc. 
 438
183  
et 184. Conséquences relatives à la forme des ondes. Leur décroissement incessant de hauteur, confirmé par expérience 
 442
 
Sur une forme particulière d’intumescence continue, qui est moins instable (note) 
 443
§ xxxvii. — mise en compte de l’influence des frottements et de la pente du fond sur la propagation des ondes et des remous
185  
et 185 bis. Calcul du terme qui représente ces influences dans les équations différentielles du mouvement 
 448
186. 
Intégration de ces équations 
 450
187. 
Modifications éprouvées par les vitesses de propagation 
 451
187  
bis. Concavité des longs remous positifs, confirmée par l’expérience, etc. 
 453
188. 
Intégrale malheureusement compliquée qui représente sous forme finie, aux diverses époques, la surface libre des longs remous de courbure insensible 
 453
189. 
Formule des vitesses que prennent les molécules fluides au passage d’une onde ; explication de certaines circonstances observées par M. Partiot, etc. 
 455
189  
bis. Calcul des déformations successives éprouvées par des marées fluviales d’une hauteur médiocre 
 457
§ xxxviii. — des lois dont dépendent, à une deuxième approximation, les remous de petite courbure propagés le long d’un canal prismatique non rectangulaire.
190. 
Influencé des variations de la largeur à fleur d’eau sur les vitesses de propagation 
 465
190  
bis. Influence des mômes variations sur la vitesse effective que prennent les molécules fluides 
 468
§ xxxix. — du régime quasi-permanent des cours d’eau.
191. 
Calcul des variations lentes de régime. Première approximation 
 470
191  
bis. Comparaison des vitesses avec lesquelles se transmettent différentes valeurs du débit Q aux vitesses effectives de la masse fluide et aux célérités de propagation des éléments d’une crue 
 476
192. 
Deuxième approximation. Les débits sont plus grands, pour même profondeur de la masse liquide, quand le cours d’eau est en crue que lorsqu’il est en décroissance 
 480
192  
bis. Dénivellations dans le sens transversal. Remarque sur les marées fluviales 
 485
§ xl. — retour à la théorie générale des mouvements qui se font par filets peu courbes et peu inclinés les uns sur les autres. nouvelle exposition, plus simple et plus complète, de cette théorie.
Pages.
193. 
Équations générales 
 487
193  
bis. Observations relatives à l’évaluation des sections fluides σ des vitesses moyennes U ou de leurs dérivées, etc. 
 500
194. 
Cas où le mouvement est graduellement varié. Formule générale de ce mouvement 
 502
194  
bis. Problème de la détermination des vitesses qui s’y trouvent produites aux divers points d’une section 
 505
 
Du mouvement graduellement varié des gaz (note) 
 505
195. 
Des cas où il faut tenir compte des dérivées d’ordre supérieur de U et σ  : 1o Cas où le mouvement continue à être graduellement varié 
 519
195 
bis. 2o Cas où le mouvement est plus rapidement varié 
 521


QUATRIÈME PARTIE.

NOTES COMPLÉMENTAIRES, CONTENANT DIVERSES CONSIDÉRATIONS, OU MÊME DES THÉORIES PARTIELLES, SUR LES MOUVEMENTS DE GRANDE AMPLITUDE LES PLUS FRÉQUENTS QUE PRÉSENTENT LES FLUIDES QUAND LA COURBURE DE LEURS FILETS CESSE D’ÊTRE PETITE.

NOTE 1.
sur l’écoulement par les orifices et les déversoirs.
196. 
Caractère général des phénomènes de contraction. Principe de D. Bernoulli 
 530
197. 
Sur les cas où les trois composantes de la vitesse sont les dérivées partielles en x, y, z d’une même fonction 
 532
§ i. — écoulement par les orifices.
198. 
Équations différentielles, pour les points situés à l’intérieur d’un vase, de l’écoulement par un orifice percé dans une mince paroi plane indéfinie 
 536
 
L’axe de la veine est normal à la paroi (note) 
 536
199. 
Détermination du problème 
 539
200. 
Sa solution au moyen d’un potentiel d’attraction, toujours pour les points intérieurs au vase 
 541
201. 
Loi qui régit l’appel du fluide vers les diverses régions de l’orifice 
 545
202. 
Extension de la solution trouvée à des cas où l’aire totale de l’orifice est infinie et à d’autres cas nombreux de vases non indéfinis latéralement 
 546
203. 
Équations différentielles dont doit dépendre la forme de la veine. Lois générales qui en résultent 
 548
204. 
Propriétés diverses de la fonction qui représente la composante longitudinale, ou normale au plan de l’orifice, de la vitesse aux divers points de celui-ci. Inversion de la veine 
 552
205. 
Cas d’un orifice rectangulaire allongé : formules générales 
 555
206. 
Ce qu’elles donnent à une première approximation 
 557
207. 
Cas d’un orifice circulaire : formules générales 
 558
208. 
Résultats qu’elles fournissent à une première approximation 
 559
209. 
Accord satisfaisant de la théorie avec l’expérience 
 562
210. 
Recherche d’une deuxième approximation 
 564
211. 
Examen d’une opinion de Navier 
 566
§ iiécoulement par les déversoirs.
212. 
Théorie de l’écoulement, quand le seuil a une certaine étendue dans le sens du courant 
 569
213. 
Comparaison avec l’expérience et réflexions diverses 
 574
214. 
Écoulement par des orifices verticaux avec faibles charges sur leurs sommets 
 575
215. 
Théorie approchée d’un déversoir incomplet ou noyé 
 577
216. 
Simplification des formules, dans le cas où le relèvement qui se produit en aval est peu sensible. Manière de tenir compte d’une inégalité notable des vitesses en amont du déversoir 
 584
217. 
Sur le cas exceptionnel d’un régime torrentueux en amont d’un déversoir 
 588
218. 
Calcul approché de la perte de charge que cause le défaut d’évasement du seuil d’un déversoir 
 594


NOTE 2.
sur les phénomènes que présentent les coudes des tuyaux de conduite ou les tournants des canaux découverts, et sur ceux qui se produisent dans les tourbillons liquides à axe vertical.
219. 
Perte de charge qui résulte d’un changement brusque de direction, soit quand la section est circulaire, soit quand elle est rectangulaire très-large 
 596
220. 
Résistance d’un coude ou d’un tournant arrondis 
 600
221. 
Comparaison avec l’expérience. Équation du mouvement graduellement varié dans un tuyau et dans un canal à axes courbes 
 602
222. 
Considérations nouvelles sur l’établissement du régime des cours d’eau naturels 
 605
223. 
Confirmation, par l’expérience, de l’expression de la perte de charge due à un coude brusque. Valeur de k 
 607
224. 
Extension de la formule de Borda et de l’équation analogue concernant les canaux découverts, aux cas où il y a tout à la fois épanouissement et déviation des filets fluides 
 609
225. 
Circonstance remarquable que présente le mouvement au passage d’un coude, et manière dont se dispose en conséquence, dans les tournants, le lit des cours d’eau naturels 
 610
226. 
Évaluation de l’approfondissement qui se produit dans un tournant 
 613
227. 
Des tourbillons liquides à axe vertical 
 616
228. 
Étude de ceux dont le fluide se renouvelle sans cesse en s’écoulant le long de l’axe 
 618
229. 
Des tourbillons formés, au contraire, de volumes fluides qui circulent incessamment sans se renouveler d’une manière sensible. Équations différentielles de leur mouvement 
 621
230. 
Intégration de ces équations 
 627
231. 
Surface libre et énergie d’un tourbillon 
 632
232. 
Équations générales des mouvements d’un liquide en coordonnées cylindriques ou semi-polaires 
 634
233. 
Conséquences diverses 
 637


NOTE 3.
sur un cas remarquable de mouvement permanent où intervient une condition restrictive de stabilité. — étude théorique des nappes liquides rétractiles observées par savart.
234. 
Équations différentielles du mouvement d’une molécule, qui décrit un méridien de la nappe 
 639
 
Formule fondamentale de la théorie de la capillarité (note) 
 641
235. 
Première intégration effectuée sur ces équations 
 645
236. 
Condition exprimant la stabilité de forme de la nappe 
 647
237. 
Circonstances diverses, confirmées par l’expérience 
 650
238. 
Deuxième intégration, effectuée, soit au moyen de formules exactes ou approchées dans divers cas particuliers soit numériquement et de proche en proche dans tous les autres cas 
 653
   Corrections et Additions 
 660