L’Encyclopédie/1re édition/CONSTANTE

d’Alembert

L’Encyclopédie, 1^re éd.

1751 (Tome 4, p. 58-59).

CONSTANTE. (Quantité) On appelle ainsi, en Géométrie, une quantité qui ne varie point par rapport à d’autres quantités qui varient, & qu’on nomme variables. Ainsi le parametre d’une parabole, le diametre d’un cercle, sont des quantités constantes, par rapport aux abscisses & ordonnées qui peuvent varier tant qu’on veut. Voy. Parametre, Coordonnées, &c. En Algebre, on marque ordinairement les quantités constantes par les premieres lettres de l’alphabet, & les variables par les dernieres.

Quand on a intégré une différentielle, on y ajoûte une constante qui est quelquefois nulle, mais qui souvent aussi est une quantité réelle, dont l’omission seroit une faute dans la solution. C’est à quoi les commençans doivent sur-tout prendre garde. La regle la plus facile & la plus ordinaire pour bien déterminer la constante, est de supposer que la différentielle représente l’élément de l’aire d’une courbe, dont l’abscisse soit x, de faire x=0, de voir ce que la différentielle devient en ce cas, & d’ajoûter ce resultat avec un signe contraire. Par exemple, soit $\scriptstyle dx{\sqrt {x+a}}$, la quantité à intégrer.

On peut la regarder comme l’élément de l’aire d’une courbe, dont x est l’abscisse, & $\scriptstyle {\sqrt {x+a}}$ l’ordonnée. L’aire de cette courbe ou l’intégrale de cet élément doit être nulle, lorsque x=0. Or l’intégrale de $\scriptstyle dx{\sqrt {x+a}}$ est $\scriptstyle {\frac {2}{3}}{\overline {x+a}}^{\frac {3}{2}}+C$, C désignant une constante quelconque ; on aura donc, lorsque x=0, $\scriptstyle {\frac {2}{3}}a^{\frac {3}{2}}+C=0$. Donc $\scriptstyle C=-{\frac {2}{3}}a^{\frac {3}{2}}$. Donc l’intégrale cherchée est $\scriptstyle {\frac {2}{3}}{\overline {x+a}}^{\frac {3}{2}}-{\frac {2}{3}}a^{\frac {3}{2}}$. Ainsi on voit que la constante C n’est autre chose que $\scriptstyle {\frac {2}{3}}{\overline {x+a}}^{\frac {3}{2}}$, en faisant x=0, & changeant le signe. Cet exemple suffit pour démontrer & faire sentir la regle. On trouvera un plus grand détail dans le traité de M. de Bougainville le jeune sur le calcul intégral. (O).