Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste/Chap.07

Henri Poincaré

Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste

Gauthier-Villars et Fils, 1892 (1, p. 335-382).

CHAPITRE VII.

SOLUTIONS ASYMPTOTIQUES.

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104.Soient

(1)

${\frac {dx_{i}}{dt}}=\mathrm {X} _{i}\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n)$

$n$ équations différentielles simultanées. Les $\mathrm {X}$ sont des fonctions des $x$ et de $t.$

Par rapport aux $x,$ elles peuvent être développées en séries de puissances.

Par rapport à $t,$ elles sont périodiques de période $2\pi .$

Soit

${\begin{aligned}x_{1}&=x_{1}^{0},&x_{2}&=x_{2}^{0},&&\ldots ,&x_{n}&=x_{n}^{0}\end{aligned}}$

une solution particulière périodique de ces équations. Les $x_{i}^{0}$ seront des fonctions de $t$ périodiques de période $2\pi .$ Posons

$x_{i}=x_{i}^{0}+\xi _{i}.$

Il viendra

(2)

${\frac {d\xi _{i}}{dt}}=\Xi _{i}.$

Les $\Xi$ seront des fonctions des $\xi$ et de $t,$ périodiques par rapport à $t$ et développées suivant les puissances des $\xi \,;$ mais il n’y aura plus de termes indépendants des $\xi .$

Si les $\xi$ sont très petits et qu’on néglige leurs carrés, les équations se réduisent à

(3)

${\frac {d\xi _{i}}{dt}}={\frac {d\mathrm {X} _{i}}{dx_{1}^{0}}}\xi _{1}+{\frac {d\mathrm {X} _{i}}{dx_{2}^{0}}}\xi _{2}+\ldots +{\frac {d\mathrm {X} _{i}}{dx_{n}^{0}}}\xi _{n},$

qui sont les équations aux variations des équations (1).

Elles sont linéaires et à coefficients périodiques. On connaît la forme de leur solution générale, on trouve

${\begin{aligned}\xi _{1}&=\mathrm {A} _{1}e^{\alpha _{1}t}\varphi _{11}+\mathrm {A} _{2}e^{\alpha _{2}t}\varphi _{21}+\ldots +\mathrm {A} _{n}e^{\alpha _{n}t}\varphi _{n1},\\\xi _{2}&=\mathrm {A} _{1}e^{\alpha _{1}t}\varphi _{12}+\mathrm {A} _{2}e^{\alpha _{2}t}\varphi _{22}+\ldots +\mathrm {A} _{n}e^{\alpha _{n}t}\varphi _{n2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .,\\\xi _{n}&=\mathrm {A} _{1}e^{\alpha _{1}t}\varphi _{1n}+\mathrm {A} _{2}e^{\alpha _{2}t}\varphi _{2n}+\ldots +\mathrm {A} _{n}e^{\alpha _{n}t}\varphi _{nn};\end{aligned}}$

les $\mathrm {A}$ sont des constantes d’intégration, les $\alpha$ des constantes fixes qu’on appelle exposants caractéristiques, les $\varphi$ des fonctions périodiques de $t.$

Si alors nous posons

${\begin{aligned}\xi _{1}&=\eta _{1}\varphi _{11}+\eta _{2}\varphi _{21}+\ldots +\eta _{n}\varphi _{n1},\\\xi _{2}&=\eta _{1}\varphi _{12}+\eta _{2}\varphi _{22}+\ldots +\eta _{n}\varphi _{n2},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\\\xi _{n}&=\eta _{1}\varphi _{1n}+\eta _{2}\varphi _{2n}+\ldots +\eta _{n}\varphi _{nn},\end{aligned}}$

les équations (2) deviendront

(2′)

${\frac {d\eta _{i}}{dt}}=\mathrm {H} _{i},$

où les $\mathrm {H} _{i}$ sont des fonctions de $t$ et des $\eta$ de même forme que les $\Xi .$

Nous pourrons d’ailleurs écrire

(2′′)

${\frac {d\eta _{i}}{dt}}=\mathrm {H} _{i}^{1}+\mathrm {H} _{i}^{2}+\ldots +\mathrm {H} _{i}^{n}+\ldots \,;$

$\mathrm {H} _{i}^{p}$ représente l’ensemble des termes de $\mathrm {H} _{i}$ qui sont de degré $p$ par rapport aux $\eta .$

Quant aux équations (3), elles deviennent

(3′)

${\frac {d\eta _{i}}{dt}}=\mathrm {H} _{i}^{1}=\alpha _{i}\eta _{i}.$

Cherchons maintenant la forme des solutions générales des équations (2) et (2').

Je dis que nous devrons trouver :

$\eta _{i}$ fonction développée suivant les puissances de $\mathrm {A} _{1}e^{\alpha _{1}t},$ $\mathrm {A} _{2}e^{\alpha _{2}t},$ $\ldots ,$ $\mathrm {A} _{n}e^{\alpha _{n}t}$ dont les coefficients sont des fonctions périodiques de $t.$

Nous pouvons écrire alors

(4′)

$\eta _{i}=\eta _{i}^{1}+\eta _{i}^{2}+\ldots +\eta _{i}^{p}+\ldots ,$

$\eta _{i}^{p}$ représentant l’ensemble des termes de $\eta _{i}$ qui sont de degré $p$ par rapport aux $\mathrm {A.}$

Nous remplacerons les $\eta _{i}$ par leurs valeurs dans $\mathrm {H} _{i}^{p}$ et nous trouverons

$\mathrm {H} _{i}^{p}=\mathrm {H} _{i}^{p,p}+\mathrm {H} _{i}^{p,p+1}+\ldots +\mathrm {H} _{i}^{p,q}+\ldots$

$\mathrm {H} _{i}^{p,q}$ désignant l’ensemble des termes qui sont de degré $q$ par rapport aux $\mathrm {A.}$

Nous trouverons alors

${\begin{aligned}{\frac {d\eta _{i}^{1}}{dt}}&=\alpha _{i}\eta _{i}^{1},\qquad \qquad \qquad \eta _{i}^{1}=\mathrm {A} _{i}e^{\alpha -it},\\{\frac {d\eta _{i}^{2}}{dt}}-\alpha _{i}\eta _{i}^{2}&=\mathrm {H} _{i}^{2,2},\qquad {\frac {d\eta _{i}^{3}}{dt}}-\alpha _{i}\eta _{i}^{3}=\mathrm {H} _{i}^{2,3}+\mathrm {H} _{i}^{3,3},\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .,\\{\frac {d\eta _{i}^{q}}{dt}}-\alpha _{i}\eta _{i}^{q}&=\mathrm {H} _{i}^{2,q}+\mathrm {H} _{i}^{3,q}+\ldots +\mathrm {H} _{i}^{q,q}=\mathrm {K} _{q}.\end{aligned}}$

Ces équations permettront de calculer successivement par récurrence

$\eta _{i}^{2},\quad \eta _{i}^{3},\quad \ldots ,\quad \eta _{i}^{q},\quad \ldots .$

En effet, $\mathrm {K} _{q}$ ne dépend que des $\eta ^{1},\,\eta ^{2},\,\ldots ,\,\eta ^{q-1}.$ Si nous supposons que ces quantités aient été préalablement calculées, nous pourrons écrire $\mathrm {K} _{q}$ sous la forme suivante

$\mathrm {K} _{q}={\textstyle \sum }\,\mathrm {A} _{1}^{\beta _{1}}\mathrm {A} _{2}^{\beta _{2}}\ldots \mathrm {A} _{n}^{\beta _{n}}e^{t(\alpha _{1}\beta _{1}+\alpha _{2}\beta _{2}+\ldots +\alpha _{n}\beta _{n})}\psi ,$

les $\beta$ étant des entiers positifs dont la somme est $q$ et $\psi$ une fonction périodique.

On peut écrire encore

$\psi ={\textstyle \sum }\,\mathrm {C} e^{\gamma t{\sqrt {-1}}}$

$\mathrm {C}$ étant un coefficient généralement imaginaire et $\gamma$ un entier positif ou négatif. Nous écrirons, pour abréger,

$\mathrm {A} _{1}^{\beta _{1}}\mathrm {A} _{2}^{\beta _{2}}\ldots \mathrm {A} _{n}^{\beta _{n}}=\mathrm {A} ^{q},\quad \alpha _{1}\beta _{1}+\alpha _{2}\beta _{2}+\ldots +\alpha _{n}\beta _{n}={\textstyle \sum }\,\alpha \beta ,$

et il viendra

${\frac {d\eta _{i}^{q}}{dt}}-\alpha _{i}\eta _{i}^{q}={\textstyle \sum }\,\mathrm {CA} ^{q}\,e^{t(\gamma {\sqrt {-1}}+\Sigma \alpha \beta )}.$

Or on peut satisfaire à cette équation en faisant

$\eta _{i}^{q}=\sum {\frac {\mathrm {CA} ^{q}e^{t(\gamma {\sqrt {-1}}+\Sigma \alpha \beta )}}{\gamma {\sqrt {-1}}+{\textstyle \sum }\,\alpha \beta -\alpha _{i}}}$

Il y aurait exception dans le cas où l’on aurait

$\gamma {\sqrt {-1}}+{\textstyle \sum }\,\alpha \beta -\alpha _{i}=0,$

auquel cas il s’introduirait dans les formules des termes en $t.$ Nous réserverons ce cas, qui ne se présente pas en général.

Convergence des séries.

105.Nous devons maintenant traiter la question de la convergence de ces séries. La seule difficulté provient d’ailleurs, comme on va le voir, des diviseurs

(5)

$\gamma {\sqrt {-1}}+{\textstyle \sum }\,\alpha \beta -\alpha _{i}$

Remplaçons les équations (2′) par les suivantes

(2′′)

$\varepsilon \eta _{i}=\varepsilon \mathrm {A} _{i}e^{\alpha _{i}t}+{\overline {\mathrm {H} _{i}^{2}}}+{\overline {\mathrm {H} _{i}^{3}}}+\ldots +{\overline {\mathrm {H} _{i}^{p}}}+\ldots .$

Définissons ${\overline {\mathrm {H} _{i}^{p}}}.$ On voit sans peine que $\mathrm {H} _{i}^{p}$ est de la forme suivante

$\mathrm {H} _{i}^{p}={\textstyle \sum }\,\mathrm {c} \,\eta _{1}^{\beta _{1}}\eta _{2}^{\beta _{2}}\ldots \eta _{n}^{\beta _{n}}e^{\gamma t{\sqrt {-1}}}.$

$\mathrm {C}$ est une constante quelconque, les $\beta$ sont des entiers positifs dont la somme est $p,$ $\gamma$ est un entier positif ou négatif. Nous prendrons alors

${\overline {\mathrm {H} _{i}^{p}}}={\textstyle \sum }\,|\mathrm {C} |\,\eta _{1}^{\beta _{1}}\eta _{2}^{\beta _{2}}\ldots \,\eta _{n}^{\beta _{n}}.$

Les séries ainsi obtenues seront convergentes pourvu que les séries trigonométriques qui définissent les fonctions périodiques dont dépendent les $\mathrm {H}$ convergent absolument et uniformément ; or cela aura toujours lieu parce que ces fonctions périodiques sont analytiques. Quant à $\varepsilon ,$ c’est une constante positive.

On peut tirer des équations (2′′) les $\eta$ sous la forme suivante

(4′′)

$\eta _{i}=\Sigma \,\mathrm {M} \,\varepsilon ^{-\delta }\mathrm {A} _{1}^{\beta _{1}}\mathrm {A} _{2}^{\beta _{2}}\ldots \mathrm {A} _{n}^{\beta _{n}}e^{\left(\Sigma \,\alpha \beta \right)t}$

Plusieurs termes pourront d’ailleurs correspondre aux mêmes exposants $\beta ,$ et $\delta$ est un entier positif. Si l’on compare avec les séries tirées de (2′) qui s’écrivent

$\eta _{i}=\Sigma \,\mathrm {N} {\frac {\mathrm {A} _{1}^{\beta _{1}}\mathrm {A} _{2}^{\beta _{2}}\ldots \mathrm {A} _{n}^{\beta _{n}}}{\Pi }}e^{t\left(\Sigma \,\alpha \beta +\gamma {\sqrt {-1}}\right)},$

voici ce qu’on observe : 1^o $\mathrm {M}$ est réel positif et plus grand que $|\mathrm {N} |.$ 2^o $\Pi$ désigne le produit des diviseurs (5) dont le nombre est au plus égal à $\delta .$

Si donc la série (4′′) converge et si aucun des diviseurs (5) n’est plus petit que $\varepsilon ,$ la série (4′) convergera également. Voici donc comment on peut énoncer la condition de convergence.

La série converge si l’expression

$\gamma {\sqrt {-1}}+\Sigma \,\alpha \beta -\alpha _{i}$

ne peut pas devenir plus petite que toute quantité donnée $\varepsilon$ pour des valeurs entières et positives des $\beta$ et entières (positives ou négatives) de $\gamma \,;$ c’est-à-dire si aucun des deux polygones convexes qui enveloppe, le premier les $\alpha$ et $+{\sqrt {-1}},$ le second les $\alpha$ et $-{\sqrt {-1}},$ ne contient l’origine ; ou si toutes les quantités $\alpha$ ont leurs parties réelles de même signe et si aucune d’elles n’a sa partie réelle nulle.

Que ferons-nous alors s’il n’en est pas ainsi ?

Supposons, par exemple, que $k$ des quantités $\alpha$ aient leur partie réelle positive, et que $n-k$ aient leur partie réelle négative ou nulle. Il arrivera alors que la série (4′) restera convergente si on y annule les constantes $\mathrm {A}$ qui correspondent à un $\alpha$ dont la partie réelle est négative ou nulle, de sorte que ces séries ne nous donneront plus la solution générale des équations proposées, mais une solution contenant seulement $k$ constantes arbitraires. Cette solution est représentée par une série (4′) développée suivant les puissances de

$\mathrm {A} _{1}e^{\alpha _{1}t},\quad \mathrm {A} _{2}e^{\alpha _{2}t},\quad \ldots ,\quad \mathrm {A} _{k}e^{\alpha _{k}t}\,;$

comme, par hypothèse, les parties réelles de

$\alpha _{1},\quad \alpha _{2},\quad \ldots ,\quad \alpha _{k}$

sont positives, les exponentielles

$e^{\alpha _{1}t},\quad e^{\alpha _{2}t},\quad \ldots ,\quad e^{\alpha _{k}t}$

tendent vers 0 quand $t$ tend vers $-\infty .$ Il en est donc de même des quantités $\eta _{i},$ ce qui veut dire que, quand $t$ tend vers $-\infty ,$ la solution représentée par la série (4′) se rapproche asymptotiquement de la solution périodique considérée. Nous l’appellerons pour cette raison solution asymptotique.

Nous obtiendrons un second système de solutions asymptotiques en annulant dans la série (4′) tous les coefficients $\mathrm {A}$ qui correspondent à des exposants $\alpha$ dont la partie réelle soit positive ou nulle. Cette série est alors développée suivant les puissances de

$\mathrm {A} _{1}'e^{\alpha _{1}'t},\quad \mathrm {A} _{2}'e^{\alpha _{2}'t},\quad ,\ldots \quad \mathrm {A} _{k}'e^{\alpha _{k}'t},$

les exposants $\alpha _{1}',\,\alpha _{2}',\,\ldots ,\,\alpha _{k}'$ ayant leur partie réelle négative. Si alors on fait tendre $t$ vers $+\infty ,$ la solution correspondante se rapprochera asymptotiquement de la solution périodique considérée.

Si l’on suppose que les équations données rentrent dans les équations de la Dynamique, nous avons vu que $n$ est pair et que les $\alpha$ sont deux à deux égaux et de signe contraire.

Alors, si $k$ d’entre eux ont leur partie réelle positive, $k$ auront leur partie réelle négative et $n-2k$ auront leur partie réelle nulle. En prenant d’abord les $\alpha$ qui ont leur partie réelle positive, on obtiendra une solution particulière contenant $k$ constantes arbitraires ; on en obtiendra une seconde en prenant les $\alpha$ qui ont leur partie réelle négative.

Dans le cas où aucun des $\alpha$ n’a sa partie réelle nulle et, en particulier, si tous les $\alpha$ sont réels, on a d’ailleurs

$k={\frac {n}{2}}\cdot$

106.Supposons que dans les équations (1) les $\mathrm {X}$ dépendent d’un paramètre $\mu$ et que les fonctions $\mathrm {X}$ soient développables suivant les puissances de ce paramètre.

Imaginons que, pour $\mu =0,$ les exposants caractéristiques $\alpha$ soient tous distincts de telle façon que ces exposants, étant définis par une équation $\mathrm {G} (\alpha ,\,\mu )=0$ [analogue à celle du n^o 74, mais telle que l’équation $\mathrm {G} (\alpha ,\,0)=0$ ait toutes ses racines distinctes] soient eux-mêmes développables suivant les puissances de $\mu$ en vertu des n^o 30 et 31.

Supposons enfin que l’on ait, ainsi que nous venons de le dire, annulé toutes les constantes $\mathrm {A}$ qui correspondent à un $\alpha$ dont la partie réelle est négative ou nulle.

Les séries (4′) qui définissent les quantités $\eta _{i}$ dépendent alors de $\mu .$ Je me propose d’établir que ces séries peuvent être développées, non seulement suivant les puissances des $\mathrm {A} _{i}e^{\alpha _{i}t},$ mais encore suivant les puissances de $\mu .$

Considérons l’inverse de l’un des diviseurs (5)

$\left(\gamma \,{\sqrt {-1}}+\Sigma \,\alpha \beta -\alpha _{i}\right)^{-1}.$

Je dis que cette expression peut être développée suivant les puissances de $\mu .$

Soient $\alpha _{1},\,\alpha _{2},\,\ldots ,\,\alpha _{k}$ les $k$ exposants caractéristiques dont la partie réelle est positive pour $\mu =0$ et pour les petites valeurs de $\mu$ et que nous sommes convenus de conserver. Chacun d’eux est développable suivant les puissances de $\mu .$ Soit $\alpha _{i}^{0}$ la valeur de $\alpha _{i}$ pour $\mu =0\,;$ nous pourrons prendre $\mu _{0}$ assez petit pour que $\alpha _{i}$ diffère aussi peu que nous voudrons de $\alpha _{i}^{0}$ quand $|\mu |<\mu _{0}.$ Soit alors $h$ une quantité positive plus petite que la plus petite des parties réelles des $k$ quantités $\alpha _{1}^{0},$ $\alpha _{2}^{0},$ $\ldots ,$ $\alpha _{k}^{0}\,;$ nous pourrons prendre $\mu _{0}$ assez petit pour que, quand $|\mu |<\mu _{0},$ les $k$ exposants $\alpha _{1},$ $\alpha _{2},$ $\ldots$ $\alpha _{k}$ aient leur partie réelle plus grande que $h.$

La partie réelle de $\gamma {\sqrt {-1}}+\Sigma \,\alpha \beta -\alpha _{i}$ sera alors plus grande que $h$ (si $\beta _{i}>0$), de sorte qu’on aura

(6)

$|\gamma {\sqrt {-1}}+\Sigma \,\alpha \beta -\alpha _{i}|>h$

Ainsi, si $|\mu |<\mu _{0},$ la fonction

$\left(\gamma {\sqrt {-1}}+\Sigma \,\alpha \beta -\alpha _{i}\right)^{-1}$

reste uniforme, continue, finie et plus petite en valeur absolue que ${\frac {1}{h}}\cdot$

Nous en conclurons d’après un théorème bien connu que cette fonction est développable suivant les puissances de $\mu$ et que les coefficients du développement sont plus petits en valeur absolue que ceux du développement de

${\frac {1}{h\left(1-{\dfrac {\mu }{\mu _{0}}}\right)}}\cdot$

Il est à remarquer que les nombres $h$ et $\mu _{0}$ sont indépendants des entiers $\beta$ et $\gamma .$

Il y aurait exception dans le cas où $\beta _{i}$ serait nul. La partie réelle du diviseur (5) pourrait alors être plus petite que $h$ et même être négative. Elle est égale, en effet, à la partie réelle de $\Sigma \,\alpha \beta$ qui est positive, moins la partie réelle de $\alpha _{i}$ qui est également positive et qui peut être plus grande que celle de $\Sigma \,\alpha \beta ,$ si $\beta _{i}$ est nul.

Supposons que la partie réelle de $\alpha _{i}$ reste plus petite qu’un certain nombre $h_{2}$ tant que $|\mu |<\mu _{0}.$ Alors, si

(7)

$\Sigma \,\beta >{\frac {h_{1}}{h}}+1$

la partie réelle de (5) est certainement plus grande que $h\,;$ il ne peut donc y avoir de difficulté que pour ceux des diviseurs (5), pour lesquels l’inégalité (7) n’a pas lieu.

Supposons maintenant que la partie imaginaire des quantités $\alpha _{1},$ $\alpha _{2},$ $\ldots ,$ $\alpha _{k}$ reste constamment plus petite en valeur absolue qu’un certain nombre positif $h_{2},$ si l’on a alors

(8)

$|\gamma |>h_{2}\Sigma \,\beta +h,$

la partie imaginaire de (5) et, par conséquent, son module seront encore plus grands que $h\,;$ de telle sorte qu’il ne peut y avoir de difficulté que pour ceux des diviseurs (5) pour lesquels aucune des inégalités (7) et (8) n’a lieu. Mais ces diviseurs qui ne satisfont à aucune de ces inégalités sont en nombre fini.

D’après une hypothèse que nous avons faite plus haut, aucun d’eux ne s’annule pour les valeurs de $\mu$ que nous considérons ; nous pouvons donc prendre $h$ et $\mu _{0}$ assez petits pour que la valeur absolue de l’un quelconque d’entre eux reste plus grande que $h$ quand $|\mu |$ reste plus petit que $\mu _{0}.$

Alors l’inverse d’un diviseur (5) quelconque est développable suivant les puissances de $\mu ,$ et les coefficients du développement sont plus petits en valeur absolue que ceux de

${\frac {1}{h\left(1-{\dfrac {\mu }{\mu _{0}}}\right)}}\cdot$

Nous avons écrit plus haut

$\mathrm {H} _{i}^{p}=\Sigma \,\mathrm {C} \,\eta _{1}^{\beta _{1}}\eta _{2}^{\beta _{2}}\ldots \eta _{n}^{\beta _{n}}e^{\gamma t{\sqrt {-1}}}.$

D’après nos hypothèses, $\mathrm {C}$ peut être développé suivant les puissances de $\mu$ de telle sorte que je puis poser

${\begin{aligned}\mathrm {C} &=\Sigma \,\mathrm {E} \,\mu ^{i},&\mathrm {H} _{i}^{p}&=\Sigma \,\mathrm {E} \,\mu ^{i}\eta _{1}^{\beta _{1}}\eta _{2}^{\beta _{2}}\ldots \eta _{n}^{\beta _{n}}\end{aligned}}e^{\gamma t{\sqrt {-1}}}.$

Reprenons maintenant les équations (2′′), en y faisant

${\begin{aligned}\varepsilon &=h\left(1-{\frac {\mu }{\mu _{0}}}\right),\\{\overline {\mathrm {H} _{i}^{p}}}&=\Sigma \,|\mathrm {E} |\,\mu ^{i}\eta _{1}^{\beta _{1}}\eta _{2}^{\beta _{2}}\ldots \eta _{n}^{\beta _{n}}.\end{aligned}}$

Les seconds membres des équations (2′′) seront alors des séries convergentes ordonnées selon les puissances de $\mu ,$ de $\eta _{1},$ $\eta _{2},$ $\ldots ,$ $\eta _{n}.$

On en tirera les $\eta _{i}$ sous la forme des séries (4′′), convergentes et ordonnées suivant les puissances de $\mu ,$ $\mathrm {A} _{1}e^{\alpha _{1}t},$ $\mathrm {A} _{2}e^{\alpha _{2}t},$ $\ldots ,$ $\mathrm {A} _{k}e^{\alpha _{k}t}.$

Des équations (2′), nous tirerions d’autre part les $\eta _{i}$ sous la forme des séries (4′) ordonnées suivant les puissances de $\mu ,$ $\mathrm {A} _{1}e^{\alpha _{1}t},$ $\mathrm {A} _{2}e^{\alpha _{2}t},$ $\ldots ,$ $\mathrm {A} _{k}e^{\alpha _{k}t},$ $e^{t{\sqrt {-1}}},$ $e^{-t{\sqrt {-1}}}.$ Chacun des termes de (4′) est plus petit en valeur absolue que le terme correspondant de (4′′), et comme les séries (4′′) convergent, il en sera de même des séries (4′).

Solutions asymptotiques des équations de la Dynamique.

107.Reprenons les équations (1) du n^o 13

(1)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}},\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n).\end{aligned}}$

et les hypothèses faites à leur sujet dans ce numéro.

Nous avons vu dans le n^o 42 que ces équations admettent des solutions périodiques et nous pouvons en conclure que, pourvu que l’un des exposants caractéristiques $\alpha$ correspondants soit réel, ces équations admettront aussi des solutions asymptotiques.

À la fin du numéro précédent, nous avons envisagé le cas où, dans les équations (1) du n^o 104, les seconds membres $\mathrm {X} _{i}$ sont développables suivant les puissances de $\mu ,$ mais où les exposants caractéristiques restent distincts les uns des autres pour $\mu =0.$

Dans le cas des équations qui vont maintenant nous occuper, c’est-à-dire des équations (1) du n^o 13, les seconds membres sont encore développables selon les puissances de $\mu \,;$ mais tous les exposants caractéristiques sont nuls pour $\mu =0.$

Il en résulte un grand nombre de différences importantes.

En premier lieu, les exposants caractéristiques $\alpha$ ne sont pas développables suivant les puissances de $\mu ,$ mais suivant celles de ${\sqrt {\mu }}$ (cf. n^o 74). De même les fonctions que j’ai appelées $\varphi _{i,k}$ au début du [[Les méthodes nouvelles de la mécanique céleste/Chap.07#par104|n^o 104]] (et qui, dans le cas particulier des équations de la Dynamique qui nous occupe ici, ne sont autres que les fonctions $\mathrm {S} _{i}$ et $\mathrm {T} _{i}$ du n^o 79), sont développables, non suivant les puissances de $\mu ,$ mais suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}.$

Alors, dans les équations (2′) du n^o 104

${\frac {d\eta _{i}}{dt}}=\mathrm {H} _{i},$

le second membre $\mathrm {H} _{i}$ est développé suivant les puissances des $\eta ,$ $e^{t{\sqrt {-1}}},$ $e^{-t{\sqrt {-1}}}$ et de ${\sqrt {\mu }}$ (et non pas de $\mu$).

On en tirera les $\eta _{i}$ sous la forme des séries obtenues au n^o 104

$\eta _{i}=\Sigma \,\mathrm {N} \,{\frac {\mathrm {A} _{1}^{\beta _{1}}\mathrm {A} _{2}^{\beta _{2}}\ldots \,\mathrm {A} _{n}^{\beta _{n}}}{\Pi }}\,e^{t\left(\Sigma \alpha \beta +\gamma {\sqrt {-1}}\right)}$

et $\mathrm {N}$ et $\mathrm {H}$ seront développés suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}.$

Un certain nombre de questions se posent alors naturellement :

1^o Nous savons que $\mathrm {N}$ et $\Pi$ sont développables suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}\,;$ en est-il de même du quotient ${\frac {\mathrm {N} }{\Pi }}\,?$

2^o S’il en est ainsi, il existe des séries ordonnées suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }},$ des $\mathrm {A} _{i}e^{\alpha _{i}t},$ de $e^{t{\sqrt {-1}}}$ et de $e^{-t{\sqrt {-1}}}$ qui satisfont formellement aux équations proposées ; ces séries sont-elles convergentes ?

3^o Si elles ne sont pas convergentes, quel parti peut-on en tirer pour le calcul des solutions asymptotiques ?

Développement de ces solutions selon les puissances de ${\sqrt {\mu }}.$

108.Je me propose de démontrer que l’on peut développer ${\frac {\mathrm {N} }{\Pi }}$ suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}$ et que, par conséquent, il existe des séries ordonnées suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }},$ des $\mathrm {A} _{i}e^{\alpha _{i}t},$ de $e^{t{\sqrt {-1}}}$ et de $e^{-t{\sqrt {-1}}}$ qui satisfont formellement aux équations (1). On pourrait en douter ; en effet, $\Pi$ est le produit d’un certain nombre de diviseurs (5) du n^o 104. Tous ces diviseurs sont développables suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}\,;$ mais quelques-uns d’entre eux, ceux pour lesquels $\gamma$ est nul, s’annulent avec ${\sqrt {\mu }}.$ Il peut donc arriver que $\Pi$ s’annule avec $\mu$ et contienne en facteur une certaine puissance de ${\sqrt {\mu }}.$ Si alors $\mathrm {N}$ ne contenait pas cette même puissance en facteur, le quotient ${\frac {\mathrm {N} }{\Pi }}$ se développerait encore selon les puissances croissantes de ${\sqrt {\mu }},$ mais le développement commencerait par des puissances négatives.

Je dis qu’il n’en est pas ainsi et que le développement de ${\frac {\mathrm {N} }{\Pi }}$ ne contient que des puissances positives de ${\sqrt {\mu }}.$

Voyons par quel mécanisme ces puissances négatives de ${\sqrt {\mu }}$ disparaissent. Posons

$\mathrm {A} _{i}e^{\alpha _{i}t}=w_{i}$

et considérons les $x$ et les $y$ comme des fonctions des variables $t$ et $w.$

Il importe, avant d’aller plus loin, de faire la remarque suivante : parmi les $2n$ exposants caractéristiques $\alpha ,$ deux sont nuls et les autres sont deux à deux égaux et de signe contraire. Nous ne conserverons que $n-1$ au plus de ces exposants, en convenant de regarder comme nuls les coefficients $\mathrm {A} _{i}$ et les variables $w_{i}$ qui correspondent aux $n+1$ exposants rejetés. Nous ne conserverons que ceux de ces exposants dont la partie réelle est positive.

Cela posé, les équations (1) deviennent

(2)

${\frac {dx_{i}}{dt}}+\Sigma _{k}\,\alpha _{k}w_{k}{\frac {dx_{i}}{dw_{k}}}=\;\;\;{\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},$

(3)

${\frac {dy_{i}}{dt}}+\Sigma _{k}\,\alpha _{k}w_{k}{\frac {dy_{i}}{dw_{k}}}=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}},$

Cherchons, en partant de ces équations, à développer les $x_{i}$ et les $y_{i}-n_{i}t$ suivant les puissances croissantes de ${\sqrt {\mu }}$ et des $w$ de telle façon que les coefficients soient des fonctions périodiques de $t.$

Nous pouvons écrire

$\alpha _{k}=\alpha _{k}^{1}{\sqrt {\mu }}+\alpha _{k}^{2}\mu +\ldots =\Sigma \,\alpha _{k}^{p}\,\mu ^{\frac {p}{2}},$

car nous avons vu au n^o 74 comment on peut développer les exposants caractéristiques suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}.$

Écrivons, d’autre part,

${\begin{aligned}x_{i}&=x_{i}^{0}+x_{i}^{1}{\sqrt {\mu }}+\ldots ={\textstyle \sum }x_{i}^{p}\mu ^{\frac {p}{2}},\\y_{i}-n_{i}t&=y_{i}^{0}\,+y_{i}^{1}{\sqrt {\mu }}+\ldots ={\textstyle \sum }y_{i}^{p}\mu ^{\frac {p}{2}},\\\end{aligned}}$

les $x_{i}^{p}$ et les $y_{i}^{p}$ étant des fonctions de $t$ et des $w,$ périodiques par rapport à $t$ et développables suivant les puissances des $w.$

Si, dans les équations (2) et (3), nous substituons ces valeurs à la place de $\alpha _{k},$ des $x_{i}$ et des $y_{i},$ les deux membres de ces équations seront développés suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}.$

Égalons dans les deux membres des équations (2) les coefficients de $\mu ^{\frac {p+1}{2}},$ et dans les deux membres des équations (3) les coefficients de $\mu ^{\frac {p}{2}},$ nous obtiendrons les équations suivantes

(4)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {dx_{i}^{p+1}}{dt}}+{\textstyle \sum }_{k}\alpha _{k}^{1}w_{k}{\frac {dx_{i}^{p}}{dw_{k}}}\;\;&=\mathrm {Z} _{i}^{p}+{\boldsymbol {\sum }}_{k}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dy_{i}^{0}\,dy_{k}^{0}}}y_{k}^{p-1},\\{\frac {dy_{i}^{p}}{dt}}\;\;+{\textstyle \sum }_{k}\alpha _{k}^{1}w_{k}{\frac {dy_{i}^{p-1}}{dw_{k}}}&=\mathrm {T} _{i}^{p}-{\boldsymbol {\sum }}_{k}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}^{0}\,dx_{k}^{0}}}x_{k}^{p}\,,\\\end{aligned}}\right.$

où $\mathrm {Z} _{i}^{p}$ et $\mathrm {T} _{i}^{p}$ ne dépendent que de

${\begin{aligned}x_{i}^{0},\quad x_{i}^{1},\quad &\ldots ,\quad x_{i}^{p-1},\\y_{i}^{0},\quad y_{i}^{1},\quad &\ldots ,\quad y_{i}^{p-2}.\\\end{aligned}}$

Convenons, comme nous l’avons fait plus haut, de représenter par $[\mathrm {U} ]$ la valeur moyenne de $\mathrm {U} ,$ si $\mathrm {U}$ est une fonction périodique de $t.$

Des équations (4), nous pourrons alors déduire les suivantes

(5)

$\left\{{\begin{aligned}{\textstyle \sum }_{k}\alpha _{k}^{1}w_{k}{\frac {d\left[x_{i}^{p}\right]}{dw_{k}}}\;\;&=\left[\mathrm {Z} _{i}^{p}\right]+{\boldsymbol {\sum }}_{k}\left[{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dy_{i}^{0}\,dy_{k}^{0}}}\,y_{k}^{p-1}\right],\\{\textstyle \sum }_{k}\alpha _{k}^{1}w_{k}{\frac {d\left[y_{i}^{p-1}\right]}{dw_{k}}}&=\left[\mathrm {T} _{i}^{p}\right]-{\boldsymbol {\sum }}_{k}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}^{0}\,dx_{k}^{0}}}\left[x_{k}^{p}\right].\\\end{aligned}}\right.$

Supposons maintenant qu’un calcul préalable nous ait fait connaître

${\begin{aligned}x_{i}^{0},\quad x_{i}^{1},\quad \ldots &,\quad x_{i}^{p-1},\quad x_{i}^{p}\;\;\;-\left[x_{i}^{p}\right],\\y_{i}^{0},\quad y_{i}^{1},\quad \ldots &,\quad y_{i}^{p-2},\quad y_{i}^{p-1}-\left[y_{i}^{p-1}\right].\\\end{aligned}}$

Les équations (5) vont nous permettre de calculer ${\big [}x_{i}^{p}{\big ]}$ et ${\big [}y_{i}^{p-1}{\big ]}$ et par conséquent $x_{i}^{p}$ et $y_{i}^{p-1}.$ Les équations (4) nous permettront ensuite de déterminer

$x_{i}^{p+1}-\left[x_{i}^{p+1}\right]\quad$ et $\quad y_{i}^{p}-\left[y_{i}^{p}\right],$

de sorte que ce procédé nous fournira par récurrence tous les coefficients des développements de $x_{i}$ et de $y_{i}.$

La seule difficulté est la détermination de ${\big [}x_{i}^{p}{\big ]}$ et ${\big [}y_{i}^{p-1}{\big ]}$ par les équations (5).

Les fonctions ${\big [}x_{i}^{p}{\big ]}$ et ${\big [}y_{i}^{p-1}{\big ]}$ sont développées suivant les puissances croissantes des $w,$ et nous allons calculer les divers termes de ces développements en commençant par les termes du degré le moins élevé.

Pour cela nous allons reprendre les notations du n^o 79, c’est-à-dire que nous allons poser

$-{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}^{0}\,dx_{k}^{0}}}=\mathrm {C} _{i\,k}^{0}\quad \mathrm {et} \quad \left[{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{1}}{dy_{i}^{0}\,dy_{k}^{0}}}\right]=b_{i\,k}$

(pour les valeurs nulles des $w$).

Si alors nous appelons $\xi _{i}$ et $\eta _{i}$ les coefficients de

$w_{1}^{m_{1}}w_{2}^{m_{2}}\ldots w_{n-1}^{m_{n-1}}$

dans ${\big [}x_{i}^{p}{\big ]}$ et ${\big [}x_{i}^{p-1}{\big ]},$ nous aurons pour déterminer ces coefficients les équations suivantes

(6)

$\left\{{\begin{aligned}{\textstyle \sum }_{k}\,b_{i\,k}\eta _{k}-\mathrm {S} \xi _{i}&=\lambda _{i},\\{\textstyle \sum }_{k}\,\mathrm {C} _{i\,k}^{0}\xi _{k}-\mathrm {S} \eta _{i}&=\mu _{i}.\end{aligned}}\right.$

Dans ces équations (6), $\lambda _{i}$ et $\mu _{i}$ sont des quantités connues, parce qu’elles ne dépendent que de

${\begin{aligned}x_{i}^{0},\quad x_{i}^{1},\quad \ldots &,\quad x_{i}^{p-1},\quad x_{i}^{p}\;\;\;-\left[x_{i}^{p}\right],\\y_{i}^{0},\quad y_{i}^{1},\quad \ldots &,\quad y_{i}^{p-2},\quad y_{i}^{p-1}-\left[y_{i}^{p-1}\right]\\\end{aligned}}$

ou des termes de ${\big [}x_{i}^{p}{\big ]}$ et ${\big [}x_{i}^{p-1}{\big ]}$ dont le degré par rapport aux $w$ est plus petit que

$m_{1}+m_{2}+\ldots +m_{n-1}.$

De plus, nous avons posé, pour abréger,

$\mathrm {S} =m_{1}\alpha _{1}^{1}+m_{2}\alpha _{2}^{1}+\ldots +m_{n-1}\alpha _{n-1}^{1}.$

Nous avons donc pour le calcul des coefficients $\xi _{i}$ et $\eta _{i}$ un système d’équations linéaires. Il ne pourrait y avoir de difficulté que si le déterminant de ces équations était nul ; or ce déterminant est égal à

$\mathrm {S} ^{2}[\mathrm {S} ^{2}-(\alpha _{1}^{1})^{2}][\mathrm {S} ^{2}-(\alpha _{2}^{1})^{2}]\ldots [\mathrm {S} ^{2}-(\alpha _{n-1}^{1})^{2}].$

Il ne pourrait s’annuler que pour

$\mathrm {S} =0,\quad \mathrm {S} =\pm \alpha _{i}^{1},$

c’est-à-dire pour

$m_{1}+m_{1}+\ldots +m_{n-1}=0\quad \mathrm {ou} \quad 1.$

On ne pourrait donc rencontrer de difficulté que dans le calcul des termes du degré 0 ou 1 par rapport aux $w.$

Mais nous n’avons pas à revenir sur le calcul de ces termes ; en effet, nous avons appris à calculer les termes indépendants des $w$ dans le n^o 44 et les coefficients de

$w_{1},\quad w_{2},\quad \ldots ,\quad w_{n-1}$

dans le n^o 79.

Les termes indépendants des $w$ ne sont en effet autre chose que les séries (2) du n^o 44 et les coefficients de

$w_{1},\quad w_{2},\quad \ldots ,\quad w_{n-1}$

ne sont autre chose que les séries $\mathrm {S} _{i}$ et $\mathrm {T} _{i}$ du n^o 79.

Il me reste à dire un mot des premières approximations.

Nous donnerons aux $x_{i}^{0}$ des valeurs constantes qui ne sont autres que celles que nous avons désignées ainsi au n^o 44.

Nous aurons alors les équations suivantes :

(7)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {dy_{i}^{0}}{dt}}=0,\quad {\frac {dx_{i}^{1}}{dt}}=0,\quad {\frac {dy_{i}^{1}}{dt}}+{\textstyle \sum }_{k}\,\alpha _{k}^{1}w_{k}{\frac {dy_{i}^{0}}{dw_{k}}}&=-{\boldsymbol {\sum }}_{k}{\frac {d^{2}\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}^{0}\,dx_{k}^{0}}}\,x_{k}^{1},\\{\frac {dx_{i}^{2}}{dt}}+{\textstyle \sum }_{k}\,\alpha _{k}^{1}w_{k}{\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}}}&={\frac {d\mathrm {F} _{1}}{dy_{i}^{0}}}\cdot \\\end{aligned}}\right.$

Dans $\mathrm {F} _{0}$ qui ne dépend que des $x_{i},$ ces quantités doivent être remplacées par $x_{i}^{0}.$ Dans $\mathrm {F} _{1}$ les $x_{i}$ sont remplacés par $x_{i}^{0}$ et les $y_{i}$ par $n_{i}t.$ $\mathrm {F} _{1}$ devient alors une fonction périodique de $t$ dont la période est $\mathrm {T} .$ Nous désignerons par $\psi$ la valeur moyenne de cette fonction périodique $\mathrm {F} _{1}\,;$ $\psi$ est alors une fonction périodique et de période $2\pi$ par rapport aux $y_{i}^{0}.$

Les deux premières équations (7) montrent que les $y_{i}^{0}$ et les $x_{i}^{1}$ ne dépendent que des $w.$ En égalant dans les deux dernières équations (7) les valeurs moyennes des deux membres, il vient

(8)

$\left\{{\begin{aligned}{\textstyle \sum }\,\alpha _{k}^{1}\,w_{k}{\frac {dy_{i}^{0}}{dw_{k}}}&={\textstyle \sum }\,\mathrm {C} _{i\,k}^{0}x_{k}^{1},\\[0.75ex]{\textstyle \sum }\,\alpha _{k}^{1}\,w_{k}{\frac {dx_{i}^{1}}{dw_{k}}}&={\frac {d\psi }{dy_{i}^{0}}}\cdot \end{aligned}}\right.$

Ces équations (8) doivent servir à déterminer les $y_{i}^{0}$ et les $x_{i}^{1}$ en fonctions des $w.$ Peut-on satisfaire à ces équations en substituant à la place des $y_{i}^{0}$ et des $x_{i}^{1}$ des séries développées suivant les puissances de $w\,?$

Pour nous en rendre compte envisageons les équations différentielles suivantes

(9)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {dy_{i}^{0}}{dt}}&={\textstyle \sum }\,\mathrm {C} _{i\,k}^{0}x_{k}^{1},\\[0.75ex]{\frac {dx_{i}^{1}}{dt}}&={\frac {d\psi }{dy_{i}^{0}}}\cdot \end{aligned}}\right.$

Ces équations différentielles où les fonctions inconnues sont les $y_{i}^{0}$ et les $x_{i}^{1}$ admettront une solution périodique

${\begin{aligned}x_{i}^{1}&=0,&y_{i}^{0}&=\varpi _{i}\end{aligned}}$

$\varpi _{i}$ étant la quantité désignée ainsi au n^o 44.

Les exposants caractéristiques relatifs à cette solution périodique sont précisément les quantités $\alpha _{k}^{1}.$ Parmi ces quantités nous sommes convenus de ne conserver que celles dont la partie réelle est positive. Les équations (9) admettent un système de solutions asymptotiques et il est aisé de voir que ces solutions se présentent sous la forme de séries développées suivant les puissances des $w.$ Ces séries satisferont alors aux équations (8). Ces équations peuvent donc être résolues.

Les $x_{i}^{1}$ et les $y_{i}^{0}$ étant ainsi déterminés, le reste du calcul ne présente plus, comme nous l’avons vu, aucune difficulté. Il existe donc des séries ordonnées suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }},$ des $w$ et de $e^{\pm t{\sqrt {-1}}}$ et qui satisfont formellement aux équations (1).

Cela prouve que le développement de ${\frac {\mathrm {N} }{\Pi }}$ ne débute jamais par une puissance négative de ${\sqrt {\mu }}.$ L’analyse des n^o 110 et 111 nous en fournira une nouvelle démonstration.

Divergence des séries du n^o 108.

109.Malheureusement les séries ainsi obtenues ne sont pas convergentes.

Soit en effet

${\frac {1}{{\sqrt {-1}}\,\gamma +\Sigma \,\alpha \beta -a_{i}}}\cdot$

Si $\gamma$ n’est pas nul, cette expression est développable suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }}\,;$ mais le rayon de convergence de la série ainsi obtenue tend vers 0 quand ${\frac {\gamma }{\Sigma \,\beta }}$ tend vers 0.

Si donc on développe les diverses quantités ${\frac {1}{\Pi }}$ suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }},$ on pourra toujours, parmi ces quantités, en trouver une infinité pour lesquelles le rayon de convergence du développement est aussi petit qu’on le veut.

On pourrait encore espérer, quelque invraisemblable que cela puisse paraître, qu’il n’en est pas de même pour les développements des diverses quantités ${\frac {\mathrm {N} }{\Pi }}\,;$ mais la démonstration que j’ai donnée dans le tome XIII des Acta mathematica (p. 222) et sur laquelle je reviendrai dans la suite montre qu’il n’est pas ainsi en général ; il faut donc renoncer à ce faible espoir et conclure que les séries que nous venons de former sont divergentes.

Mais, quoiqu’elles soient divergentes, ne peut-on en tirer quelque parti ?

Considérons d’abord la série suivante qui est plus simple que celles que nous avons en vue

$\mathrm {F} (w,\,\mu )={\boldsymbol {\sum }}_{n}{\frac {x^{n}}{1+n\mu }}\cdot$

Cette série converge uniformément quand $\mu$ reste positif et que $w$ reste plus petit en valeur absolue qu’un nombre positif $w_{0}$ plus petit que 1, mais d’ailleurs quelconque. De même la série

${\frac {1}{\Gamma (p)}}{\frac {d^{p-1}\mathrm {F} (w,\,\mu )}{d\mu ^{p-1}}}=\pm {\boldsymbol {\sum }}{\frac {n^{p-1}w^{n}}{(1+n\mu )^{p}}}$

converge uniformément.

Si maintenant l’on cherche à développer $\mathrm {F} (w,\,\mu )$ suivant les puissances de $\mu ,$ la série à laquelle on est conduit

(10)

${\textstyle \sum }\,w^{n}(-n)^{p}\mu ^{p}$

ne converge pas. Si, dans cette série, on néglige tous les termes où l’exposant de $\mu$ est supérieur à $p,$ on obtient une certaine fonction

$\Phi _{p}(w,\,\mu ).$

Il est aisé de voir que l’expression

${\frac {\mathrm {F} (w,\,\mu )-\Phi _{p}(w,\,\mu )}{\mu ^{p}}}$

tend vers 0 quand $\mu$ tend vers 0 par valeurs positives, de sorte que la série (10) représente asymptotiquement la fonction $\mathrm {F} (w,p)$ pour les petites valeurs de $\mu ,$ de la même manière que la série de Stirling représente asymptotiquement la fonction eulérienne pour les grandes valeurs de $x.$

Je me propose d’établir, dans les numéros suivants, que les séries divergentes que nous avons appris à former dans le n^o 108 sont tout à fait analogues à la série (10).

Considérons en effet l’une des séries

(10′)

${\boldsymbol {\sum }}{\frac {\mathrm {N} }{\Pi }}w_{1}^{\beta _{1}}w_{2}^{\beta _{2}}\ldots w_{k}^{\beta _{k}}e^{\gamma t{\sqrt {-1}}}=\mathrm {F} \left({\sqrt {\mu }},\,w_{1},\,w_{2},\,\ldots ,\,w_{k},\,t\right)\,;$

les raisonnements du n^o 105 ont montré que ces séries sont uniformément convergentes pourvu que les $w$ restent inférieurs en valeur absolue à certaines limites et que ${\sqrt {\mu }}$ reste réel.

Si l’on développe ${\frac {\mathrm {N} }{\Pi }}$ suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }},$ les séries (10′) sont divergentes, ainsi que nous l’avons dit. Supposons que l’on néglige dans le développement les termes où l’exposant de ${\sqrt {\mu }}$ est supérieur à $p,$ on obtiendra une certaine fonction

$\Phi _{p}\left({\sqrt {\mu }},\,w_{1},\,w_{2},\,\ldots ,\,w_{k},\,t\right)$

qui sera développable suivant les puissances des $w,$ de $e^{\pm t{\sqrt {-1}}}$ et qui sera un polynôme de degré $p$ en ${\sqrt {\mu }}.$

On verra plus loin que l’expression

${\frac {\mathrm {F} -\Phi _{p}}{\sqrt {\mu ^{p}}}}$

tend vers 0 quand $p$ tend vers 0 par valeurs positives, et cela quelque grand que soit $p.$

En effet, si l’on désigne par $\mathrm {H} _{p}$ l’ensemble des termes du développement de ${\frac {\mathrm {N} }{\Pi }},$ où l’exposant de ${\sqrt {\mu }}$ est au plus égal à $p,$ on a

${\frac {\mathrm {F} -\Phi _{p}}{\sqrt {\mu ^{p}}}}={\boldsymbol {\sum }}{\frac {1}{\sqrt {\mu ^{p}}}}\left({\frac {\mathrm {N} }{\Pi }}-\mathrm {H} _{p}\right)w_{1}^{\beta _{1}}w_{2}^{\beta _{2}}\ldots w_{k}^{\beta _{k}}e^{\gamma t{\sqrt {-1}}},$

et je montrerai que la série du second membre est uniformément convergente et que tous les termes tendent vers 0 quand $p$ tend vers 0.

On peut donc dire que les séries que nous avons obtenues dans le n^o 108 représentent les solutions asymptotiques pour les petites valeurs de $\mu$ de la même manière que la série de Stirling représente les fonctions eulériennes.

Démonstration nouvelle de la proposition du n^o 108.

110.Pour démontrer ce fait, je vais faire subir aux équations une transformation qui me fournira en même temps une nouvelle démonstration du théorème qui a fait l’objet du n^o 108. Supposons 2 degrés de liberté seulement pour fixer les idées ; alors nous ne conserverons plus qu’une seule des quantités $w$ et nous pourrons écrire nos équations sous la forme suivante

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}}{dt}}+\alpha w{\frac {dx_{i}}{dw}}&={\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}},&{\frac {dy_{i}}{dt}}+\alpha w{\frac {dy_{i}}{dw}}&=-{\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}\quad (i=1,2)\end{aligned}}$

en supprimant les indices de $\alpha$ et de $w$ devenus inutiles.

Nous savons que $\alpha$ est développable suivant les puissances impaires de ${\sqrt {\mu }}$ et, par conséquent, $\alpha ^{2}$ suivant les puissances de $\mu \,;$ inversement $\mu$ est développable suivant les puissances de $\alpha ^{2}\,;$ nous pouvons remplacer $\mu$ par ce développement, de sorte que $\mathrm {F}$ sera développée suivant les puissances de $\alpha ^{2}.$ Pour $\alpha =0,$ $\mathrm {F}$ se réduit à $\mathrm {F} _{0}$ qui ne dépend que de $x_{1}$ et de $x_{2}.$

Soit

${\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t),&y_{i}&=\psi _{i}(t)\end{aligned}}$

la solution périodique qui nous sert de point de départ. Posons, comme au n^o 79,

${\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t)+\xi _{i},&y_{i}&=\psi _{i}(t)+\eta _{i},\end{aligned}}$

nos équations deviendront

(11)

${\begin{aligned}{\frac {d\xi _{i}}{dt}}+\alpha \,w\,{\frac {d\xi _{i}}{dw}}&=\Xi _{i},&{\frac {d\eta _{i}}{dt}}+\alpha \,w\,{\frac {d\eta _{i}}{dw}}&=\mathrm {H} _{i}.\end{aligned}}$

$\Xi _{i}$ et $\mathrm {H} _{i}$ sont développés suivantes les puissances des $\xi _{i},$ des $\eta _{i}$ et de $\alpha ^{2}\,;$ et les coefficients sont des fonctions périodiques de $t.$

Pour $\alpha =0,$ ${\frac {d\mathrm {F} }{dy_{i}}}$ et par conséquent $\Xi _{i}$ s’annulent ; donc $\Xi _{i}$ est divisible par $\alpha ^{2}$ et je puis poser

$\Xi _{i}=\alpha ^{2}\mathrm {X} _{i}+\alpha ^{2}\mathrm {X} _{i}'$

$\alpha ^{2}\mathrm {X} _{i}$ représentant l’ensemble des termes du premier degré par rapport aux $\xi$ et aux $\eta ,$ et $\alpha ^{2}\mathrm {X} _{i}'$ représentant l’ensemble des termes de degré supérieur.

De même, quand $\alpha$ est nul, ${\frac {d\mathrm {F} }{dx_{i}}}$ et par conséquent $\mathrm {H} _{i}$ ne dépendent plus que des $\xi _{i}$ et non des $\eta _{i}.$

Je puis donc poser

$\mathrm {H} _{i}=\mathrm {Y} _{i}+\mathrm {Y} _{i}'+\alpha ^{2}\mathrm {Q} _{i}+\alpha ^{2}\mathrm {Q} _{i}',$

$\mathrm {Y} _{i}+\alpha ^{2}\mathrm {Q} _{i}$ représentant l’ensemble des termes du premier degré par rapport aux $\xi$ et $\eta ,$ pendant que $\mathrm {Y} _{i}'+\alpha ^{2}\mathrm {Q} _{i}'$ représentent l’ensemble des termes de degré supérieur au premier. Je suppose en outre que $\mathrm {Y} _{i}$ et $\mathrm {Y} _{i}'$ ne dépendent que de $\xi _{1}$ et de $\xi _{2}.$

Posons

${\begin{aligned}\xi _{1}&=\alpha \zeta _{1},&\xi _{2}&=\alpha \zeta _{2},\end{aligned}}$

$\mathrm {Y} _{i}$ deviendra divisible par $\alpha$ et $\mathrm {Y} _{i}'$ par $\alpha ^{2},$ de sorte que je pourrai poser

${\begin{aligned}\mathrm {Y} _{i}+\alpha ^{2}\mathrm {Q} _{i}&=\alpha \mathrm {Z} _{i},&\mathrm {Y} _{i}'+\alpha ^{2}\mathrm {Q} _{i}'&=\alpha \mathrm {Z} _{i}'\end{aligned}}$

et que nos équations deviendront

(12)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\zeta _{i}}{dt}}+\alpha \,w\,{\frac {d\zeta _{i}}{dw}}&=\alpha \mathrm {X} _{i}+\alpha \mathrm {X} _{i}'\\{\frac {d\eta _{i}}{dt}}+\alpha \,w\,{\frac {d\eta _{i}}{dw}}&=\alpha \mathrm {Z} _{i}+\alpha ^{2}\mathrm {Z} _{i}'\\\end{aligned}}\right.$

Considérons les équations

(13)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\zeta _{i}}{dt}}&=\alpha \mathrm {X} _{i},\\{\frac {d\eta _{i}}{dt}}&=\alpha \mathrm {Z} _{i}.\\\end{aligned}}\right.$

Ces équations sont linéaires par rapport aux inconnues $\zeta _{i}$ et $\eta _{i}.$ Elles ne diffèrent pas des équations (2) du n^o 79, sinon parce que $\xi _{1}$ et $\xi _{2}$ y sont remplacés par $\alpha \zeta _{1}$ et $\alpha \zeta _{2}.$ D’après ce que nous avons aux n^os 69 et 74, l’équation qui définit les exposants caractéristiques admet quatre racines, l’une égale à $+\alpha ,$ l’autre à $-\alpha$ et les deux autres à 0.

À la première racine, c’est-à-dire à la racine $+\alpha ,$ correspondra une solution des équations (2) du n^o 79, que nous avons appris à former dans ce numéro et que nous avons écrite ainsi

${\begin{aligned}\xi _{i}&=e^{\alpha t}\mathrm {S} _{i},&\eta _{i}&=e^{\alpha t}\mathrm {T} _{i}.\end{aligned}}$

Je rappelle que $\mathrm {S} _{i}^{0}$ est nul et, par conséquent, que $\mathrm {S} _{i}$ est divisible par $\alpha .$

À la seconde racine $-\alpha$ correspondra de même une autre solution des équations (2) et nous l’écrirons

${\begin{aligned}\xi _{i}&=e^{-\alpha t}\mathrm {S} _{i}',&\eta _{i}&=e^{-\alpha t}\mathrm {T} _{i}'.\end{aligned}}$

Enfin aux deux racines 0, correspondront (cf. n^o 80) deux solutions des équations (2) que nous écrirons

${\begin{aligned}\xi _{i}&=\mathrm {S} _{i}'',&\eta _{i}&=\mathrm {T} _{i}'',\\\xi _{i}&=\mathrm {S} _{i}'''+\alpha t\mathrm {S} _{i}'',&\eta _{i}&=\mathrm {T} _{i}'''+\alpha t\mathrm {T} _{i}''.\end{aligned}}$

$\mathrm {T} _{i}',\,\mathrm {T} _{i}'',\,\mathrm {T} _{i}''',\,\mathrm {S} _{i}',\,\mathrm {S} _{i}'',\,\mathrm {S} _{i}'''$ sont des fonctions périodiques de $t,$ comme $\mathrm {S} _{i}$ et $\mathrm {T} _{i}.$

D’après ce que nous avons vu aux n^os 79 et 80, $\mathrm {S} _{i}',$ $\mathrm {S} _{i}''$ et $\mathrm {S} _{i}'''=\alpha \mathrm {S} _{i}^{\star }$ seront comme $\mathrm {S} _{i}$ divisibles par $\alpha .$

Posons alors

(13 bis)

$\left\{{\begin{aligned}\alpha \zeta _{1}&=\mathrm {S} _{1}\theta _{1}\,+\mathrm {S} _{1}'\theta _{2}\,+\mathrm {S} _{1}''\theta _{3}\,+\mathrm {S} _{1}'''\theta _{4},\\\alpha \zeta _{2}&=\mathrm {S} _{2}\theta _{1}\,+\mathrm {S} _{2}'\theta _{2}\,+\mathrm {S} _{2}''\theta _{3}\,+\mathrm {S} _{2}'''\theta _{4},\\\eta _{1}&=\mathrm {T} _{1}\theta _{1}+\mathrm {T} _{1}'\theta _{2}+\mathrm {T} _{1}''\theta _{3}+\mathrm {T} _{1}'''\theta _{4},\\\eta _{2}&=\mathrm {T} _{2}\theta _{1}+\mathrm {T} _{2}'\theta _{2}+\mathrm {T} _{2}''\theta _{3}+\mathrm {T} _{2}'''\theta _{4}.\\\end{aligned}}\right.$

Les fonctions $\theta _{i}$ ainsi définies joueront un rôle analogue à celui des fonctions $\eta _{i}$ du n^o 105. Les équations (12) deviennent alors

(14)

$\;\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\theta _{1}}{dt}}+\alpha \,w{\frac {d\theta _{1}}{dw}}-\alpha \theta _{1}&=\alpha \Theta _{1},&{\frac {d\theta _{2}}{dt}}+\alpha \,w{\frac {d\theta _{2}}{dw}}&+\alpha \theta _{2}=\alpha \Theta _{2},\\{\frac {d\theta _{3}}{dt}}+\alpha \,w{\frac {d\theta _{3}}{dw}}=\alpha \theta _{4}&+\alpha \Theta _{3},&{\frac {d\theta _{4}}{dt}}+\alpha \,w{\frac {d\theta _{4}}{dw}}&=\alpha \Theta _{4}.\end{aligned}}\right.$

$\Theta _{1},\,\Theta _{2},\,\Theta _{3},\,\Theta _{4},$ sont des fonctions développées suivant les puissances de $\theta _{1},$ $\theta _{2},$ $\theta _{3},$ $\theta _{4}$ et $\alpha ,$ dont tous les termes sont du deuxième degré au moins par rapport aux $\theta ,$ et dont les coefficients sont des fonctions périodiques de $t.$ De plus, les $\theta$ doivent être des fonctions périodiques de $t$ et les termes du premier degré en $w$ dans $\theta _{1},$ $\theta _{2},$ $\theta _{3}$ et $\theta _{4}$ doivent se réduire à $w,$ 0, 0 et 0.

Ces équations (14) sont analogues aux équations (2′′) du n^o 105.

On trouve en effet

${\begin{aligned}\alpha \mathrm {X} _{i}'&=\Theta _{1}\mathrm {S} _{i}\,+\Theta _{2}\mathrm {S} _{i}'\,+\Theta _{3}\mathrm {S} _{i}''\,+\Theta _{4}\mathrm {S} _{i}''',\\\alpha \mathrm {Z} _{i}'&=\Theta _{1}\mathrm {T} _{i}+\Theta _{2}\mathrm {T} _{i}'+\Theta _{3}\mathrm {T} _{i}''+\Theta _{4}\mathrm {T} _{i}''',\\\end{aligned}}$

ce qui nous donne quatre équations d’où l’on peut tirer les quatre fonctions $\Theta ,$ puisque les $\mathrm {S} ,$ les $\mathrm {T} ,$ les $\mathrm {X} '$ et les $\mathrm {Z} '$ sont des fonctions connues. Je dis qu’on trouvera

$\Theta _{i}=\mathrm {U} _{i,1}\mathrm {X} _{1}'+\mathrm {U} _{i,2}\mathrm {X} _{2}'+\mathrm {U} _{i,3}\mathrm {Z} _{1}'+\mathrm {U} _{i,4}\mathrm {Z} _{2}',$

les $\mathrm {U}$ étant des fonctions périodiques de $t$ développables suivant les puissances croissantes et positives de $\alpha .$ Il suffit en effet, pour cela, que le déterminant

$\Delta =\left|{\begin{array}{cccc}{\dfrac {1}{\alpha }}\mathrm {S} _{1}&{\dfrac {1}{\alpha }}\mathrm {S} _{1}'&{\dfrac {1}{\alpha }}\mathrm {S} _{1}''&{\dfrac {1}{\alpha }}\mathrm {S} _{1}'''\\{\dfrac {1}{\alpha }}\mathrm {S} _{2}&{\dfrac {1}{\alpha }}\mathrm {S} _{2}'&{\dfrac {1}{\alpha }}\mathrm {S} _{2}''&{\dfrac {1}{\alpha }}\mathrm {S} _{2}'''\\\mathrm {T} _{1}&\mathrm {T} _{1}'&\mathrm {T} _{1}''&\mathrm {T} _{1}'''\\\mathrm {T} _{2}&\mathrm {T} _{2}'&\mathrm {T} _{2}''&\mathrm {T} _{2}'''\\\end{array}}\right|$

ne soit pas divisible par $\alpha ,$ c’est-à-dire ne s’annule pas pour $\alpha =0.$

Pour $\alpha =0,\,{\frac {\mathrm {S} _{i}}{\alpha }}$ se réduit à la quantité que nous avons appelée $\mathrm {S} _{i}^{1}$ au n^o 79 et $\mathrm {T} _{i}$ à $\mathrm {T} _{i}^{0},$ et ces quantités satisfont aux équations (9) et (10) de ce n^o 79.

Ici nous développons non suivant les puissances de ${\sqrt {\mu }},$ mais suivant celles de $\alpha ,$ de sorte que la quantité que nous avions [13]appelée $\alpha _{1}$ dans le n^o 79 est égale à 1. Les équations (9) du n^o 79 vont donc s’écrire

${\begin{aligned}\mathrm {T} _{i}&={\frac {\mathrm {C} _{i\,1}^{0}\mathrm {S} _{1}}{\alpha }}+{\frac {\mathrm {C} _{i\,2}^{0}\mathrm {S} _{2}}{\alpha }},\\{\frac {\mathrm {S} _{i}}{\alpha }}&=b_{i\,1}\mathrm {T} _{1}+b_{i\,2}\mathrm {T} _{2},\end{aligned}}$

et elles devront être satisfaites pour $\alpha =0.$

En ce qui concerne la seconde solution, l’exposant est égal à $-\alpha$ et, par conséquent, $\alpha _{1}$ est égal à$-1,$ de sorte que ces équations deviennent

${\begin{aligned}-\mathrm {T} _{i}'&={\frac {\mathrm {C} _{i\,1}^{0}\mathrm {S} _{1}'}{\alpha }}+{\frac {\mathrm {C} _{i\,2}^{0}\mathrm {S} _{2}'}{\alpha }},\\-{\frac {\mathrm {S} _{i}'}{\alpha }}&=b_{i\,1}\mathrm {T} _{1}'+b_{i\,2}\mathrm {T} _{2}',\\\end{aligned}}$

ce qui permet de supposer

${\begin{aligned}\mathrm {T} _{i}'&=\mathrm {T} _{i},&\mathrm {S} _{i}'&=-\mathrm {S} _{i}.\end{aligned}}$

$\mathrm {S} _{i}''$ étant divisible par $\alpha ^{2},$ ${\frac {\mathrm {S} _{i}''}{\alpha }}$ s’annule pour $\alpha =0.$ En même temps, pour $\alpha =0,$ on a

$\mathrm {T} _{i}''=n_{i}=-{\frac {d\mathrm {F} _{0}}{dx_{i}}}\cdot$

Pour $\alpha =0,$ $\mathrm {T} _{i}'''=\alpha \mathrm {T} _{i}^{\star }$ s’annule et on a

${\frac {\mathrm {S} _{i}'''}{\alpha }}=\mathrm {S} _{i}^{\star }\gtrless 0\,;$

on trouve

$n_{i}=\mathrm {C} _{i\,1}^{0}\mathrm {S} _{1}^{\star }+\mathrm {C} _{i\,2}^{0}\mathrm {S} _{2}^{\star }.$

Nous pouvons conclure de là que le déterminant $\Delta$ se réduit pour $\alpha =0$ à

$\Delta =2\left|{\begin{array}{cc}{\dfrac {\mathrm {S} _{1}}{\alpha }}&{\dfrac {\mathrm {S} _{1}'''}{\alpha }}\\{\dfrac {\mathrm {S} _{2}}{\alpha }}&{\dfrac {\mathrm {S} _{2}'''}{\alpha }}\end{array}}\right|\;\left|{\begin{array}{cc}\mathrm {T} _{1}&n_{1}\\\mathrm {T} _{2}&n_{2}\end{array}}\right|.$

On trouve d’ailleurs

$\left|{\begin{array}{cc}\mathrm {T} _{1}&n_{1}\\\mathrm {T} _{2}&n_{2}\\\end{array}}\right|=\left|{\begin{array}{cc}{\dfrac {\mathrm {S} _{1}}{\alpha }}&{\dfrac {\mathrm {S} _{1}'''}{\alpha }}\\{\dfrac {\mathrm {S} _{2}}{\alpha }}&{\dfrac {\mathrm {S} _{2}'''}{\alpha }}\\\end{array}}\right|\;\left|{\begin{array}{cc}\mathrm {C} _{1\,1}^{0}&\mathrm {C} _{1\,2}^{0}\\\mathrm {C} _{2\,1}^{0}&\mathrm {C} _{2\,2}^{0}\\\end{array}}\right|.$

Le déterminant des $\mathrm {C} _{ik}^{0},$ qui n’est autre chose que le hessien de $\mathrm {F} _{0},$ ne s’annule pas en général, de sorte que $\Delta$ ne peut s’annuler que si l’on a

${\frac {\mathrm {T} _{1}}{n_{1}}}={\frac {\mathrm {T} _{2}}{n_{2}}}\,;$

mais, si l’on observe que

$n_{1}b_{i1}+n_{2}b_{i2}=0,$

on en déduirait

${\frac {\mathrm {S} _{1}}{\alpha }}={\frac {\mathrm {S} _{2}}{\alpha }}=0,$

ce qui ne peut avoir lieu.

Le déterminant $\Delta$ n’est donc pas nul. On peut encore l’établir de la manière suivante. Considérons les équations suivantes

${\begin{aligned}{\frac {d\xi _{i}}{dt}}&=b_{i1}\eta _{1}+b_{i2}\eta _{2},\\{\frac {d\eta _{i}}{dt}}&=\mathrm {C} _{i\,1}^{0}\xi _{1}+\mathrm {C} _{i\,2}^{0}\xi _{2}.\\\end{aligned}}$

Ce sont des équations linéaires à coefficients constants. Elles admettent quatre solutions linéairement indépendantes, à savoir

${\begin{aligned}\xi _{i}&=e^{t}{\frac {\mathrm {S} _{i}}{\alpha }},&\eta _{i}&=e^{t}\mathrm {T} _{i}\,;\\\xi _{i}&=e^{-t}{\frac {\mathrm {S} _{i}'}{\alpha }},&\eta _{i}&=e^{-t}\mathrm {T} _{i}'\,;\\\xi _{i}&={\frac {\mathrm {S} _{i}''}{\alpha }},&\eta _{i}&=\mathrm {T} _{i}''\,;\\\xi _{i}&={\frac {\mathrm {S} _{i}'''}{\alpha }}+t{\frac {\mathrm {S} _{i}''}{\alpha }},&\eta _{i}&=\mathrm {T} _{i}'''+t\mathrm {T} _{i}''.\end{aligned}}$

Il va sans dire que, dans les $\mathrm {T} _{i}$ et les ${\frac {\mathrm {S} _{i}}{\alpha }},$ il faut faire $\alpha =0,$ de telle sorte que ces quantités se réduisent à des constantes.

Ces quatre solutions étant linéairement indépendantes, leur déterminant pour $t=0$ ne doit pas s’annuler ; or ce déterminant est précisément $\Delta .$ Donc $\Delta$ n’est pas nul.

C.Q.F.D.

On voit ainsi que les fonctions $\Theta _{i}$ jouissent bien des propriétés énoncées.

111.L’analyse précédente s’étend immédiatement au cas où il y a plus de 2 degrés de liberté.

Si nous posons

$\xi _{i}={\sqrt {\mu }}\zeta _{i},$

les équations pourront s’écrire comme dans le numéro précédent

$\left.{\begin{aligned}{\frac {d\zeta _{i}}{dt}}+{\textstyle \sum }\,\alpha _{k}w_{k}{\frac {d\zeta _{i}}{dw_{k}}}&={\sqrt {\mu }}\mathrm {X} _{i}+{\sqrt {\mu }}\mathrm {X} _{i}'\\{\frac {d\eta _{i}}{dt}}+{\textstyle \sum }\,\alpha _{k}w_{k}{\frac {d\eta _{i}}{dw_{k}}}&={\sqrt {\mu }}\mathrm {Z} _{i}+{\sqrt {\mu }}\mathrm {Z} _{i}'\\\end{aligned}}\right\}\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,n).$

Les fonctions $\mathrm {X} _{i},\,\mathrm {X} _{i}',\,\mathrm {Z} _{i}$ et $\mathrm {Z} _{i}'$ jouissent des mêmes propriétés que dans le numéro précédent, c’est-à-dire qu’elles sont développables suivant les puissances des $\eta _{i},$ des $\zeta _{i}$ et de ${\sqrt {\mu }},$ et périodiques par rapport à $t.$ De plus, $\mathrm {X_{i}}$ et $\mathrm {Z} _{i}$ sont linéaires par rapport aux $\eta _{i}$ et aux $\zeta _{i}$ et $\mathrm {X_{i}} '$ et $\mathrm {Z} _{i}'$ ne contiennent que des termes du second degré au moins par rapport à ces variables.

Considérons ensuite les équations

${\begin{aligned}{\frac {d\zeta _{i}}{dt}}&={\sqrt {\mu }}\,\mathrm {X} _{i},&{\frac {d\eta _{i}}{dt}}&={\sqrt {\mu }}\,\mathrm {Z} _{i}\,;\end{aligned}}$

elles admettront $2n-2$ solutions linéairement indépendantes correspondant aux $2n-2$ exposants caractéristiques qui ne sont pas nuls ; ces solutions pourront s’écrire

${\sqrt {\mu }}\zeta _{i}=\xi _{i}=e^{\alpha _{k}t}\mathrm {S} _{ik},\quad \eta _{i}=e^{\alpha _{k}t}\mathrm {S} _{ik},\quad (k=1,\,2,\,\ldots ,\,2n-2)\,;$

elles admettront en outre deux solutions dégénérescentes définies au n^o 80 et que j’écrirai

${\begin{aligned}{\sqrt {\mu }}\zeta _{i}&=\mathrm {S} _{i,2n-1},&\eta _{i}&=\mathrm {T} _{i,2n-1}\end{aligned}}$

et

${\begin{aligned}{\sqrt {\mu }}\zeta _{i}&=\mathrm {S} _{i,2n}+{\sqrt {\mu }}\,t\,\mathrm {S} _{i,2n-1},&\eta _{i}&=\mathrm {T} _{i,2n}+{\sqrt {\mu }}\,t\,\mathrm {T} _{i,2n-1}.\end{aligned}}$

Les fonctions $\mathrm {S} _{i,k}$ et $\mathrm {T} _{i,k}\;(k=1,\,2,\,\ldots ,\,2n)$ sont périodiques en $t.$ De plus $\mathrm {S} _{i,k}$ est divisible par ${\sqrt {\mu }}.$

Nous pouvons alors poser

${\begin{aligned}{\sqrt {\mu }}\zeta _{i}&=\sum _{k=1}^{k=2n}\mathrm {S} _{ik}\theta _{k},&\eta _{i}&=\sum _{k=1}^{k=2n}\mathrm {T} _{ik}\theta _{k},\end{aligned}}$

et alors nous trouverons les équations

(14 bis)

$\;{\frac {d\theta _{i}}{dt}}+{\textstyle \sum }\alpha _{k}w_{k}{\frac {d\theta _{i}}{dw_{k}}}-\alpha _{i}\theta _{i}={\sqrt {\mu }}\Theta _{i}\quad (i=1,\,2,\,\ldots ,\,2n-2).$

${\begin{aligned}{\frac {d\theta _{2n-1}}{dt}}&+{\textstyle \sum }\alpha _{k}w_{k}{\frac {d\theta _{2n-1}}{dw_{k}}}-{\sqrt {\mu }}\theta _{2n}={\sqrt {\mu }}\Theta _{2n-1},\\{\frac {d\theta _{2n}}{dt}}&+{\textstyle \sum }\alpha _{k}w_{k}{\frac {d\theta _{2n}}{dw_{k}}}={\sqrt {\mu }}\Theta _{2n}.\end{aligned}}$

Les fonctions $\Theta _{k}$ sont définies par les $2n$ équations du premier degré

${\begin{aligned}\mathrm {X} _{i}'&=\sum _{k=1}^{k=2n}{\frac {\mathrm {S} _{ik}}{\sqrt {\mu }}}\Theta _{k},\\[1.5ex]{\sqrt {\mu }}\mathrm {Z} _{i}'&={\textstyle \sum }\,\mathrm {T} _{ik}\Theta _{k}.\end{aligned}}$

Le déterminant de ces $2n$ équations, c’est-à-dire le déterminant $\Delta$ formé avec les ${\frac {\mathrm {S} _{ik}}{\sqrt {\mu }}}$ et les $\mathrm {T} _{ik},$ ne s’annule pas pour $\mu =0.$ On le démontrerait comme dans le numéro précédent ; la seconde démonstration en particulier peut être appliquée sans changement au cas qui nous occupe.

Nous en conclurons que les fonctions $\Theta _{k}$ sont périodiques par rapport à $t,$ et développables suivant les puissances croissantes et positives des $\Theta _{i}$ et de ${\sqrt {\mu }}.$

Cela posé, il est facile de démontrer la proposition du n^o 108.

Supposons en effet que $p$ des exposants caractéristiques $\alpha _{1},$ $\alpha _{2},$ $\ldots ,$ $\alpha _{p}$ aient leur partie réelle positive et cherchons à satisfaire aux équations (14 bis) en remplaçant les $\theta _{i}$ par des séries développées suivant les puissances de $w_{1},$ $w_{2},$ $\ldots ,$ $w_{p}.$ Soit donc

$\theta _{i}={\textstyle \sum }[i,\,\beta _{1},\,\beta _{2},\,\ldots ,\,\beta _{p},\,\gamma ]\,e^{\gamma {\sqrt {-1}}}w_{1}^{\beta _{1}}w_{2}^{\beta _{2}}\ldots w_{p}^{\beta _{p}}.$

$\beta _{1},\,\beta _{2},\,\ldots ,\,\beta _{p}$ sont des entiers positifs, $\gamma$ un entier positif ou négatif et les coefficients $[i,\,\beta _{1},\,\beta _{2}\ldots \ldots ,\,\beta _{p},\,\gamma ],$ que j’écrirai aussi pour abréger $[i,\,\beta _{k},\,\gamma ],$ sont des constantes qu’il s’agit de déterminer.

Si nous substituons ces valeurs des $\theta _{i}$ dans les $\Theta _{i},$ il viendra

$\Theta _{i}={\textstyle \sum }(i,\,\beta _{1},\,\beta _{2},\,\ldots ,\,\beta _{p},\,\gamma )\,e^{\gamma {\sqrt {-1}}}w_{1}^{\beta _{1}}w_{2}^{\beta _{2}}\ldots w_{p}^{\beta _{p}},$

les coefficients $(i,$ $\beta _{1},$ $\beta _{2},$ $\ldots ,$ $\beta _{p},$ $\gamma )$ ou $(i,\,\beta _{k},\,\gamma )$ seront des constantes qui dépendront, suivant une certaine loi, des coefficients indéterminés $[i,\,\beta _{k},\,\gamma ].$ Je dis que les $[i,\,\beta _{k},\,\gamma ]$ et, par conséquent, les $(i,\,\beta _{k},\,\gamma )$ sont développables suivant les puissances croissantes de ${\sqrt {\mu }}$ et que le développement ne contient pas de puissance négative.

En effet, les équations (14 bis) nous donnent

$[i,\,\beta _{k},\,\gamma ]=(i,\,\beta _{k},\,\gamma ){\frac {\sqrt {\mu }}{\gamma {\sqrt {-1}}+{\textstyle \sum }\alpha _{k}\beta _{k}-\alpha _{i}}}$

pour $i=1,\,2,\,\ldots ,\,2n-2$ et

${\begin{aligned}[2n,\,\beta _{k},\,\gamma ]&=(2n,\,\beta _{k},\,\gamma ){\frac {\sqrt {\mu }}{\gamma {\sqrt {-1}}+{\textstyle \sum }\alpha _{k}\beta _{k}}}\\{}[2n-1,\,\beta _{k},\,\gamma ]&=\{(2n,\,\beta _{k},\,\gamma )+(2n-1,\,\beta _{k},\,\gamma )\}{\frac {\sqrt {\mu }}{\gamma {\sqrt {-1}}+{\textstyle \sum }\alpha _{k}\beta _{k}}}\cdot \\\end{aligned}}$

Ces formules permettent de calculer par récurrence les coefficients $[i,\,\beta _{k},\,\gamma ].$ Si, en effet, nous convenons de dire que le coefficient $[i,\,\beta _{k},\,\gamma ]$ de même que $(i,\,\beta _{k},\,\gamma )$ est de degré

$\beta _{1}+\beta _{2}+\ldots +\beta _{p},$

il est aisé de voir que la quantité $(i,\,\beta _{k},\,\gamma )$ ne dépend que des coefficients $[i,\,\beta _{k},\,\gamma ]$ de degré moindre, qui peuvent être supposés connus par un calcul préalable.

De même on peut démontrer par récurrence la proposition énoncée. En effet, je dis qu’elle est vraie de $[i,\,\beta _{k},\,\gamma ]$ si elle est vraie des coefficients de degré moindre ; car, s’il en est ainsi, elle sera vraie de $(i,\,\beta _{k},\,\gamma )$ qui dépend seulement de ces coefficients de degré moindre. Il reste donc à démontrer que la fraction

${\frac {\sqrt {\mu }}{\gamma {\sqrt {-1}}+{\textstyle \sum }\alpha _{k}\beta _{k}-\alpha _{i}}}$

est développable suivant les puissances positives de ${\sqrt {\mu }}.$ Or, cela est évident ; car, si $\gamma$ n’est pas nul, le dénominateur n’est pas divisible par ${\sqrt {\mu }}.$ Si $\gamma$ est nul le dénominateur est divisible par ${\sqrt {\mu }},$ mais non par $\mu \,;$ mais il en est de même du numérateur.

La proposition du n^o 108 est donc ainsi démontrée de nouveau.

Transformation des équations.

112.Revenons au cas où il n’y a que 2 degrés de liberté et reprenons les équations (14) du n^o 110.

Soit $\Phi$ une fonction qui, de même que $\Theta _{1},$ $\Theta _{2},$ $\Theta _{3}$ et $\Theta _{4},$ soit développée suivant les puissances de $\theta _{1},$ $\theta _{2},$ $\theta _{3},$ $\theta _{4},$ de $\alpha ,$ $e^{t{\sqrt {-1}}}$ et $e^{-t{\sqrt {-1}}}$ et qui soit telle que chacun de ses coefficients soit réel, positif et plus grand en valeur absolue que le coefficient du terme correspondant dans $\Theta _{1},$ $\Theta _{2},$ $\Theta _{3}$ et $\Theta _{4}\,;$ tous les termes de $\Phi$ seront d’ailleurs, comme ceux des $\Theta _{i},$ du second degré au moins par rapport aux $\theta .$

Observons que le nombre

${\frac {n{\sqrt {-1}}}{2}}+p$

(où $n$ est entier positif, négatif ou nul, et où $p$ est entier positif et au moins égal à 1) est toujours plus grand en valeur absolue que 1, quels que soient d’ailleurs n, p et $\alpha .$ Or les nombres qui joueront le rôle des diviseurs (5) du n^o 105 divisés par $\alpha$ sont précisément de cette forme.

Formons alors les équations

(15)

${\begin{aligned}\theta _{1}&=w+\Phi ,&\theta _{2}&=\Phi ,&\theta _{3}&=\theta _{4}+\Phi ,&\theta _{4}&=\Phi ,\end{aligned}}$

qui sont analogues aux équations (2′′) du n^o 105.

Des équations (14), on peut tirer les $\theta$ sous la forme de séries ordonnées suivant les puissances de $w$ et de $e^{-t{\sqrt {-1}}}$ et qui sont analogues aux séries (4′) du n^o 104. Des équations (15), on peut tirer les $\theta$ sous la forme de séries ordonnées suivant les puissances des mêmes variables et analogues aux séries (4′′) du n^o 105. Chacun des termes de ces dernières séries est positif et plus grand en valeur absolue que le terme correspondant des premières séries^[1] si donc elles convergent, il en est de même des séries tirées des équations (14).

Or il est aisé de voir que l’on peut trouver un nombre $w_{0}$ indépendant de $\alpha ,$ tel que, si $|w|<w_{0},$ les séries tirées de (15) convergent.

Il en résulte que les séries ordonnées suivant les puissances de $w$ et tirées de (14) convergent uniformément quelque petit que soit $\mu ,$ ainsi que je l’ai annoncé plus haut. Ce raisonnement est en tout point semblable à celui du n^o 105 ; la fonction $\alpha \Phi$ joue le rôle de ${\overline {\mathrm {H} _{i}^{2}}}+{\overline {\mathrm {H} _{i}^{3}}}+\ldots$ et $\alpha$ celui de $\varepsilon ,$ car tous les diviseurs (5) sont de la forme $n{\sqrt {-1}}+\alpha p,$ et par conséquent plus grands que $\alpha$ en valeur absolue.

Nous possédons maintenant les $\theta$ sous la forme de séries ordonnées suivant les puissances de $w$ et de $e^{\pm t{\sqrt {-1}}}\,;$ les coefficients sont des fonctions connues de $\alpha .$ Si l’on développe chacun de ces coefficients suivant les puissances de $\alpha ,$ on obtiendra les $\theta$ développés suivant les puissances de $\alpha .$ Les séries ainsi obtenues sont divergentes, comme nous l’avons vu plus haut ; soient néanmoins

(16)

$\theta _{i}=\theta _{i}^{0}+\alpha \theta _{i}^{1}+\alpha ^{2}\theta _{i}^{2}+\ldots +\alpha ^{p}\theta _{i}^{p}+\ldots$

ces séries.

Posons

${\begin{aligned}\mathrm {H} _{1}&=\Theta _{1}+\theta _{1},&\mathrm {H} _{2}&=\Theta _{2}-\theta _{2},&\mathrm {H} _{3}&=\Theta _{3}+\theta _{3},&\mathrm {H} _{4}&=\Theta _{4}.\end{aligned}}$

Posons

(17)

$\theta _{i}=\theta _{i}^{0}+\alpha \theta _{i}^{1}+\alpha ^{2}\theta _{i}^{2}+\ldots +\alpha ^{p}\theta _{i}^{p}+\alpha ^{p}u_{i}$

en égalant $\theta _{i}$ aux $p+1$ premiers termes de la série (16) plus un terme complémentaire $\alpha ^{p}u_{i}.$

Si dans $\mathrm {H} _{i}$ on remplace les $\theta _{i}$ par leurs développements (17), les $\mathrm {H} _{i}$ peuvent se développer suivant les puissances de $\alpha$ et on peut écrire

$\mathrm {H} _{i}=\Theta _{i}^{0}+\alpha ^{2}\Theta _{i}^{2}+\ldots +\alpha ^{p-1}\Theta _{i}^{p-1}+\alpha ^{p}\mathrm {U} _{i},$

les $\theta _{i}^{k}$ étant indépendants de $\alpha$ pendant que $\mathrm {U} _{i}$ est développable suivant les puissances de $\alpha .$

On aura alors les équations

(18)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {d\theta _{i}^{0}}{dt}}&=0,&{\frac {d\theta _{i}^{1}}{dt}}+w\,{\frac {d\theta _{i}^{0}}{dw}}&=\Theta _{i}^{0},\\{\frac {d\theta _{i}^{2}}{dt}}+w\,{\frac {d\theta _{i}^{1}}{dw}}&=\Theta _{i}^{1},\quad \ldots ,&{\frac {d\theta _{i}^{p}}{dt}}+w\,{\frac {d\theta _{i}^{p-1}}{dw}}&=\Theta _{i}^{p-1}\end{aligned}}\right.$

et ensuite

(19)

${\frac {du_{i}}{dt}}+\alpha w\,{\frac {du_{i}}{dw}}+\alpha w\,{\frac {d\theta _{i}^{p}}{dw}}=\alpha \mathrm {U} _{i}.$

Voici quelle est la forme de la fonction $\mathrm {U} _{i}\,;$ les quantités $\theta _{i}^{k}$ peuvent être regardées comme des fonctions connues de $t$ et de $w,$ définies par les équations (18) et par l’équation (20) que j’écrirai plus loin, pendant que les $u_{i}$ restent les fonctions inconnues. Alors $\mathrm {U} _{i}$ est une fonction développée suivant les puissances de $w,$ de $e^{\pm t{\sqrt {-1}}},$ de $\alpha$ et des $u_{i}.$ De plus, tout terme du $q$^ième degré par rapport aux $u_{i}$ est au moins du degré $p(q-1)$ par rapport à $\alpha .$ En effet, les $\mathrm {H} _{i}$ et par conséquent les $\alpha ^{p}\mathrm {U} _{i}$ sont développables suivant les puissances des $\theta _{i}$ et, par conséquent, des $\alpha ^{k}\theta _{i}^{k}$ et des $\alpha ^{p}u_{i}$ Tout terme du $q$^ième degré par rapport aux $u_{i}$ sera donc divisible par $\alpha ^{pq}$ dans $\alpha ^{p}\mathrm {U} _{i}$ et par $\alpha ^{p(q-1)}$ dans $\mathrm {U} _{i}.$

Soit $\mathrm {U} _{i}^{0}$ ce que devient $\mathrm {U} _{i}$ quand on annule $\alpha$ et les $u_{i}\,;$ on aura

(20)

$w\,{\frac {d\left[\theta _{i}^{p}\right]}{dw}}=\left[\mathrm {U} _{i}^{0}\right].$

Je puis ensuite, en posant

$\mathrm {U} _{i}'=\mathrm {U} _{i}-w\,{\frac {d\theta _{i}^{p}}{dw}}$

puis

${\begin{aligned}\mathrm {V} _{1}&=\mathrm {U} _{1}'-u_{1},&\mathrm {V} _{2}&=\mathrm {U} _{2}'+u_{2},&\mathrm {V} _{3}&=\mathrm {U} _{3}'-u_{4},&\mathrm {V} _{4}&=\mathrm {U} _{4}',\end{aligned}}$

mettre les équations (19) sous Ja forme

(21)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {du_{1}}{dt}}+\alpha w\,{\frac {du_{1}}{dw}}-\alpha u_{1}&=\alpha \mathrm {V} _{1},&{\frac {du_{2}}{dt}}+\alpha w\,{\frac {du_{2}}{dw}}+\alpha u_{2}&=\alpha \mathrm {V} _{2},\\[1.5ex]{\frac {du_{3}}{dt}}+\alpha w\,{\frac {du_{3}}{dw}}-\alpha u_{4}&=\alpha \mathrm {V} _{3},&{\frac {du_{4}}{dt}}+\alpha w\,{\frac {du_{4}}{dw}}&=\alpha \mathrm {V} _{4}.\\\end{aligned}}\right.$

On voit alors que les $\mathrm {V} _{i}$ ne contiennent que des termes du deuxième degré au moins par rapport à $w$ et aux $u_{i}.$

En effet, les $\theta _{i}$ sont divisibles par $w$ et se réduisent à $w$ ou à 0 quand on y supprime les termes de degré supérieur au premier en $w.$ Il en résulte d’abord que $\theta _{i}^{p}$ est divisible par $w^{2}.$ D’autre part, le second membre de l’équation (17) ne contiendra que des termes du premier degré au moins par rapport à $w$ et $u_{i}.$ Donc $\Theta _{i}$ ne contient que des termes du deuxième degré par rapport à $w$ et aux $u_{i}.$ Il en résulte que les seuls termes du premier degré qui peuvent subsister dans $\mathrm {U} _{1},$ $\mathrm {U} _{2},$ $\mathrm {U} _{3}$ et $\mathrm {U} _{4}$ se réduisent respectivement à $u_{1},$ $-u_{2},$ $u_{3}$ et 0.

D’ailleurs $w\,{\frac {d\theta _{i}^{p}}{dw}}$ est divisible par $w^{2}\,;$ donc les $\mathrm {V} _{i}$ ne contiennent que des termes du deuxième degré au moins.

C.Q.F.D.

Des équations (21) on peut tirer les $u_{i}$ sous la forme de séries développées suivant les puissances de $w$ et de $e^{\pm t{\sqrt {-1}}}.$ En appliquant à ces équations le même raisonnement qu’aux équations (14), je vais démontrer que ces séries convergent quand $|w|<w_{0}$ et que la convergence reste uniforme quelque petit que soit $\alpha .$

Il en sera de même pour les séries qui représentent ${\frac {du_{i}}{dw}},$ ${\frac {d^{2}u_{i}}{dw^{2}}},\,\ldots .$

Il résultera de là qu’on peut assigner une limite supérieure indépendante de $\alpha ,$ à $u_{i},$ à ${\frac {du_{i}}{dw}},$ ${\frac {d^{2}u_{i}}{dw^{2}}},$ $\ldots ,$ pourvu que $|w|<w_{0}.$

Je montrerai ensuite plus loin, aux n^os 116 et 117, que cela a encore lieu pour toutes les valeurs positives de $w.$

Soit en effet $\Phi$ une fonction développée suivant les puissances de $\alpha ,$ des $u_{i},$ de $w$ et de $e^{\pm t{\sqrt {-1}}}$ et telle que l’on ait (pour $i=1,\,2,\,3,\,4$)

$\mathrm {V} _{i}<\Phi \left(\mathrm {arg.} u_{1},\,u_{2},\,u_{3},\,u_{4},\,\alpha ,\,w,\,e^{\pm t{\sqrt {-1}}}\right).$

Soit $\Phi '$ ce que devient $\Phi$ quand on y remplace $u_{1},\,u_{2},\,u_{3},\,u_{4}$ par $u_{1}',\,u_{2}',\,u_{3}',\,u_{4}'.$

Envisageons les équations suivantes

(21 bis)

$\;{\begin{aligned}u_{1}'&=w+\Phi ',&u_{2}'&=\Phi ',&u_{3}'&=u_{4}'+\Phi ',&u_{4}'&=\Phi ',\end{aligned}}$

analogues aux équations (15). Il est clair que ces équations admettront une solution telle que $u_{1}',\,u_{2}',\,u_{3}',\,u_{4}'$ soient développables suivant les puissances de $w,$ de $\alpha$ et de $e^{\pm t{\sqrt {-1}}}$ et s’annulent avec $w.$

Ces séries $u_{1}',\,u_{2}',\,u_{3}',\,u_{4}'$ seront convergentes pourvu que $|w|$ ne dépasse pas une certaine limite que j’appellerai $w_{0}.$ Comparons maintenant les équations (21) et les fonctions $u_{1},$ $u_{2},$ $u_{3},$ $u_{4}$ qui y satisfont, avec les équations (21 bis) et les fonctions $u_{1}',$ $u_{2}',$ $u_{3}',$ $u_{4}'$ qui y satisfont.

Je me propose d’établir que t

$u_{i}\ll u_{i}'\left(\mathrm {arg.} \;w,\,e^{\pm t{\sqrt {-1}}}\right).$

(Je fais remarquer que $\alpha$ ne figure pas parmi les arguments par rapport auxquels est prise cette inégalité.)

En effet, soit $u_{i}^{n}$ et $u_{i}'^{n}$ l’ensemble des termes de $u_{i}$ et de $u_{i}'$ qui sont de degré $n,$ au plus en $w\,;$ supposons que l’on ait établi que

$u_{i}^{n}\ll u_{i}'^{n}.$

Je vais faire voir que

$u_{i}^{n+1}\ll u_{i}'^{n+1}.$

J’aurai alors établi par récurrence l’inégalité à démontrer.

Si l’on substitue dans $\mathrm {V} _{i}$ et dans $\Phi '$ à la place des $u_{i}$ et des $u_{i}'$ les développements de ces quantités suivant les puissances de $w$ et de $e^{\pm t{\sqrt {-1}}},$ ces fonctions $\mathrm {V} _{i}$ et $\Phi '$ deviendront elles-mêmes développables suivant les puissances de $w$ et de $e^{\pm t{\sqrt {-1}}}.$

Désignons encore par $\mathrm {V} _{i}^{n}$ et $\Phi '^{n}$ l’ensemble des termes de degré $n$ au plus en $w.$

Si alors $u_{i}^{n}\ll u_{i}'^{n},$ on aura aussi

$\mathrm {V} _{i}^{n+1}\ll \Phi '^{n+1}$

Soit alors

$\mathrm {A} \,w^{n+1}\,e^{pt{\sqrt {-1}}}$

un terme de $\Phi '^{n+1}$ et

$\mathrm {A} _{i}\,w^{n+1}\,e^{pt{\sqrt {-1}}}$

le terme correspondant de $\mathrm {V} _{i}^{n+1},$ on aura

$|\mathrm {A} _{i}|<\mathrm {A} .$

Soient alors

$\mathrm {B} _{i}\,w^{n+1}\,e^{pt{\sqrt {-1}}}\quad \mathrm {et} \quad \mathrm {B} _{i}'\,w^{n+1}\,e^{pt{\sqrt {-1}}}$

les termes correspondants de $u_{i}$ et de $u_{i}'.$

Les équations (21) et (21 bis) nous donnent alors

${\begin{aligned}\mathrm {B} _{1}={\frac {\mathrm {A} _{1}}{{\dfrac {p\,{\sqrt {-1}}}{\alpha }}+n}},\qquad \mathrm {B} _{2}&={\frac {\mathrm {A} _{2}}{{\dfrac {p\,{\sqrt {-1}}}{\alpha }}+n+2}},\qquad \mathrm {B} _{4}={\frac {\mathrm {A} _{4}}{{\dfrac {p\,{\sqrt {-1}}}{\alpha }}+n+1}},\\[1ex]\mathrm {B} _{3}&={\frac {\mathrm {B} _{4}+\mathrm {A} _{3}}{{\dfrac {p\,{\sqrt {-1}}}{\alpha }}+n+1}}\cdot \\[1ex]\mathrm {B} _{1}'=\mathrm {B} _{2}'&=\mathrm {B} _{4}'=\mathrm {A} ,\qquad \mathrm {B} _{1}'=\mathrm {B} _{4}'+\mathrm {A} .\\\end{aligned}}$

Comme

$\left|{\frac {p\,{\sqrt {-1}}}{\alpha }}+n\right|>1,$

on a

$|\mathrm {B} _{i}|<\mathrm {B} _{i}',$

d’où

$u_{i}^{n+1}\ll u_{i}'^{n+1},$

et par récurrence

$u_{i}\ll u_{i}'$

C.Q.F.D.

Comme cette inégalité est prise par rapport aux arguments $w$ et $e^{t{\sqrt {-1}}},$ elle peut être différentiée tant par rapport à $w$ que par rapport à $t,$ de sorte que l’on a

${\begin{aligned}{\frac {du_{i}}{dt}}&\ll {\frac {du_{i}'}{dt}},&{\frac {du_{i}}{dw}}&\ll {\frac {du_{i}'}{dw}},&{\frac {d^{2}u_{i}}{dw^{2}}}&\ll {\frac {d^{2}u_{i}'}{dw^{2}}},&&\ldots .\end{aligned}}$

Soit $u_{i}'^{0}$ la valeur de $u_{i}'$ pour $t=0\,;$ si $u_{i}\ll u_{i}',$ on aura pour les valeurs positives de $w$

$|u_{i}|<u_{i}'^{0}.$

Mais $u_{i}'^{0}$ est développable suivant les puissances de $\alpha \,:$ on peut donc lui assigner une limite supérieure indépendante de $\alpha$ pour les petites valeurs de $\alpha$ puisqu’il tend vers une limite finie quand $\alpha$ tend vers o.

Il en est de même, en vertu des inégalités que nous venons d’établir de $|u_{i}|.$

On démontrerait de même qu’il en est encore ainsi des dérivées

$\left|{\frac {du_{i}}{dt}}\right|,\quad \left|{\frac {du_{i}}{dw}}\right|,\quad \left|{\frac {d^{2}u_{i}}{dw^{2}}}\right|.$
C.Q.F.D.

Réduction à la forme canonique.

113.Observons que les équations (14) et de même les équations (21) peuvent se mettre sous la forme canonique.

En effet, si nous posons, comme au début du n^o 110,

${\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t)+\xi _{i},&y_{i}&=\psi _{i}(t)+\eta _{i},\end{aligned}}$

{{SA|les équations canoniques du mouvement être divisibles par $\alpha \,;$ mais elles peuvent être d’ailleurs quelconques, puisque $\mathrm {S} _{i},$ $\mathrm {T} _{i},$ $\mathrm {S} _{i}',$ $\mathrm {T} _{i}',$ $\ldots$ ne sont déterminés qu’à un

facteur constant près. Nous pourrons donc poser

$(\mathrm {U} ,\mathrm {U} ')=(\mathrm {U} '',\mathrm {U} ''')=\alpha .$

Si l’on observe que, d’autre part,

${\begin{aligned}d\xi _{i}&=\theta _{1}\,d\mathrm {S} _{i}+\theta _{2}\,d\mathrm {S} _{i}'+\theta _{3}\,d\mathrm {S} _{i}''+\theta _{4}\,d\mathrm {S} _{i}'''+\mathrm {S} _{i}\,d\theta _{1}+\mathrm {S} _{i}'\,d\theta _{2}+\mathrm {S} _{i}''\,d\theta _{3}+\mathrm {S} _{i}'''\,d\theta _{4}\\d\xi _{i}&=\mathrm {S} _{i}\,\delta \theta _{1}+\mathrm {S} _{i}'\,\delta \theta _{2}+\mathrm {S} _{i}''\,\delta \theta _{3}+\mathrm {S} _{i}'''\,\delta \theta _{4},\qquad \ldots .\\\end{aligned}}$

On conclura que

$\alpha (d\theta _{1}\,\delta \theta _{2}-d\theta _{2}\,\delta \theta _{1}+d\theta _{3}\,\delta \theta _{4}-d\theta _{4}\,\delta \theta _{3})=(\delta \mathrm {F} ^{\star }+\delta \Omega )\,dt,$

$\delta \Omega$ désignant une expression homogène et linéaire tant par rapport aux $\theta _{i}$ que par rapport aux $\delta \theta _{i}\,;$ les coefficients de cette fonction bilinéaire sont d’ailleurs des fonctions périodiques de $t.$

Je dis que $\delta \Omega$ est une différentielle exacte et, en effet, les équations (14) nous donnent

$\alpha (d\theta _{1}\,\delta \theta _{2}-d\theta _{2}\,\delta \theta _{1}+d\theta _{3}\,\delta \theta _{4}-d\theta _{4}\,\delta \theta _{3})=\alpha ^{2}(\delta \mathrm {G} +\delta \mathrm {G} ')\,dt$

où $\delta \mathrm {G}$ est la différentielle exacte d’une fonction

$\mathrm {G} =\theta _{1}\theta _{2}+{\frac {\theta _{4}^{2}}{2}}$

et où

$\delta \mathrm {G} '=\Theta _{1}\,\delta \theta _{2}-\Theta _{2}\,\delta \theta _{1}+\Theta _{3}\,\delta \theta _{4}-\Theta _{4}\,\delta \theta _{3}.$

Je dis que $\delta \mathrm {F} ^{\star }+\delta \Omega =\alpha ^{2}(\delta \mathrm {G} +\delta \mathrm {G} ')$ est une différentielle exacte ; il suffit, pour s’en convaincre, d’observer que, dans cette expression, les termes du premier degré par rapport aux $\theta _{i}$ se réduisant à $\delta \mathrm {G}$ sont une différentielle exacte et qu’il doit en être de même de ceux dont le degré est supérieur à 1, puisque $\delta \mathrm {F} ^{\star }$ est une différentielle exacte et que $\delta \Omega$ ne contient que des termes du premier degré.

Nous pouvons donc poser

$\delta \mathrm {F} ^{\star }+\delta \Omega =\alpha ^{2}\delta \Phi ,$

où

$\Phi =\mathrm {G} +{\frac {\mathrm {F} ''}{\alpha ^{2}}},$

$\mathrm {F} ''$ désignant l’ensemble des termes de $\mathrm {F}$ qui sont de degré supérieur au deuxième par rapport aux $\xi _{i}$ et aux $\eta _{i}.$

Nous pouvons donc écrire

${\begin{aligned}{\frac {d\theta _{1}}{dt}}&=\alpha {\frac {d\Phi }{d\theta _{2}}},&{\frac {d\theta _{2}}{dt}}&=-\alpha {\frac {d\Phi }{d\theta _{1}}}\cdot \end{aligned}}$

Si nous nous rappelons que les $\theta$ dépendent de $t,$ non pas seulement directement, mais encore par l’intermédiaire de $w,$ nous écrirons ces équations sous la forme

(14 bis)

$\;{\begin{aligned}{\frac {d\theta _{1}}{dt}}+\alpha w{\frac {d\theta _{1}}{dw}}&=\alpha {\frac {d\Phi }{d\theta _{2}}},&{\frac {d\theta _{2}}{dt}}+\alpha w{\frac {d\theta _{2}}{dw}}&=-\alpha {\frac {d\Phi }{d\theta _{1}}},\end{aligned}}$

auxquelles il faudrait adjoindre deux équations analogues que l’on déduirait des premières en changeant $\theta _{1}$ et $\theta _{2}$ en $\theta _{3}$ et $\theta _{4}.$

Ce sont là les équations (14) mises sous la forme canonique.

Il s’agit d’en faire autant pour les équations (21).

Si, dans $\Phi ,$ on remplace les $\theta _{i}$ par leurs valeurs (17), cette fonction devient développable suivant les puissances croissantes de $\alpha$ et des $u_{i}\,;$ si ensuite nous désignons par $\alpha ^{2p}\Phi '$ l’ensemble des termes du degré $2p$ au moins par rapport à $\alpha ,$ nos équations deviennent

(21 bis)

$\;{\begin{aligned}{\frac {du_{1}}{dt}}+\alpha w{\frac {du_{1}}{dw}}&=\alpha {\frac {d\Phi '}{du_{2}}},&{\frac {du_{2}}{dt}}+\alpha w{\frac {du_{2}}{dw}}&=-\alpha {\frac {d\Phi '}{du_{1}}}\end{aligned}}$

avec deux autres équations analogues.

Ce sont là les équations (21) ramenées à la forme canonique.

Forme des fonctions $\mathrm {V} _{i}.$

114.Considérons la fonction

$\mathrm {F} (x_{1},\,x_{2},\,y_{1},\,y_{2})$

et remplaçons-y $x_{i}$ par

(22)

$x_{i}^{0}+\alpha x_{i}^{1}+\alpha ^{2}x_{i}^{2}+\ldots +\alpha ^{p+1}x_{i}^{p+1}+\alpha ^{p+1}v_{i},$

et $y_{i}$ par

(22 bis)

$n_{i}t+y_{i}^{0}+\alpha y_{i}^{1}+\alpha ^{2}y_{i}^{2}+\ldots +\alpha ^{p}y_{i}^{p}+\alpha ^{p}v_{i}'.$

Les lettres

(23)

$\left\{{\begin{array}{rrrrl}x_{i}^{0},&x_{i}^{1},&x_{i}^{2},&\ldots ,&x_{i}^{p+1},\\n_{i},&y_{i}^{0},&y_{i}^{1},&\ldots ,&y_{i}^{p}\end{array}}\right.$

ont la même signification que dans le n^o 108. La seule différence est que nous n’avons ici que 2 degrés de liberté et que le paramètre par rapport auquel nous développons et qui joue le rôle de $\mu$ est ici égal à $\alpha ^{2}\,;$ les quantités (23) sont donc des fonctions connues de $v$ et de $w.$ Quant à $\alpha ^{p+1}v_{i}$ et $\alpha ^{p}v_{i}',$ ce sont des termes complémentaires quelconques. Je me propose de rechercher à quelle condition $\mathrm {F}$ est développable suivant les puissances de $\alpha ,$ des $v_{i}$ et des $v_{i}'.$

Posons pour abréger

${\begin{alignedat}{9}\alpha x_{i}^{1}&{}+{}&\alpha ^{2}x_{i}^{2}&{}+{}&\ldots &{}+\alpha ^{p+1}x_{i}^{p+1}&&{}+{}\alpha ^{p+1}&v_{i}&=x_{i}',\\\alpha y_{i}^{1}&{}+{}&\alpha ^{2}y_{i}^{2}&{}+{}&\ldots &{}+\alpha ^{p}y_{i}^{p}&&{}+{}\alpha ^{p}&v_{i}'&=y_{i}'.\end{alignedat}}$

La condition nécessaire et suffisante pour que

$\mathrm {F} (x_{i}^{0}+x_{i}',\,n_{i}t+y_{i}^{0}+y_{i}')$

soit développable suivant les puissances croissantes des $x_{i}'$ et des $y_{i}'$ et, par conséquent, suivant celles de $\alpha ,$ des $v_{i}$ et des $v_{i}',$ sera évidemment que le point

${\begin{aligned}x_{i}&=x_{i}^{0},&y_{i}&=n_{i}t+y_{i}^{0}\end{aligned}}$

ne soit pas un point singulier pour $\mathrm {F} .$

Or $x_{i}^{0}$ et $n_{i}$ sont des constantes ; les $y_{i}^{0}$ sont des fonctions de $w$ définies par les équations (8) du n^o 108. Mais il arrivera, dans la plupart des applications, que, si l’on donne à $x_{i}^{0}$ et à $n_{i}$ les valeurs constantes qui correspondent à une solution périodique, $\mathrm {F}$ restera holomorphe quelles que soient les valeurs réelles attribuées aux $y_{i}^{0}.$

Prenons, par exemple, le problème du n^o 9 et supposons que $x_{1}=\mathrm {L} ,$ $x_{2}=\mathrm {G}$ définissent la forme de l’ellipse décrite par la masse infiniment petite, pendant que $y_{1}=l,$ $y_{2}=g-t$ définissent la position du périhélie de cette ellipse et celle de la masse sur son orbite.

Pour que $\mathrm {F}$ cessât d’être holomorphe, il faudrait que cette masse infiniment petite rencontrât une des deux autres masses ; or, si l’ellipse ne coupe pas la circonférence décrite par la seconde masse, comme il arrivera dans presque toutes les applications, cette rencontre ne pourra jamais se produire quelles que soient les valeurs réelles attribuées à $l$ et à $g-t.$

Il en sera encore de même si nous prenons un plus grand nombre de degrés de liberté et si nous étudions le Problème des trois Corps dans toute sa généralité.

Alors les variables $x_{i}$ définissent la forme des ellipses et l’inclinaison mutuelle de leurs plans, les variables $y_{i}$ définissent la position des nœuds, des périhélies et des masses elles-mêmes. Il arrivera alors, dans la plupart des cas, que, si l’on donne aux variables $x_{i}$ les valeurs $x_{i}^{0}$ qui correspondent à une solution périodique et à l’hypothèse limite $\mu =0,$ ces deux ellipses ne pourront se couper de quelque manière qu’on les tourne dans leur plan. La fonction $\mathrm {F}$ ne pourra donc cesser d’être holomorphe quelles que soient les valeurs réelles attribuées aux $y_{i}.$

Nous sommes ainsi conduit à supposer que, pour $x_{i}=x_{i}^{0},$ $\mathrm {F}$ est holomorphe pour toutes les valeurs réelles des $y_{i}.$ Les cas où cela n’aurait pas lieu n’ont pas d’importance au point de vue des applications. C’est d’ailleurs l’hypothèse que nous avons toujours faite jusqu’ici.

Si alors on remplace dans $\mathrm {F}$ les $x_{i}$ et les $y_{i}$ par les expressions (22), $\mathrm {F}$ peut se développer suivant les puissances de $\alpha ,$ de $v_{i}$ et de $v_{i}',$ et ce développement, dont les coefficients sont des fonctions de $t$ et de $w,$ reste convergent pour toutes les valeurs de $t$ et de $w.$ Les rayons de convergence tant par rapport à $\alpha$ qu’aux $v_{i}$ et aux $v_{i}'$ sont des fonctions continues de $t$ et de $w$ qui ne s’annulent pour aucune valeur réelle de ces variables.

Si l’on observe que les $x_{i},$ les $\theta _{i},$ les $u_{i},$ les $\xi _{i},$ les $v_{i},$ $\ldots$ sont liés entre eux par les relations

${\begin{aligned}x_{i}&=\varphi _{i}(t)+\alpha \zeta _{i},&y_{i}&=\psi _{i}(t)+\eta _{i}\end{aligned}}$

et par les relations (13 bis), (17) et (22), on conclura que $\mathrm {F}$ et, par conséquent, $\Phi '$ sont développables suivant les puissances de $\alpha$ et des $u_{i},$ que les coefficients du développement et les rayons de convergence sont des fonctions continues de $t$ et de $w$ et que ces rayons de convergence ne s’annulent pour aucune valeur réelle de $t$ et de $w.$

De ce fait, et de ce que nous savons déjà au sujet des fonctions $\mathrm {V} _{i}'$ (qui ne sont autre chose que les dérivées de $\Phi '$), nous pouvons conclure ce qui suit :

On peut trouver deux nombres réels et positifs $\mathrm {M}$ et $\beta ,$ indépendants de $t$ et de $w$ assez grands pour que l’on ait (en posant, pour abréger, $s=u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}$)

$\mathrm {V} _{i}\ll \mathrm {M} w^{2}+\mathrm {M} ws+{\frac {\mathrm {M} \alpha ^{p}s^{2}}{1-\beta \alpha -\beta \alpha ^{p}s}}\qquad (\mathrm {arg} \,\alpha ,\,u_{1},\,u_{2},\,u_{3},\,u_{4}),$

pour toutes les valeurs réelles de $t$ et pour toutes les valeurs de $w$ comprises entre 0 et une limite supérieure quelconque $\mathrm {W} .$ Cela aura lieu quelque grand que soit $\mathrm {W} \,;$ mais les nombres $\mathrm {M}$ et $\beta$ devront être choisis d’autant plus grands que $\mathrm {W}$ sera lui-même plus grand.

Lemme fondamental.

115.Établissons maintenant le lemme suivant :

Soient $\varphi (x,\,t,\,w),\;\varphi '(x,\,t,\,w)$ deux fonctions de $x,$ $t$ et $w$ qui soient développables suivant les puissances de $x$ et telles que l’on ait pour toutes les valeurs de $t$ et de $w$ que l’on a à considérer

$\varphi \ll \varphi '\quad (\mathrm {arg} \,x)$

Considérons les deux équations suivantes

(1)

${\frac {dx}{dt}}+\alpha \,w\,{\frac {dx}{dw}}=\varphi (x,\,t,\,w)$

et

(1 bis)

${\frac {dx'}{dt}}+\alpha \,w\,{\frac {dx'}{dw}}=\varphi '(x',\,t,\,w).$

Considérons une solution particulière de chacune de ces deux équations, choisie de telle sorte que, pour $w=w_{0}$ ($w_{0}$ étant une valeur positive quelconque de $w$), on ait

$|x|<x'.$

Je dis que, pour toutes les valeurs de $w$ plus grandes que $w_{0},$ on aura encore

(2)

$|x|<x'.$

Changeons de variables en posant

$t={\frac {1}{\alpha }}\log w+\tau .$

On aura alors, en représentant par des $\partial \,$ ronds les dérivées partielles prises par rapport aux variables $\tau$ et $w$

${\frac {\partial x}{\partial w}}={\frac {dx}{dw}}+{\frac {1}{\alpha \,w}}\,{\frac {dx}{dt}}\cdot$

Nos équations deviendront donc

${\begin{aligned}\alpha \,w{\frac {\partial x}{\partial w}}&=\varphi ,&\alpha \,w{\frac {\partial x'}{\partial w}}&=\varphi ',\end{aligned}}$

si pour un certain système de valeurs des variables

${\begin{aligned}w&=w_{1},&\tau &=\tau _{1}\end{aligned}}$

l’inégalité (2) est satisfaite ; on aura également

${\begin{aligned}|\varphi |&<\varphi ',\\[1ex]\left|{\frac {\partial x}{\partial w}}\right|&<{\frac {\partial x'}{\partial w}},\\\end{aligned}}$

de sorte que l’inégalité (2) sera encore satisfaite pour

$w=w_{1}+dw,\qquad \tau =\tau _{1},$

puisque l’on aura

$|x|<x'\left|{\frac {\partial x}{\partial w}}dw\right|<{\frac {\partial x'}{\partial w}}dw$

et, par conséquent,

$\left|x+{\frac {\partial x}{\partial w}}dw\right|<|x|+\left|{\frac {\partial x}{\partial w}}dw\right|<x'+{\frac {\partial x'}{\partial w}}dw.$

Il suffit donc qu’elle le soit encore quand on a

${\begin{aligned}w&=w_{0},&\tau &=\tau _{1}\end{aligned}}$

pour qu’elle le soit quand on a

${\begin{aligned}w&>w_{0},&\tau &=\tau _{1}.\end{aligned}}$

Mais nous avons supposé qu’elles le sont, quel que soit $t$ et, par conséquent $\tau ,$ pour $w=w_{0}\,;$ elles le seront donc encore, quel que soit $\tau$ et, par conséquent $t,$ pour $w>w_{0}.$

C.Q. F. D.

On démontrerait absolument de la même manière un lemme un peu plus général :

Soient $\varphi _{1},\,\varphi _{2},\,\ldots ,\,\varphi _{n},\,$ $\varphi _{1}',\,\varphi _{2}',\,\ldots ,$ $\varphi _{n}'$ des fonctions de $x_{1},$ $x_{2},$ $\ldots ,$ $x_{n},$ $t$ et $w,$ développables suivant les puissances des $x$ et telles que l’on ait pour toutes les valeurs considérées de $t$ et de $w$

$\varphi _{1}\ll \varphi _{1}',\quad \varphi _{2}\ll \varphi _{2}',\quad \ldots ,\quad \varphi _{n}\ll \varphi _{n}',\qquad (\mathrm {arg} \,x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n}).$

Envisageons les équations

(3)

${\frac {dx_{i}}{dt}}+\alpha \,w\,{\frac {dx_{i}}{dw}}=\varphi _{i}(x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n},\,t,\,w)$

et

(3 bis)

${\begin{aligned}{\frac {dx_{i}'}{dt}}+\alpha \,w\,{\frac {dx_{i}'}{dw}}&=\varphi _{i}'(x_{1}',x_{2}',\ldots ,x_{n}',\,t,w)&(i=1,\,2,\,\ldots ,\,n).\end{aligned}}$

Supposons que l’on ait, quel que soit $t$ pour $w=w_{0},$

$|x_{i}|<x_{i}'$

cela aura lieu quel que soit $t$ pour $w>w_{0}.$

Faisons maintenant des hypothèses plus particulières au sujet des fonctions $\varphi _{i}$ et $\varphi _{i}'.$

Supposons :

1^o Que ces fonctions sont périodiques par rapport à $t$ et de période $2\pi \,;$

2^o Que pour les petites valeurs de $w,$ elles sont développables suivant les puissances croissantes de $w\,;$ cela peut d’ailleurs ne pas avoir lieu pour toutes les valeurs considérées de $w\,:$ il suffit qu’il en soit ainsi pour les petites valeurs de cette variable ;

3^o Que ces fonctions sont développables suivant les puissances entières du paramètre $\alpha$ et sont divisibles par $\alpha \,;$ on doit d’ailleurs avoir

$\varphi _{i}\ll \varphi _{i}'\qquad (\mathrm {arg} \,x_{1},\,x_{2},\,\ldots ,\,x_{n},\,\alpha )\,;$

4^o Que si l’on appelle $\varphi _{i}^{0}$ et $\varphi _{i}'^{0}$ ce que deviennent $\varphi _{i}$ et $\varphi _{i}'$ quand on y annule tous les $x,$ ces quantités $\varphi _{i}^{0}$ et $\varphi _{i}'^{0}$ sont divisibles par $w^{2}.$

Si toutes ces hypothèses sont réalisées, les théories des numéros précédents nous font savoir qu’il existe des solutions particulières des équations (3) et (3 bis) de la forme suivante

(4)

$\left\{{\begin{aligned}x_{i}&=\mathrm {A} _{i,2}w^{2}+\mathrm {A} _{i,3}w^{3}+\ldots ,\\x_{i}'&=\mathrm {A} _{i,2}'w^{2}+\mathrm {A} _{i,3}'w^{3}+\ldots ,\end{aligned}}\right.$

les $\mathrm {A} _{i,n}$ et les $\mathrm {A} _{i,n}'$ étant des fonctions de $t$ et de $\alpha ,$ périodiques par rapport à $t$ et développables suivant les puissances croissantes de $\alpha .$

Les équations (3) [ou (3 bis) qui sont de même forme] peuvent en effet se ramener à la forme des équations (2) du n^o 104.

Reprenons, en effet, ces équations (2) du n^o 104, elles s’écrivent

${\frac {\partial \xi _{i}}{\partial t}}=\Xi _{i}\,;$

les $\Xi _{i}$ étant développables suivant les puissances des $\xi _{i}$ et d’un paramètre très petit, sont de plus des fonctions de $t\,:$ elles s’annulent avec les $\xi _{i}.$

Les $\xi _{i}$ dépendent de $t$ non seulement directement, mais par l’intermédiaire des exponentielles

$\mathrm {A} _{1}e^{\alpha _{1}t},\quad \mathrm {A} _{2}e^{\alpha _{2}t},\quad \ldots ,\quad \mathrm {A} _{n}e^{\alpha _{n}t}.$

Ici nous supposons que tous les coefficients $\mathrm {A} _{1},\,\mathrm {A} _{2},\,\ldots ,$ $\mathrm {A} _{n}$ sont nuls à l’exception de l’un d’entre eux ; nous n’aurons donc à nous occuper que d’une seule exponentielle $w=\mathrm {A} e^{\alpha t}.$ Les $\xi _{i}$ dépendront alors de $t$ d’abord directement, puis par l’intermédiaire de $w.$ Si donc nous représentons les dérivées partielles par des $d$ et les dérivées totales par des $\partial ,$ il viendra

${\frac {\partial \xi _{i}}{\partial t}}={\frac {d\xi _{i}}{dt}}+\alpha \,w\,{\frac {d\xi _{i}}{dw}},$

et nos équations deviendront

(5)

${\frac {d\xi _{i}}{dt}}+\alpha \,w\,{\frac {d\xi _{i}}{dw}}=\Xi _{i}.$

La seule différence de forme entre les équations (3) et les équations (5), c’est alors que les seconds membres des équations (3) dépendent de $w$ et ne s’annulent pas pour

$x_{1}=x_{2}=\ldots =x_{n}=0.$

Mais il est aisé de faire disparaître cette différence de forme. Il suffit pour cela d’adjoindre aux équations (3) l’équation suivante

${\frac {dx_{n+1}}{dt}}+\alpha \,w\,{\frac {dx_{n+1}}{dw}}=\alpha \,x_{n+1},$

qui admet pour solution $x_{n+1}=w,$ et de remplacer $w$ par $x_{n+1}$ dans les fonctions $\varphi _{i}.$ Alors ces fonctions $\varphi _{i}$ ne contiennent plus $w$ et s’annulent pour

$x_{1}=x_{2}=\ldots =x_{n+1}=0.$

Nous pouvons donc appliquer aux équations (3) et (3 bis) les résultats du n^o 104 et conclure que ces équations admettent des solutions de la forme (4).

Le calcul des coefficients $\mathrm {A} _{i,2},\,\mathrm {A} _{i,2},\,\ldots$ se fait très facilement par récurrence en appliquant les procédés du n^o 104.

Supposons donc que l’on trouve ainsi

$|\mathrm {A} _{i,2}|<\mathrm {A} _{i,2}'$

et cela quel que soit $t.$

Nous en conclurons que

$\lim \left|{\frac {x_{i}}{w^{2}}}\right|<\lim {\frac {x_{i}'}{w^{2}}}\qquad (\mathrm {pour} \;w=0)$

et, par conséquent, qu’on peut trouver une valeur $w_{0}$ de $w$ assez petite pour que l’on ait

$|x_{i}|<x_{i}'$

pour toutes les valeurs réelles de $t$ et pour toutes les valeurs de $w$ plus petites que $w_{0}$ et plus grandes que 0.

On aura alors, en vertu du lemme démontré plus haut,

$|x_{i}|<x_{i}'$

pour toutes les valeurs réelles de $t$ et pour toutes les valeurs positives de $w.$

Analogie des séries du n^o 108 avec celle de Stirling.

116.Appliquons le lemme précédent aux équations (21) que nous écrirons

(21)

${\frac {du_{i}}{dt}}+\alpha \,w\,{\frac {du_{i}}{dw}}=\alpha \,\mathrm {U} _{i}'.$

D’après ce que nous avons vu à la fin du n^o 114, nous pouvons trouver deux nombres positifs $\mathrm {M}$ et $\beta$ tels que, pour toutes les valeurs réelles de $t$ et pour toutes les valeurs de $w$ comprises entre 0 et $\mathrm {W}$ (et cela restera vrai quelque grand que soit $\mathrm {W}$), on ait

${\begin{aligned}\mathrm {U} _{i}'\ll u_{k}+\mathrm {M} \,w^{2}+\mathrm {M} \,w\,s&+{\frac {\mathrm {M} \alpha ^{p}s^{2}}{1-\beta \alpha -\beta \alpha ^{p}s}}\qquad (\mathrm {arg} \;\alpha ,\,u_{1},\,u_{2},\,u_{3},\,u_{4}),\\[1ex]s&=u_{1}+u_{2}+u_{3}+u_{4}\\\end{aligned}}$

Quant à l’indice $k$ de $u_{k},$ il est égal à $i$ pour $i=1$ ou $2$ et à $4$ pour $i=2$ ou $3.$ Posons alors

$u_{k}+\mathrm {M} \,w^{2}+\mathrm {M} \,w\,s+{\frac {\mathrm {M} \,\alpha ^{p}\,s^{2}}{1-\beta \alpha -\beta \alpha ^{p}s}}=\Phi (w,\,u_{1},\,u_{2},\,u_{3},\,u_{4})$

et comparons aux équations (21) les équations

(21 bis)

${\frac {du_{i}'}{dt}}+\alpha \,w\,{\frac {du_{i}'}{dw}}=\alpha \Phi (w,\,u_{1}',\,u_{2}',\,u_{3}',\,u_{4}')$

Parmi les solutions particulières des équations (21) et (21 bis), nous choisirons celles qui sont divisibles par $w^{2}$ (ce sont bien celles-là que nous avons appelées plus haut $u_{i}$).

Il est clair que nous pourrons toujours prendre $\mathrm {M}$ assez grand pour que

$\lim \left|{\frac {u_{i}}{w^{2}}}\right|<\lim {\frac {u_{i}'}{w^{2}}}\cdot$

Nous en conclurons alors que

$|u_{i}|<u_{i}'$

pour

$0<w<\mathrm {W} .$

Cherchons maintenant à intégrer les équations (21 bis). J’observe d’abord que, $\Phi$ ne dépendant pas de $t,$ les $u_{i}'$ n’en dépendront pas non plus et qu’on aura

${\begin{aligned}u_{1}'=u_{2}'&=u_{3}'=u_{4}'={\frac {s'}{4}},\\[1ex]w\,{\frac {ds'}{dw}}={\frac {s'}{4}}+\mathrm {M} \,w^{2}&+\mathrm {M} \,s'\,w+{\frac {\mathrm {M} \,\alpha ^{p}\,s'^{2}}{1-\beta \alpha -\beta \alpha ^{p}s'}}\cdot \end{aligned}}$

Cette dernière équation admet une intégrale

$s'=\varphi (w,\,\alpha )$

développable suivant les puissances de $w$ et de $\alpha ,$ et divisible par $w^{2}\,;$ quand $\alpha$ tend vers 0, $s'$ tend manifestement vers l’intégrale de l’équation

$w\,{\frac {ds'}{dw}}={\frac {s'}{4}}+\mathrm {M} \,w^{2}+\mathrm {M} \,s'\,w.$

Cette équation linéaire s’intègre très aisément, on trouve

$\lim s'=\mathrm {M} \,w^{\frac {1}{4}}\,e^{\mathrm {M} w}\int _{0}^{\infty }e^{-\mathrm {M} w}\,w^{\frac {3}{4}}\,dw\qquad (\mathrm {pour} \;\alpha =0).$

De cette formule, je ne veux retenir qu’une chose, c’est que, si

$0<w<\mathrm {W} ,$

$s',$ et, par conséquent, $u_{1},\,u_{2},\,u_{3}$ et $u_{4}$ tendent vers une limite finie quand $\alpha$ tend vers 0.

Il résulte de là que la série

$\theta _{i}^{0}+\alpha \theta _{i}^{1}+\alpha ^{2}\theta _{i}^{2}+\ldots$

représente la fonction $\theta _{i}$ asymptotiquement (c’est-à-dire à la façon de la série de Stirling) ou, en d’autres termes, que l’expression

${\frac {\theta _{i}-\theta _{i}^{0}-\alpha \theta _{i}^{1}-\alpha ^{2}\theta _{i}^{2}-\ldots -\alpha ^{p-1}\theta _{i}^{p-1}}{\alpha ^{p-1}}}$

tend vers 0 avec $\alpha .$ En effet, cette expression est égale à

$\alpha (\theta _{i}^{p}+u_{i})$

et nous venons de voir que $\theta _{i}^{p}+u_{i}$ reste fini quand $\alpha$ tend vers 0.

117.Mais ce n’est pas tout ; je dis que ${\frac {du_{i}}{dw}}$ reste fini quand $\alpha$ tend vers 0.

Nous avons en effet

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {du_{i}}{dw}}\right)+\alpha \,w\,{\frac {d}{dw}}\!\left({\frac {du_{i}}{dw}}\right)+\alpha \left({\frac {du_{i}}{dw}}\right)=\alpha {\boldsymbol {\sum }}_{k}{\frac {d\mathrm {U} _{i}'}{du_{k}}}{\frac {du_{k}}{dw}}+\alpha {\frac {d\mathrm {U} _{i}'}{dw}}\cdot$

${\frac {d\mathrm {U} _{i}'}{du_{k}}}$ et ${\frac {d\mathrm {U} _{i}'}{dw}}$ sont des fonctions de $t,$ de $w,$ de $\alpha$ et des $u_{i}\,;$ mais, d’après ce que nous venons de voir, nous pouvons assigner aux $u_{i}$ des limites supérieures ; nous pourrons donc en assigner également aux ${\frac {d\mathrm {U} _{i}'}{du_{k}}}$ et aux ${\frac {d\mathrm {U} _{i}'}{dw}}\cdot$ Supposons, par exemple, que l’on ait

$\left|{\frac {d\mathrm {U} _{i}'}{du_{k}}}\right|<\mathrm {A} ,\quad \left|{\frac {d\mathrm {U} _{i}'}{dw}}\right|<\mathrm {B} \quad (\mathrm {pour} \;w<\mathrm {W} ),$

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ étant deux nombres positifs.

D’autre part, nous savons qu’on peut assigner une limite à ${\frac {du_{i}}{dw}}$ pour $w=w_{1},$ si $w_{1}$ est inférieur à la quantité que nous avons appelée $w_{0}$ à la fin du n^o 112.

Supposons, par exemple, que l’on ait

$\left|{\frac {d\mathrm {U} _{i}'}{dw}}\right|<u_{0}'\quad \mathrm {pour} \;w=w_{1},$

$u_{0}'$ étant un nombre positif. Soit ensuite $u'$ une fonction définie comme il suit

${\begin{aligned}{\frac {du'}{dt}}+\alpha \,w\,{\frac {du'}{dw}}&=\alpha \,u'(4\mathrm {A} +\mathrm {W} )+\alpha \,\mathrm {B} ,\\[1ex]u'=u_{0}\quad &\mathrm {pour} \quad w=w_{1}.\end{aligned}}$

On aura manifestement

$\left|{\frac {du_{i}}{dw}}\right|<u'.$

Or on voit sans peine que $u'$ ne dépend que de $w$ et satisfait à l’équation

$w\,{\frac {du'}{dw}}=u'(4\mathrm {A} +\mathrm {W} )+\mathrm {B} .$

Donc $u'$ est fini ; donc ${\frac {du_{i}}{dw}}$ reste finie quand $\alpha$ tend vers 0. Donc on a asymptotiquement (en entendant ce mot au même sens que plus haut)

${\frac {d\theta _{i}}{dw}}={\frac {d\theta _{i}^{0}}{dw}}+\alpha {\frac {d\theta _{i}^{1}}{dw}}+\alpha ^{2}{\frac {d\theta _{i}^{2}}{dw}}+\ldots .$

On démontrerait de même que l’on a asymptotiquement

${\begin{aligned}{\frac {d\theta _{i}}{dt}}&=\,{\frac {d\theta _{i}^{0}}{dt}}\;+\alpha \,{\frac {d\theta _{i}^{1}}{dt}}\;+\alpha ^{2}\,{\frac {d\theta _{i}^{2}}{dt}}\;+\ldots ,\\[1ex]{\frac {d^{2}\theta _{i}}{dw^{2}}}&={\frac {d^{2}\theta _{i}^{0}}{dw^{2}}}+\alpha {\frac {d^{2}\theta _{i}^{1}}{dw^{2}}}+\alpha ^{2}{\frac {d^{2}\theta _{i}^{2}}{dw^{2}}}+\ldots \\\end{aligned}}$

Voici donc la conclusion finale à laquelle nous parvenons :

Les séries

${\begin{aligned}x_{i}^{0}&+{\sqrt {\mu }}x_{i}^{1}+\mu x_{i}^{2}+\ldots ,&n_{i}t+y_{i}^{0}&+{\sqrt {\mu }}y_{i}^{1}+\mu y_{i}^{2}+\ldots \end{aligned}}$

définies dans ce paragraphe sont divergentes, mais elles jouissent de la même propriété que la série de Stirling, de telle sorte que l’on a asymptotiquement

${\begin{aligned}x_{i}&=x_{i}^{0}+{\sqrt {\mu }}x_{i}^{1}+\mu x_{i}^{2}+\ldots ,\\y_{i}&=n_{i}t+y_{i}^{0}+{\sqrt {\mu }}y_{i}^{1}+\mu y_{i}^{2}+\ldots ,\\\end{aligned}}$

De plus, si $\mathrm {D}$ est un signe quelconque de différentiation, c’est-à-dire si l’on pose

$\mathrm {D} f={\frac {d^{\lambda _{0}+\lambda _{1}+\lambda _{2}+\ldots +\lambda _{k}}f}{dt^{\lambda _{0}}dw_{1}^{\lambda _{1}}dw_{2}^{\lambda _{2}}\ldots dw_{k}^{\lambda _{k}}}}$

on aura encore asymptotiquement

${\begin{aligned}\mathrm {D} x_{i}&=\mathrm {D} x_{i}^{0}+{\sqrt {\mu }}\mathrm {D} x_{i}^{1}+\mu \mathrm {D} x_{i}^{2}+\ldots ,\\\mathrm {D} y_{i}&=\mathrm {D} (n_{i}t+y_{i}^{0})+{\sqrt {\mu }}\mathrm {D} y_{i}^{1}+\mu \mathrm {D} y_{i}^{2}+\ldots .\end{aligned}}$

En ce qui concerne l’étude des séries analogues à celles de Stirling, je renverrai au § 1 d’un Mémoire que j’ai publié dans les Acta mathematica (t. VIII, p. 295).

Il est clair d’ailleurs que les mêmes raisonnements subsisteraient quand on aurait plus de 2 degrés de liberté et, par conséquent $n-1$ variables $w_{1},$ $w_{2},\,\ldots ,$ $w_{n-1}$ au lieu d’une seule.

FIN DU TOME PREMIER.

1. Voir plus loin la démonstration donnée en détail dans un cas analogue se rapportant aux équations (21) et (21 bis)\,;