Cours d’analyse de l’école royale polytechnique/Chapitre VIII

Augustin Louis Cauchy

Cours d’analyse de l’école royale polytechnique

Paris, Gauthier-Villars, 1882 (Œuvres complètes d'Augustin Cauchy, II^e Série, Tome III, p. 204-229).

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CHAPITRE VIII.

DES VARIABLES ET DES FONCTIONS IMAGINAIRES.

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§ I. — Considérations générales sur les variables et les fonctions
imaginaires.

Lorsqu’on suppose variables les deux quantités réelles $u,v,$ ou au moins l’une d’entre elles, l’expression

$u+v{\sqrt {-1}}$

est ce qu’on appelle une variable imaginaire. Si, de plus, la variable $u$ converge vers la limite $\mathrm {U}$ et la variable $v$ vers la limite $\mathrm {V} ,$

$\mathrm {U+V} {\sqrt {-1}}$

sera la limite vers laquelle converge l’expression imaginaire

$u+v{\sqrt {-1}}.$

Lorsque les constantes ou variables comprises dans une fonction donnée, après avoir été considérées comme réelles, sont ensuite supposées imaginaires, la notation à l’aide de laquelle on exprimait la fonction dont il s’agit ne peut être conservée dans le calcul qu’en vertu de conventions nouvelles propres à fixer le sens de cette notation dans la dernière hypothèse. Ainsi, par exemple, en vertu des conventions établies dans le Chapitre précédent, les valeurs des notations

$a+x,\qquad a-x,\qquad ax,\qquad {\frac {a}{x}}$

se trouvent complètement déterminées dans le cas où la constante $a$ et la variable $x$ deviennent imaginaires. Supposons, pour fixer les idées, que, la constante $a$ restant réelle, la variable $x$ reçoive la valeur imaginaire

$\alpha +\beta {\sqrt {-1}}=\rho \left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right),$

$\alpha ,\beta$ exprimant deux quantités réelles qui peuvent être remplacées par le module $\rho$ et l’arc réel $\theta .$ On conclura du Chapitre VII (§§ I et II) que les quatre notations

$a+x,\quad a-x,\quad ax,\quad {\frac {a}{x}}$

désignent respectivement les quatre expressions imaginaires

$a+\rho \cos \theta +\rho \sin \theta {\sqrt {-1}},$

$a-\rho \cos \theta -\rho \sin \theta {\sqrt {-1}},$

$a\rho \cos \theta +a\rho \sin \theta {\sqrt {-1}},$

${\frac {a}{\rho }}\cos \theta -{\frac {a}{\rho }}\sin \theta {\sqrt {-1}},$

ou, en d’autres termes, les suivantes :

$a+\alpha +\beta {\sqrt {-1}},\quad a-\alpha -\beta {\sqrt {-1}},\quad a\alpha +a\beta {\sqrt {-1}},$

${\frac {a\alpha }{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}-{\frac {a\beta }{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}{\sqrt {-1}}.$

En général, on fixera sans difficulté, par le moyen des principes établis dans le Chapitre VII, les valeurs des expressions algébriques dans lesquelles plusieurs variables ou constantes imaginaires seraient liées entre elles par les signes de l’addition, de la soustraction, de la multiplication ou de la division ; et l’on reconnaitra sans peine que ces expressions conservent toutes les propriétés dont elles jouiraient si les variables et constantes qui s’y trouvent comprises étaient réelles. Par exemple, si l’on désigne par

$x,\quad y,\quad z,\quad \ldots ,\quad u,\quad v,\quad w,\quad \ldots$

plusieurs variables soit réelles, soit imaginaires, on aura, dans tous les cas possibles,

(1)

$\left\{{\begin{aligned}&\qquad x+y+z+\ldots -(u+v+w+\ldots )\\&\quad =x+y+z+\ldots -u-v-w-\ldots ,\\&xy=yx,\\&u(x+y+z+\ldots )=ux+uy+uz+\ldots ,\\&{\frac {x+y+z+\ldots }{u}}={\frac {x}{u}}+{\frac {y}{u}}+{\frac {z}{u}}+\ldots ,\\&{\frac {x}{u}}\times {\frac {y}{u}}\times {\frac {z}{u}}\times \ldots ={\frac {xyz\ldots }{uvw\ldots }},\\&{\frac {x}{\left({\frac {u}{v}}\right)}}={\frac {vx}{u}}={\frac {v}{u}}\times x,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \end{aligned}}\right.$

Considérons maintenant la notation

$x^{a},$

dans le cas où, la constante $a$ restant réelle, la variable $x$ obtient la valeur imaginaire

$\alpha +\beta {\sqrt {-1}}=\rho \left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right).$

Si l’on prend pour $a$ une quantité dont la valeur numérique soit un nombre entier $m,$ cette même notation, savoir

$x^{a}=x^{\pm m},$

aura, pour des valeurs réelles quelconques de $\alpha$ et de $\beta ,$ une signification précise. Elle représentera l’expression imaginaire

$\rho ^{m}\cos m\theta +\rho ^{m}\sin m\theta {\sqrt {-1}},$

si $a=+m,$ et la suivante

$\rho ^{-m}\cos m\theta -\rho ^{-m}\sin m\theta {\sqrt {-1}},$

si $a=-m$ [(voir le Chapitre VII, § II, équations (18) et (19)]. Mais, toutes les fois que la constante $a$ recevra une valeur numérique fractionnaire ou irrationnelle, la notation

$x^{a}$

n’aura plus de valeur précise et déterminée, à moins que la partie réelle $\alpha$ de l’expression imaginaire $x$ ne soit positive. Si dans ce cas particulier on fait

$\zeta =\operatorname {arc\,tang} {\frac {\beta }{\alpha }},$

l’arc $\zeta$ restera compris entre les limites $-{\frac {\pi }{2}},+{\frac {\pi }{2}}\,;$ et, en écrivant $x$ au lieu de $\alpha +\beta {\sqrt {-1}}$ dans le § IV du Chapitre VII [(équations (17) et (27)], on trouvera

${\begin{aligned}x\ \ =&\rho \left(\cos \zeta +{\sqrt {-1}}\sin \zeta \right),\\x^{a}=&\rho ^{a}\left(\cos a\zeta +{\sqrt {-1}}\sin a\zeta \right),\end{aligned}}$

en sorte que la notation $x^{a}$ désignera l’expression imaginaire

$\rho ^{a}\cos a\zeta +\rho ^{a}\sin a\zeta {\sqrt {-1}}.$

Il suit encore des conventions et des principes ci-dessus établis (Chap. VII, §§ III et IV), que, pour une valeur numérique fractionnaire de la constante $a,$ la notation

$((x))^{a}$

représente à la fois plusieurs expressions imaginaires, dont les valeurs sont données par les deux formules

$((x))^{a}=x^{a}((1))^{a},\qquad ((1))^{a}=\cos 2ka\pi \pm {\sqrt {-1}}\sin 2ka\pi ,$

lorsque la partie réelle $\alpha$ de l’expression imaginaire $x$ est positive, et par les deux suivantes

$((x))^{a}=(-x)^{a}((-1))^{a},$

$((-1))^{a}=\cos(2k+1)a\pi \pm {\sqrt {-1}}\sin(2k+1)a\pi ,$

lorsque la quantité $\alpha$ devient négative [(voir, à ce sujet, dans le § IV du Chapitre VII, les équations (25) et (26)]. La même notation ne peut plus être employée dans le cas où la valeur numérique de $a$ devient irrationnelle.

Les expressions de la forme

$x^{a}$

conservent les mêmes propriétés pour des valeurs réelles et pour des valeurs imaginaires de la variable, tant que l’exposant a pour valeur numérique un nombre entier ; mais ces propriétés ne subsistent plus que sous certaines conditions dans le cas contraire. Soient, par exemple,

$x=\alpha +\beta {\sqrt {-1}},\quad y=\alpha '+\beta '{\sqrt {-1}},\quad z=\alpha ''+\beta ''{\sqrt {-1}},\quad \ldots$

plusieurs expressions imaginaires, qui se réduiront à des quantités réelles si $\beta ,\beta ',\beta ''$ s’évanouissent. Désignons, en outre, par $a,b,c,\ldots$ des quantités réelles quelconques, dont les valeurs numériques soient fractionnaires ou irrationnelles, et par $m,m',m'',\ldots$ plusieurs nombres entiers. On aura constamment, en vertu des principes établis dans le Chapitre VII,

(2)

$\left\{{\begin{aligned}x^{m}\ \ x^{m'}\ \ x^{m''}\;\;\ldots =&x^{m+m'+m''+\ldots },\\x^{-m}x^{-m'}x^{-m''}\ldots =&x^{-m-m'-m''-\ldots },\\x^{\pm m}x^{\pm m'}x^{\pm m''}\ldots =&x^{\pm m\pm m'\pm m''\pm \ldots },\end{aligned}}\right.$

chacun des nombres $m,m',m'',\ldots$ devant être affecté du même signe dans les deux membres ;

(3)

$\left\{{\begin{aligned}x^{m}\ \ y^{m}\ \ z^{m}\;\;\ldots =&(xyz\ldots )^{m},\\x^{-m}y^{-m}z^{-m}\ldots =&(xyz\ldots )^{-m},\end{aligned}}\right.$

(4)

$\left\{{\begin{aligned}\left(x^{m}\right)^{m'}\;\;=&\left(x^{-m}\right)^{-m'}=x^{mm'},\\\left(x^{m}\right)^{-m'}=&\left(x^{-m}\right)^{m'}\;\;=x^{-mm'}.\end{aligned}}\right.$

On trouvera, au contraire, que des trois formules

${\begin{alignedat}{2}&({\text{5}})\qquad \qquad \qquad \qquad &x^{a}x^{b}x^{c}\ldots =&x^{a+b+c+\ldots },\\&({\text{6}})&x^{a}y^{a}z^{a}\ldots =&(xyz\ldots )^{a},\\&({\text{7}})&(x^{a})^{b}=&x^{ab}\end{alignedat}}$

la première subsiste uniquement toutes les fois que la partie réelle $\alpha$ de l’expression imaginaire $x$ est positive ; la seconde, toutes les fois que, $\alpha ,\alpha ',\alpha '',\ldots$ étant positifs, la somme

$\operatorname {arc\,tang} {\frac {\beta }{\alpha }}+\operatorname {arc\,tang} {\frac {\beta '}{\alpha '}}+\operatorname {arc\,tang} {\frac {\beta ''}{\alpha ''}}+\ldots$

reste comprise entre les limites $-{\frac {\pi }{2}},+{\frac {\pi }{2}}\,;$ et la dernière, toutes les fois que, $\alpha$ étant positif, le produit

$a\operatorname {arctang} {\frac {\beta }{\alpha }}$

est compris entre ces mêmes limites.

Les conventions faites dans le Chapitre VII ne suffisent pas encore pour fixer d’une manière précise le sens des notations

$\mathrm {A} ^{x},\quad \operatorname {Lx} ,\quad \sin x,\quad \cos x,\quad \operatorname {arc\,sin} x,\quad \operatorname {arc\,cos} x,$

dans le cas où la variable $x$ devient imaginaire. Le moyen le plus simple d’y parvenir étant la considération des séries imaginaires, nous renvoyons ce sujet au Chapitre IX.

D’après ce qui a été dit ci-dessus, toute notation algébrique qui renfermerait, avec les variables $x,y,z,\ldots$ supposées réelles, des constantes imaginaires, ne peut être employée dans le calcul que dans le cas où, en vertu des conventions établies, elle aurait pour valeur une certaine expression imaginaire. Une semblable expression, dans laquelle la partie réelle et le coefficient de ${\sqrt {-1}}$ sont nécessairement des fonctions réelles des variables $x,y,z,\ldots ,$ est ce qu’on appelle une fonction imaginaire de ces mêmes variables. Ainsi, par exemple, si l’on désigne par $\varphi (x)$ et $\chi (x)$ deux fonctions réelles de $x,$ une fonction imaginaire de cette variable sera

$\varphi (x)+\chi (x){\sqrt {-1}}.$

Quelquefois nous indiquerons une semblable fonction à l’aide d’une seule caractéristique $\varpi ,$ et nous écrirons, en conséquence,

$\varpi (x)=\varphi (x)+\chi (x){\sqrt {-1}}.$

Pareillement, si l’on désigne par $\varphi (x,y,z,\ldots ),$ $\chi (x,y,z,\ldots )$ deux fonctions réelles des variables $x,y,z,\ldots ,$

$\varpi (x,y,z,\ldots )=\varphi (x,y,z,\ldots )+\chi (x,y,z,\ldots ){\sqrt {-1}}$

sera une fonction imaginaire de ces diverses variables.

La fonction imaginaire

$\varphi (x,y,z,\ldots )+\chi (x,y,z,\ldots ){\sqrt {-1}}$

prend le nom de fonction algébrique, ou exponentielle, ou logarithmique, ou circulaire, etc., et, dans le premier cas, le nom de fonction rationnelle ou irrationnelle, entière ou fractionnaire, etc., toutes les fois que les fonctions réelles $\varphi (x,y,z,\ldots ),\chi (x,y,z,\ldots )$ jouissent l’une et l’autre des propriétés que suppose le nom dont il s’agit. Ainsi, en particulier, la forme générale d’une fonction imaginaire et linéaire des variables $x,y,z,\ldots$ sera

$(a+bx+cy+dz+\ldots )+(a'+b'x+c'y+d'z+\ldots ){\sqrt {-1}}$

ou, ce qui revient au même,

$\left(a+a'{\sqrt {-1}}\right)+\left(b+b'{\sqrt {-1}}\right)x+\left(c+c'{\sqrt {-1}}\right)y+\left(d+d'{\sqrt {-1}}\right)z+\ldots ,$

$a,b,c,d,\ldots ,$ $a',b',c',d',\ldots$ désignant des constantes réelles.

On doit distinguer encore parmi les fonctions imaginaires, comme parmi les fonctions réelles, celles qu’on nomme explicites, et qui sont immédiatement exprimées au moyen des variables, de celles qu’on nomme implicites, et dont les valeurs déterminées par certaines équations ne peuvent être explicitement connues qu’après la résolution des équations dont il s’agit. Soit

$\varpi (x)\quad {\text{ou}}\quad \varpi (x,y,z,\ldots )$

une fonction imaginaire implicite déterminée par une seule équation. On pourra représenter cette fonction par $u+v{\sqrt {-1}},$ $u,v$ désignant deux quantités réelles ; et, si dans l’équation imaginaire qu’elle doit vérifier, on écrit, au lieu de $\varpi (x)$ ou de $\varpi (x,y,z,\ldots ),$

$u+v{\sqrt {-1}},$

après avoir développé les deux membres, puis égalé de part et d’autre les parties réelles et les coefficients de ${\sqrt {-1}},$ on obtiendra deux équations réelles entre les fonctions inconnues $u$ et $v.$ La résolution de ces dernières équations, lorsqu’elle pourra s’effectuer, fera connaître les valeurs explicites de $u$ et de $v,$ et, par suite, la valeur explicite de l’expression imaginaire

$u+v{\sqrt {-1}},$

Pour qu’une fonction imaginaire d’une seule variable soit complètement déterminée, il est nécessaire et il suffit que de chaque valeur particulière attribuée à la variable on puisse déduire la valeur correspondante de la fonction. Quelquefois, pour chaque valeur de la variable, la fonction donnée en obtient plusieurs différentes les unes des autres. Conformément aux conventions précédemment admises, nous désignerons ordinairement ces valeurs multiples d’une fonction imaginaire par des notations dans lesquelles nous ferons usage de doubles traits ou de doubles parenthèses. Ainsi, par exemple,

${\sqrt[{n}]{\!\!\!\!{\sqrt {\cos z+{\sqrt {-1}}\sin z}}}}$

ou

$\left(\left(\cos z+{\sqrt {-1}}\sin z\right)\right)^{\frac {1}{n}}$

indiquera l’une quelconque des racines du degré $n$ de l’expression imaginaire

$\cos z+{\sqrt {-1}}\sin z.$

§ II. — Sur les expressions imaginaires infiniment petites
et sur la continuité des fonctions imaginaires.

Une expression imaginaire est appelée infiniment petite, lorsqu’elle converge vers la limite zéro, ce qui suppose que, dans l’expression donnée, la partie réelle et le coefficient de ${\sqrt {-1}}$ convergent en même temps vers cette limite. Cela posé, représentons par

$\alpha +\beta {\sqrt {-1}}=\rho \left(\cos \theta +{\sqrt {-1}}\sin \theta \right)$

une expression imaginaire variable, $\alpha ,\beta$ désignant deux quantités réelles auxquelles on peut substituer le module $\rho$ et l’arc réel $\theta .$ Pour que cette expression soit infiniment petite, il sera évidemment nécessaire et suffisant que son module

$\rho ={\sqrt {\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}$

soit lui-même infiniment petit.

Une fonction imaginaire de la variable $x$ supposée réelle est appelée continue entre deux limites données de cette variable lorsque, entre ces limites, un accroissement infiniment petit de la variable produit toujours un accroissement infiniment petit de la fonction elle-même. Il en résulte que la fonction imaginaire

$\varphi (x)+\chi (x){\sqrt {-1}}$

sera continue entre deux limites de $x$ si les fonctions réelles $\varphi (x)$ et $\chi (x)$ restent continues entre ces limites.

On dit qu’une fonction imaginaire de la variable $x$ est, dans le voisinage d’une valeur particulière de $x,$ fonction continue de cette variable toutes les fois qu’elle reste continue entre deux limites même très rapprochées qui renferment la valeur dont il s’agit.

Enfin, lorsqu’une fonction imaginaire de la variable $x$ cesse d’être continue dans le voisinage d’une valeur particulière de cette variable, on dit qu’elle devient alors discontinue, et qu’il y a pour cette valeur particulière solution de continuité.

En partant des notions qu’on vient d’établir relativement à la continuité des fonctions imaginaires, on reconnaitra facilement que les théorèmes I, II et III du Chapitre II (§ II) subsistent dans le cas même où l’on remplace les fonctions réelles

$f(x)\quad {\text{et}}\quad f(x,y,z,\ldots )$

par des fonctions imaginaires

$\varphi (x)+\chi (x){\sqrt {-1}}\quad {\text{et}}\quad \varphi (x,y,z,\ldots )+\chi (x,y,z,\ldots ){\sqrt {-1}}.$

On peut, en conséquence, énoncer les propositions suivantes :

Théorème I. — Si les variables réelles $x,y,z,\ldots$ ont pour limites les quantités fixes et déterminées $\mathrm {X,Y,Z} ,$ et que la fonction imaginaire

$\varphi (x,y,z,\ldots )+\chi (x,y,z,\ldots ){\sqrt {-1}}$

soit continue par rapport à chacune des variables $x,y,z,\ldots$ dans le voisinage du système des valeurs particulières

$x=\mathrm {X} ,\qquad y=\mathrm {Y} ,\qquad z=\mathrm {Z} ,\qquad \ldots ,$

$\varphi (x,y,z,\ldots )+\chi (x,y,z,\ldots ){\sqrt {-1}}$ aura pour limite

$\varphi (\mathrm {X,Y,Z} ,\ldots )+\chi (\mathrm {X,Y,Z} ,\ldots ){\sqrt {-1}},$

ou, si l’on fait, pour abréger,

$\varphi (x,y,z,\ldots )+\chi (x,y,z,\ldots ){\sqrt {-1}}=\varpi (x,y,z,\ldots ),$

$\varpi (x,y,z,\ldots )$ aura pour limite

$\varpi (\mathrm {X,Y,Z} ,\ldots ).$

Théorème II. — Désignons par $x,y,z,\ldots$ plusieurs fonctions réelles de la variable $t,$ qui soient continues par rapport à cette variable dans le voisinage de la valeur réelle $t=\mathrm {T} .$ Soient de plus $\mathrm {X,Y,Z} ,\ldots$ les valeurs particulières de $x,y,z,\ldots$ correspondantes à $t=\mathrm {T} ,$ et supposons que, dans le voisinage de ces valeurs particulières, la fonction imaginaire

$\varpi (x,y,z,\ldots )=\varphi (x,y,z,\ldots )+\chi (x,y,z,\ldots ){\sqrt {-1}}$

soit en même temps continue par rapport à $x,$ par rapport à $y,$ par rapport à $z,$ etc.; $\varpi (x,y,z,\ldots ),$ considérée comme une fonction imaginaire de $t,$ sera encore continue par rapport à $t,$ dans le voisinage de la valeur particulière $t=\mathrm {T} .$

Si, dans le théorème précédent, on réduit les variables $x,y,z,\ldots$ à une seule, on obtiendra l’énoncé suivant :

Théorème III. — Supposons que dans l’expression

$\varpi (x)=\varphi (x)+\chi (x){\sqrt {-1}}$

la variable $x$ soit fonction réelle d’une autre variable $t.$ Concevons de plus que la variable $x$ soit fonction continue de $t$ dans le voisinage de la valeur particulière $t=\mathrm {T} ,$ et $\varpi (x)$ fonction continue de $x$ dans le voisinage de la valeur particulière $x=\mathrm {X} ,$ correspondante à $t=\mathrm {T} .$ L’expression imaginaire $\varpi (x),$ considérée comme une fonction de $t,$ sera encore continue par rapport à cette variable dans le voisinage de la valeur particulière $t=\mathrm {T} .$

§ III. — Des fonctions imaginaires symétriques,
alternées ou homogènes.

En étendant aux fonctions imaginaires les définitions que nous avons données (Chapitre III) des fonctions symétriques, ou alternées, ou homogènes de plusieurs variables $x,y,z,\ldots ,$ on reconnait immédiatement que

$\varphi (x,y,z,\ldots )+\chi (x,y,z,\ldots ){\sqrt {-1}}$

est une fonction symétrique, ou alternée, ou homogène du degré $a$ par rapport aux variables $x,y,z,\ldots ,$ lorsque les fonctions réelles

$\varphi (x,y,z,\ldots ),\qquad \chi (x,y,z,\ldots )$

sont l’une et l’autre symétriques, ou alternées, ou homogènes du degré $a$ par rapport à ces mêmes variables.

§ IV. — Sur les fonctions imaginaires et entières
d’une ou de plusieurs variables.

En vertu de ce qui a été dit ci-dessus (§ I),

$\varphi (x)+\chi (x){\sqrt {-1}}$

et

$\varphi (x,y,z,\ldots )+\chi (x,y,z,\ldots ){\sqrt {-1}}$

sont deux fonctions imaginaires et entières, l’une de la variable $x,$ l’autre des variables $x,y,z,\ldots ,$ lorsque

$\varphi (x)\quad {\text{et}}\quad \chi (x),\qquad \varphi (x,y,z,\ldots )\quad {\text{et}}\quad \chi (x,y,z,\ldots )$

sont des fonctions réelles et entières de ces mêmes variables. Par suite, si $\varpi (x)$ représente une fonction imaginaire et entière de la variable $x,$ la valeur de $\varpi (x)$ sera déterminée par une équation de la forme

${\begin{aligned}\varpi (x)=&\varphi (x)+\chi (x){\sqrt {-1}}\\=&a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\ldots +\left(b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}+\ldots \right){\sqrt {-1}},\end{aligned}}$

$a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,$ $b_{0},b_{1},b_{2},\ldots$ désignant des constantes réelles. On conclura de cette équation, en réunissant les coefficients des puissances semblables de $x,$

(1)

$\varpi (x)=\left(a_{0}+b_{0}{\sqrt {-1}}\right)+\left(a_{1}+b_{1}{\sqrt {-1}}\right)x+\left(a_{2}+b_{2}{\sqrt {-1}}\right)x^{2}+\ldots .$

Pour que la fonction $\varpi (x),$ déterminée par la formule précédente, s’évanouisse avec $x,$ il faut que l’on ait

$a_{0}+b_{0}{\sqrt {-1}}=0,$

c’est-à-dire $a_{0}=0$ et $b=0,$ auquel cas la valeur de $\varpi (x)$ se réduit à

${\begin{aligned}\varpi (x)=&\ \ \left(a_{1}+b_{1}{\sqrt {-1}}\right)x+\left(a_{2}+b_{2}{\sqrt {-1}}\right)x^{2}+\ldots \\=&x\left[a_{1}+b_{1}{\sqrt {-1}}\quad \;+\left(a_{2}+b_{2}{\sqrt {-1}}\right)x+\ldots \right].\end{aligned}}$

Ainsi, toute fonction imaginaire et entière de la variable $x,$ lorsqu’elle s’évanouit avec cette variable, est le produit du facteur $x$ par une seconde fonction de la même espèce ou, en d’autres termes, est divisible par $x.$ En partant de cette remarque, on étendra facilement les théorèmes I et II du Chapitre IV (§ I) au cas où les fonctions entières qui s’y trouvent mentionnées sont en même temps imaginaires. J’ajoute que ces deux théorèmes subsisteront encore si l’on y remplace les valeurs particulières et réelles attribuées à la variable $x,$ telles que

$x_{0},\quad x_{1},\quad x_{2},\quad \ldots$

par des variables imaginaires

$\alpha _{0}+\beta _{0}{\sqrt {-1}},\quad \alpha _{1}+\beta _{1}{\sqrt {-1}},\quad \alpha _{2}+\beta _{2}{\sqrt {-1}},\quad \ldots .$

Pour démontrer cette assertion, il suffit d’établir les deux propositions suivantes :

Théorème I. — Si une fonction imaginaire et entière de la variable $x$ s’évanouit pour une valeur particulière de cette variable, par exemple pour

$x=\alpha _{0}+\beta _{0}{\sqrt {-1}},$

cette fonction sera divisible algébriquement par

$x-\alpha _{0}-\beta _{0}{\sqrt {-1}}.$

Démonstration. — En effet, soit

$\varpi (x)=\varphi (x)+\chi (x){\sqrt {-1}}$

la fonction imaginaire dont il s’agit. Si l’on y fait

$x=\alpha _{0}+\beta _{0}{\sqrt {-1}}+z,$

$z$ désignant une nouvelle variable, on obtiendra évidemment pour résultat de la substitution une fonction imaginaire et entière de $z,$ savoir

$\varpi \left(\alpha _{0}+\beta _{0}{\sqrt {-1}}+z\right)\,;$

et, comme cette fonction de $z$ devra s’évanouir pour $z=0,$ on en conclura que

$\varpi (x)=\varpi \left(\alpha _{0}+\beta _{0}{\sqrt {-1}}+z\right)$

est divisible par

$z=x-\alpha _{0}-\beta _{0}{\sqrt {-1}}.$

Corollaire I. — La proposition précédente subsiste dans le cas même où la fonction $\chi (x)$ s’évanouit, c’est-à-dire dans le cas où $\varpi (x)$ se réduit à une fonction réelle $\varphi (x).$

Corollaire II. — Le théorème précédent subsiste encore lorsqu’on suppose $\beta =0,$ et par conséquent lorsque la valeur particulière attribuée à la variable $x$ est réelle.

Théorème II. — Si une fonction imaginaire et entière de la variable $x$ s’évanouit pour chacune des valeurs particulières de $x$ comprises dans la suite

$\alpha _{0}+\beta _{0}{\sqrt {-1}},\quad \alpha _{1}+\beta _{1}{\sqrt {-1}},\quad \alpha _{2}+\beta _{2}{\sqrt {-1}},\quad \ldots \quad \alpha _{n-1}+\beta _{n-1}{\sqrt {-1}},$

$n$ désignant un nombre entier quelconque, cette fonction sera équivalente au produit des facteurs

$x-\alpha _{0}-\beta _{0}{\sqrt {-1}},\quad x-\alpha _{1}-\beta _{1}{\sqrt {-1}},\quad x-\alpha _{2}-\beta _{2}{\sqrt {-1}},$

$\ldots ,\quad x-\alpha _{n-1}-\beta _{n-1}{\sqrt {-1}}$

par une nouvelle fonction imaginaire et entière de la variable $x.$

Démonstration. — Soit

$\varpi (x)=\varphi (x)+\chi (x){\sqrt {-1}}$

la fonction proposée. Comme elle doit s’évanouir pour

$x=\alpha _{0}+\beta _{0}{\sqrt {-1}},$

elle sera, en vertu du théorème I, algébriquement divisible par

$x-\alpha _{0}-\beta _{0}{\sqrt {-1}}\,;$

et l’on aura, en conséquence,

(2)

$\varpi (x)=\left(x-\alpha _{0}-\beta _{0}{\sqrt {-1}}\right)\mathrm {Q} _{0},$

$\mathrm {Q} _{0}$ désignant une nouvelle fonction imaginaire et entière de la variable $x.$ La fonction $\varpi (x)$ devant s’évanouir encore lorsqu’on suppose

$x=\alpha _{1}+\beta _{1}{\sqrt {-1}},$

cette supposition réduira nécessairement à zéro le second membre de l’équation (2), et, par conséquent, l’un des deux facteurs qui le composent (voir le Chapitre VII, § II, théorème VII, corollaire II). De plus, comme le premier facteur

$x-\alpha _{0}-\beta _{0}{\sqrt {-1}}$

ne peut devenir nul pour

$x=\alpha _{1}+\beta _{1}{\sqrt {-1}},$

tant que les valeurs particulières

$\alpha _{0}+\beta _{0}{\sqrt {-1}},\qquad \alpha _{1}+\beta _{1}{\sqrt {-1}}$

sont distinctes l’une de l’autre, il est clair qu’en attribuant à $x$ la seconde de ces deux valeurs, on devra réduire à zéro la fonction entière $\mathrm {Q} _{0},$ et, par suite, que cette fonction entière sera divisible algébriquement par

$x-\alpha _{1}-\beta _{1}{\sqrt {-1}}.$

On aura donc

$\mathrm {Q} _{0}=\left(x-\alpha _{1}-\beta _{1}{\sqrt {-1}}\right)\mathrm {Q} _{1},$

$\mathrm {Q} _{1}$ désignant une nouvelle fonction imaginaire et entière de la variable $x\,;$ en sorte que l’équation (2) pourra se mettre sous la forme

(3)

$\varpi (x)=\left(x-\alpha _{0}-\beta _{0}{\sqrt {-1}}\right)\left(x-\alpha _{1}-\beta _{1}{\sqrt {-1}}\right)\mathrm {Q} _{1}.$

En raisonnant comme on vient de le faire, on trouvera : 1^o que, la fonction $\varpi (x)$ devant s’évanouir en vertu de la supposition

$x=\alpha _{2}+\beta _{2}{\sqrt {-1}},$

cette supposition réduit nécessairement à zéro le second membre de l’équation (3), et, par conséquent, l’un de ses trois facteurs ; 2^o que le facteur réduit à zéro ne peut être que la fonction entière $\mathrm {Q} _{1},$ tant que les trois valeurs particulières de $x,$ désignées par

$\alpha _{0}+\beta _{0}{\sqrt {-1}},\qquad \alpha _{1}+\beta _{1}{\sqrt {-1}},\qquad \alpha _{2}+\beta _{2}{\sqrt {-1}}.$

sont distinctes l’une de l’autre ; 3^o que la fonction entière $\mathrm {Q} _{1},$ devant s’évanouir pour

$x=\alpha _{2}+\beta _{2}{\sqrt {-1}},$

est algébriquement divisible par

$x-\alpha _{2}-\beta _{2}{\sqrt {-1}}.$

On aura, par conséquent,

$\mathrm {Q} _{1}=\left(x-\alpha _{2}-\beta _{2}{\sqrt {-1}}\right)\mathrm {Q} 2$

et, par suite,

(4)

$\varpi (x)=\left(x-\alpha _{0}-\beta _{0}{\sqrt {-1}}\right)\left(x-\alpha _{1}-\beta _{1}{\sqrt {-1}}\right)\left(x-\alpha _{2}-\beta _{2}{\sqrt {-1}}\right)\mathrm {Q} _{2}.$

$\mathrm {Q} _{2}$ désignant encore une fonction imaginaire et entière de la variable $x.$ En continuant de la même manière, on finira par reconnaître que, dans le cas où la fonction entière $\varpi (x)$ s’évanouit pour $n$ valeurs différentes de $x,$ respectivement désignées par

$\alpha _{0}+\beta _{0}{\sqrt {-1}},\quad \alpha _{1}+\beta _{1}{\sqrt {-1}},\quad \alpha _{2}+\beta _{2}{\sqrt {-1}},\quad \ldots ,\quad \alpha _{n-1}+\beta _{n-1}{\sqrt {-1}},$

on a nécessairement

(5)

${\begin{aligned}\varpi (x)=\left(x-\alpha _{0}-\beta _{0}{\sqrt {-1}}\right)\left(x-\alpha _{1}-\beta _{1}{\sqrt {-1}}\right)\left(x-\alpha _{2}-\beta _{2}{\sqrt {-1}}\right)&\\\ldots \left(x-\alpha _{n-1}-\beta _{n-1}{\sqrt {-1}}\right)\mathrm {Q} ,&\end{aligned}}$

$\mathrm {Q}$ désignant une nouvelle fonction entière de la variable $x.$

Il est à peu près inutile d’observer que le théorème précédent subsiste lorsqu’on suppose

$\chi (x)=0$

ou bien

$\beta _{0}=0,\quad \beta _{1}=0,\quad \beta _{2}=0,\quad \ldots ,\quad \beta _{n-1}=0,$

c’est-à-dire lorsque la fonction $\varpi (x)$ ou les valeurs particulières attribuées à la variable $x$ deviennent réelles.

À l’aide des principes établis dans ce paragraphe, on démontrera sans difficulté que, dans le Chapitre IV (§ I), les théorèmes III et IV, avec la formule (1), peuvent être étendus au cas où les fonctions et les variables deviennent imaginaires, ainsi que les valeurs particulières attribuées aux unes et aux autres. On prouvera de même que les propositions I, II et III, avec les formules (1) et (2), dans le § II du Chapitre IV, et les formules (2), (3), (4), (5), (6) dans le § III du même Chapitre, subsistent quelles que soient les valeurs réelles ou imaginaires des variables, des fonctions et des constantes. Ainsi, par exemple, on reconnaitra, en particulier, que l’équation (6) du § III, savoir

(6)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {(x+y)^{n}}{1.2.3\ldots n}}=&\quad \ {\frac {x^{n}}{1.2.3\ldots n}}+{\frac {x^{n-1}}{1.2.3\ldots (n-1)}}{\frac {y}{1}}+\ldots \\&+{\frac {x}{1}}{\frac {y^{n-1}}{1.2.3\ldots (n-1)}}+{\frac {y^{n}}{1.2.3\ldots n}},\end{aligned}}\right.$

a lieu pour des valeurs imaginaires quelconques des variables $x$ et $y.$

§ V. — Détermination des fonctions imaginaires continues
d’une seule variable propres à vérifier certaines conditions.

Soit

$\varpi (x)=\varphi (x)+{\sqrt {-1}}\chi (x)$

une fonction imaginaire continue de la variable $x,$ $\varphi (x)$ et $\chi (x)$ désignant deux fonctions continues, mais réelles. La fonction imaginaire $\varpi (x)$ sera complètement déterminée, si elle est assujettie à vérifier, pour toutes les valeurs réelles possibles des variables $x$ et $y,$ l’une des équations

(1)

$\varpi (x+y)=\varpi (x)+\varpi (y),$

(2)

$\varpi (x+y)=\varpi (x)\times \varpi (y),$

ou bien, pour toutes les valeurs réelles et positives des mêmes variables, l’une des équations suivantes :

(3)

$\varpi (xy)=\varpi (x)+\varpi (y),$

(4)

$\varpi (xy)=\varpi (x)\times \varpi (y).$

Nous allons résoudre successivement ces quatre équations, ce qui nous fournira quatre problèmes analogues à ceux que nous avons déjà traités dans le § I du Chapitre V.

Problème I. — Déterminer la fonction imaginaire $\varpi (x)$ de manière qu’elle reste continue entre deux limites réelles quelconques de la variable $x,$ et que l’on ait, pour toutes les valeurs réelles des variables $x$ et $y$,

(1)

$\varpi (x+y)=\varpi (x)+\varpi (y).$

Solution. — Si, à l’aide de la formule

$\varpi (x)=\varphi (x)+\chi (x){\sqrt {-1}},$

on remplace dans l’équation (1) la fonction imaginaire par les fonctions réelles $\varphi$ et $\chi ,$ cette équation deviendra

$\varphi (x+y)+\chi (x+y){\sqrt {-1}}=\varphi (x)+\chi (x){\sqrt {-1}}+\varphi (y)+\chi (y){\sqrt {-1}}\,;$

puis l’on en conclura, en égalant de part et d’autre les parties réelles et les coefficients de ${\sqrt {-1}},$

${\begin{aligned}\varphi (x+y)=&\varphi (x)+\varphi (y),\\\chi (x+y)=&\chi (x)+\chi (y).\end{aligned}}$

On tirera de ces dernières formules (voir le Chapitre V, § I, problème I)

${\begin{aligned}\varphi (x)=&x\varphi (1),\\\chi (x)=&x\chi (1)\end{aligned}}$

et, par suite,

(5)

$\varpi (x)=x\left[\varphi (1)+\chi (1){\sqrt {-1}}\right]$

ou, ce qui revient au même,

(6)

$\varpi (x)=x\varpi (1).$

Il suit de l’équation (5) que toute valeur de $\varpi (x)$ propre à résoudre la question proposée est nécessairement de la forme

(7)

$\varpi (x)=\left(a+b{\sqrt {-1}}\right)x,$

$a,b$ désignant deux quantités constantes. Il est d’ailleurs facile de s’assurer qu’une semblable valeur de $\varpi (x)$ vérifie l’équation (1), quelles que soient les deux quantités $a$ et $b.$ Ces quantités sont donc deux constantes arbitraires.

On peut remarquer que, pour obtenir la valeur précédente de $\varpi (x),$ il suffit de remplacer, dans la valeur de $\varphi (x)$ que fournit l’équation (7) du Chapitre V (§ I), la constante arbitraire et réelle $a$ par la constante arbitraire, mais imaginaire,

$a+b{\sqrt {-1}}.$

Problème II. — Déterminer la fonction imaginaire $\varpi (x)$ de manière qu’elle reste continue entre deux limites réelles quelconques de la variable $x,$ et que l’on ait, pour toutes les valeurs réelles des variables $x$ et $y$,

(2)

$\varpi (x+y)=\varpi (x)\varpi (y).$

Solution. — Si dans l’équation (2) on fait $x=0,$ on en tirera

$\varpi (0)=1$

ou, ce qui revient au même, à cause de la formule

$\varpi (x)=\varphi (x)+\chi (x){\sqrt {-1}},$

$\varphi (0)+\chi (0){\sqrt {-1}}=1$

et, par suite,

$\varphi (0)=1,\qquad \chi (0)=0.$

La fonction $\varphi (x)$ se réduira donc à l’unité pour la valeur particulière $0$ attribuée à la variable $x\,;$ et, puisqu’on la suppose continue entre des limites quelconques, il est clair qu’elle sera, dans le voisinage de cette valeur particulière, très peu différente de l’unité, par conséquent positive. On pourra donc, en désignant par $\alpha$ un nombre très petit, choisir ce nombre de manière que la fonction $\varphi (x)$ reste constamment positive entre les limites

$x=0,\qquad x=\alpha .$

Cette condition étant remplie, comme la quantité $\varphi (\alpha )$ sera elle-même positive, si l’on fait

$\rho ={\sqrt {\varphi (\alpha )^{2}+\chi (\alpha )^{2}}},\qquad \zeta =\operatorname {arc\,tang} {\frac {\chi (\alpha )}{\varphi (\alpha )}},$

on en conclura

$\varpi (\alpha )=\varphi (\alpha )+\chi (\alpha ){\sqrt {-1}}=\rho \left(\cos \zeta +{\sqrt {-1}}\sin \zeta \right).$

Concevons maintenant que dans l’équation (2) on remplace successivement $y$ par $y+z,$ puis $z$ par $z+u,\ldots ,$ on en déduira

$\varpi (x+y+z+\ldots )=\varpi (x)\varpi (y)\varpi (z)\ldots ,$

quel que soit le nombre des variables $x,y,z,\ldots \,;$ si, de plus, on désigne par $m$ ce même nombre, et que l’on fasse

$x=y=z=\ldots =\alpha ,$

l’équation que l’on vient de trouver donnera

$\varpi (m\alpha )=\left[\varpi (\alpha )\right]^{m}=\rho ^{m}\left(\cos m\zeta +{\sqrt {-1}}\sin m\zeta \right).$

J’ajoute que la formule

$\varpi (m\alpha )=\rho ^{m}\left(\cos m\zeta +{\sqrt {-1}}\sin m\zeta \right)$

subsistera encore si l’on y remplace le nombre entier $m$ par une fraction ou même par un nombre quelconque $\mu .$ C’est ce que l’on prouvera facilement ainsi qu’il suit.

Si dans l’équation (2) on fait

$x={\frac {1}{2}}\alpha ,\qquad y={\frac {1}{2}}\alpha ,$

on en tirera

$\left[\varpi \left({\frac {1}{2}}\alpha \right)\right]^{2}=\varpi (\alpha )=\rho \left[\cos \zeta +{\sqrt {-1}}\sin \zeta \right]\,;$

puis, en extrayant les racines carrées des deux membres, de manière que les parties réelles soient positives, et observant que les deux fonctions $\varphi (x),\cos x$ restent positives, la première entre les limites $x=0,$ $x=\alpha ,$ la seconde entre les limites $x=0,$ $x=\zeta ,$ on trouvera

$\varpi \left({\frac {1}{2}}\alpha \right)=\varphi \left({\frac {1}{2}}\alpha \right)+\chi \left({\frac {1}{2}}\alpha \right){\sqrt {-1}}=\rho ^{\frac {1}{2}}a\left(\cos {\frac {\zeta }{2}}+{\sqrt {-1}}\sin {\frac {\zeta }{2}}\right).$

De même, si dans l’équation (2) on fait

$x={\frac {1}{4}}\alpha ,\qquad y={\frac {1}{4}}\alpha ,$

on en tirera

$\left[\varpi \left({\frac {1}{4}}\alpha \right)\right]^{2}=\varpi \left({\frac {1}{2}}\alpha \right)=\rho ^{\frac {1}{2}}\left(\cos {\frac {\zeta }{2}}+{\sqrt {-1}}\sin {\frac {\zeta }{2}}\right)\,;$

puis, en extrayant les racines carrées des deux membres, de manière à obtenir des parties réelles positives,

$\varpi \left({\frac {1}{4}}\alpha \right)=\rho ^{\frac {1}{4}}\left(\cos {\frac {\zeta }{4}}+{\sqrt {-1}}\sin {\frac {\zeta }{4}}\right)\,;$

Par des raisonnements semblables, on établira successivement les formules

${\begin{aligned}\varpi \left({\frac {1}{8}}\alpha \right)\ \ =&\rho ^{\frac {1}{8}}\left(\cos {\frac {\zeta }{8}}\ \ +{\sqrt {-1}}\sin {\frac {\zeta }{8}}\right),\\\varpi \left({\frac {1}{16}}\alpha \right)=&\rho ^{\frac {1}{16}}\left(\cos {\frac {\zeta }{16}}+{\sqrt {-1}}\sin {\frac {\zeta }{16}}\right),\\\ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \,;\end{aligned}}$

et, en général, $n$ désignant un nombre entier quelconque,

$\varpi \left({\frac {1}{2^{n}}}\alpha \right)=\rho ^{\frac {1}{2^{n}}}\left[\cos \left({\frac {1}{2^{n}}}\zeta \right)+{\sqrt {-1}}\sin \left({\frac {1}{2^{n}}}\zeta \right)\right].$

Si l’on opère sur la valeur précédente de $\varpi \left({\frac {1}{2^{n}}}\alpha \right)$ pour en déduire celle de $\varpi \left({\frac {m}{2^{n}}}\alpha \right),$ comme on a opéré sur la valeur de $\varpi (\alpha )$ pour en déduire celle de $\varpi (m\alpha ),$ on trouvera

$\varpi \left({\frac {m}{2^{n}}}\alpha \right)=\rho ^{\frac {m}{2^{n}}}\left[\cos \left({\frac {m}{2^{n}}}\zeta \right)+{\sqrt {-1}}\sin \left({\frac {m}{2^{n}}}\zeta \right)\right],$

ou, ce qui revient au même,

$\varphi \left({\frac {m}{2^{n}}}\alpha \right)+\chi \left({\frac {m}{2^{n}}}\alpha \right){\sqrt {-1}}=\rho ^{\frac {m}{2^{n}}}\left[\cos \left({\frac {m}{2^{n}}}\zeta \right)+{\sqrt {-1}}\sin \left({\frac {m}{2^{n}}}\zeta \right)\right],$

et, par suite,

${\begin{aligned}\varphi \left({\frac {m}{2^{n}}}\alpha \right)=&\rho ^{\frac {m}{2^{n}}}\cos \left({\frac {m}{2^{n}}}\zeta \right),\\\chi \left({\frac {m}{2^{n}}}\alpha \right)=&\rho ^{\frac {m}{2^{n}}}\sin \left({\frac {m}{2^{n}}}\zeta \right)\,;\end{aligned}}$

puis, en supposant que la fraction ${\frac {m}{2^{n}}}$ varie de manière à s’approcher indéfiniment du nombre $\mu ,$ et passant aux limites, on obtiendra les équations

$\varphi (\mu x)=\rho ^{\mu }\cos \mu \zeta ,\qquad \chi (\mu x)=\rho ^{\mu }\sin \mu \zeta ,$

desquelles on conclura

(8)

$\varpi (\mu x)=\rho ^{\mu }(\cos \mu \zeta +{\sqrt {-1}}\sin \mu \zeta ).$

De plus, si dans l’équation (2) on pose

$x=\mu \alpha ,\qquad y=-\mu \alpha ,$

on en tirera

$\varpi (-\mu \alpha )={\frac {\varpi (0)}{\varpi (\mu \alpha )}}=\rho ^{-\mu }\left[\cos(-\mu \zeta )+{\sqrt {-1}}\sin(-\mu \zeta )\right].$

La formule (8) subsistera donc lorsqu’on y remplacera $\mu$ par $-\mu .$ En d’autres termes, on aura, pour des valeurs réelles quelconques positives ou négatives de la variable $x,$

(9)

$\varpi (\alpha x)=\rho ^{x}\left[\cos \zeta x+{\sqrt {-1}}\sin \zeta x\right]=\left[\varpi (\alpha )\right]^{x}.$

Si dans cette dernière formule on écrit ${\frac {x}{\alpha }}$ au lieu de $x,$ elle deviendra

(10)

$\varpi (x)=\rho ^{\frac {x}{\alpha }}\left[\cos \left({\frac {\zeta }{\alpha }}x\right)+{\sqrt {-1}}\sin \left({\frac {\zeta }{\alpha }}x\right)\right]=\left[\varpi (\alpha )\right]^{\frac {x}{\alpha }}\,;$

et si l’on fait ensuite, pour abréger,

(11)

$\rho ^{\frac {1}{\alpha }}=\mathrm {A} ,\qquad {\frac {\zeta }{\alpha }}=b,$

on trouvera

(12)

$\varpi (x)=\mathrm {A} ^{x}\left(cosbx+{\sqrt {-1}}\sin bx\right).$

Ainsi toute valeur de $\varpi (x),$ propre à résoudre la question proposée, sera nécessairement de la forme

$\mathrm {A} ^{x}\left(\cos bx+{\sqrt {-1}}\sin bx\right),$

$\mathrm {A} ,b$ désignant deux constantes réelles, dont la première ne pourra être que positive. Il est d’ailleurs facile de s’assurer qu’une semblable valeur de $\varpi (x)$ vérifie l’équation (2), quelles que soient la valeur du nombre $\mathrm {A}$ et celle de la quantité $b.$ Ce nombre et cette quantité sont donc des constantes arbitraires.

Corollaire. — Dans le cas particulier où la fonction $\varphi (x)$ doit rester positive entre les limites $x=0,$ $x=1,$ on peut, au lieu de supposer très petit, prendre $\alpha =1\,;$ et l’on conclut alors immédiatement des équations (9) et (10)

(13)

$\varpi (x)=\left[\varpi (1)\right]^{x}.$

Problème III. — Déterminer la fonction imaginaire $\varpi (x)$ de manière qu’elle reste continue entre deux limites positives quelconques de la variable $x,$ et que l’on ait, pour toutes les valeurs positives des variables $x$ et $y$,

(3)

$\varpi (xy)=\varpi (x)+\varpi (y).$

Solution. — Si, à l’aide de la formule

$\varpi (x)=\varphi (x)+\chi (x){\sqrt {-1}},$

on remplace dans l’équation (3) la fonction imaginaire $\varpi$ par les fonctions réelles $\varphi$ et $\chi ,$ puis, que l’on égale de part et d’autre les parties réelles et les coefficients de ${\sqrt {-1}},$ on trouvera

${\begin{aligned}\varphi (xy)=&\varphi (x)+\varphi (y),\\\chi (xy)=&\chi (x)+\chi (y).\end{aligned}}$

Si, de plus, on désigne par $\mathrm {A}$ un nombre quelconque et par $\mathrm {L}$ la caractéristique des logarithmes dans le système dont la base est $\mathrm {A} ,$ on tirera des équations précédentes (voir le Chapitre V, § I, problème III)

${\begin{aligned}\varphi (x)=&\varphi (\mathrm {A} )\operatorname {L} (x),\\\chi (x)=&\chi (\mathrm {A} )\operatorname {L} (x),\end{aligned}}$

et l’on en conclura

(14)

$\varpi (x)=\left[\varphi (\mathrm {A} )+\chi (\mathrm {A} ){\sqrt {-1}}\right]\operatorname {L} (x)$

ou, ce qui revient au même,

(15)

$\varpi (x)=\varpi (\mathrm {A} )\operatorname {L} (x).$

Il suit de la formule (14) que toute valeur $\varpi (x)$ propre à résoudre la question proposée est nécessairement de la forme

(16)

$\varpi (x)=\left(a+b{\sqrt {-1}}\right)\operatorname {L} (x),$

$a,b$ désignant deux quantités constantes. Il est d’ailleurs facile de s’assurer qu’une semblable valeur de $\varpi (x)$ vérifie l’équation (3), quelles que soient les quantités $a$ et $b.$ Ces quantités sont donc deux constantes arbitraires.

On peut remarquer que, pour obtenir la valeur précédente de $\varpi (x),$ il suffit de remplacer, dans la valeur de $\varphi (x)$ que fournit l’équation (12) du Chapitre V (§ I), la constante arbitraire et réelle $a$ par la constante arbitraire, mais imaginaire,

$a+b{\sqrt {-1}}.$

Nota. — On pourrait arriver très simplement à l’équation (15) de la manière suivante.

En vertu des formules identiques

$x=\mathrm {A} ^{\operatorname {L} x},\qquad y=\mathrm {A} ^{\operatorname {L} y},$

l’équation (3) devient

$\varpi \left(\mathrm {A} ^{\operatorname {L} x+\operatorname {L} y}\right)=\varpi \left(\mathrm {A} ^{\operatorname {L} x}\right)+\varpi \left(\mathrm {A} ^{\operatorname {L} y}\right).$

Comme, dans cette dernière, les quantités variables $\operatorname {L} x,\operatorname {L} y,$ admettent des valeurs réelles quelconques positives ou négatives, il en résulte qu’on aura, pour toutes les valeurs réelles possibles des variables $x$ et $y$,

$\varpi \left(\mathrm {A} ^{x+y}\right)=\varpi \left(\mathrm {A} ^{x}\right)+\varpi \left(\mathrm {A} ^{y}\right).$

On en conclura [voir le problème I, équation (6)]

$\varpi (\mathrm {A} ^{x})=x\varpi (\mathrm {A} ^{1})=x\varpi (\mathrm {A} )$

et, par suite,

$\varpi (\mathrm {A} ^{\operatorname {L} x})=\varpi (\mathrm {A} )\operatorname {L} x$

ou, ce qui revient au même,

$\varpi (x)=\varpi (\mathrm {A} )\operatorname {L} x.$

Problème IV. — Déterminer la fonction imaginaire $\varpi (x)$ de manière qu’elle reste continue entre deux limites positives quelconques de la variable $x,$ et que l’on ait, pour toutes les valeurs positives des variables $x$ et $y$,

(4)

$\varpi (xy)=\varpi (x)\varpi (y).$

Solution. — Il serait facile d’appliquer à la solution de ce problème une méthode semblable à celle que nous avons employée pour résoudre le second ; mais on arrivera plus promptement à la solution cherchée, si l’on observe que, en désignant par $\mathrm {L}$ la caractéristique des logarithmes dans le système dont la base est $\mathrm {A} ,$ on peut mettre l’équation (4) sous la forme

$\varpi \left(\mathrm {A} ^{\operatorname {L} x+\operatorname {L} y}\right)=\varpi \left(\mathrm {A} ^{\operatorname {L} x}\right)\varpi \left(\mathrm {A} ^{\operatorname {L} y}\right).$

Comme, dans cette dernière équation, les quantités variables $\operatorname {L} x,\operatorname {L} y,$ admettent des valeurs réelles quelconques positives ou négatives, il en résulte qu’on aura, pour toutes les valeurs réelles possibles des variables $x$ et $y$,

$\varpi \left(\mathrm {A} ^{x+y}\right)=\varpi \left(\mathrm {A} ^{x}\right)\varpi \left(\mathrm {A} ^{y}\right).$

On en conclura, en représentant par $\alpha$ un nombre très petit et en remplaçant dans l’équation (10) du second problème $\varpi (x)$ par $\varpi \left(\mathrm {A} ^{x}\right),$

$\varpi \left(\mathrm {A} ^{x}\right)=\left[\varpi \left(\mathrm {A} ^{\alpha }\right)\right]^{\frac {x}{\alpha }}.$

On trouvera par suite

$\varpi \left(\mathrm {A} ^{\operatorname {L} x}\right)=\left[\varpi \left(\mathrm {A} ^{\alpha }\right)\right]^{\frac {\operatorname {L} x}{\alpha }}$

ou, ce qui revient au même,

(17)

$\varpi (x)=\left[\varpi \left(\mathrm {A} ^{\alpha }\right)\right]^{\frac {\operatorname {L} x}{\alpha }}.$

Il est essentiel d’observer que la fonction imaginaire $\varpi \left(\mathrm {A} ^{x}\right),$ et par conséquent sa partie réelle $\varphi (\mathrm {A} ^{x}),$ se réduisent à l’unité pour $x=0,$ ou, en d’autres termes, que la fonction imaginaire $\varpi (x)$ et sa partie réelle $\varphi (x)$ se réduisent à l’unité pour $x=1.$ C’est ce que l’on peut démontrer directement, en prenant dans l’équation (4),

$x=\mathrm {A} ^{0}=1.$

Quant au nombre $\alpha ,$ il doit seulement être assez petit pour que la partie réelle de la fonction imaginaire $\varpi (\mathrm {A} ^{x})$ reste constamment positive entre les limites $x=0,$ $x=\alpha .$ Cette condition étant remplie, la partie réelle de l’expression imaginaire

$\varpi \left(\mathrm {A} ^{\alpha }\right)=\varphi \left(\mathrm {A} ^{\alpha }\right)+\chi \left(\mathrm {A} ^{\alpha }\right){\sqrt {-1}}$

sera elle-même positive ; et par suite, si l’on fait

$\rho ={\sqrt {\left[\varphi \left(\mathrm {A} ^{\alpha }\right)\right]^{2}+\left[\chi \left(\mathrm {A} ^{\alpha }\right)\right]^{2}}},\qquad \zeta =\operatorname {arc\,tang} {\frac {\chi (\mathrm {A} ^{\alpha })}{\varphi (\mathrm {A} ^{\alpha })}},$

on aura

$\varpi (\mathrm {A} ^{\alpha })=\rho \left(\cos \zeta +{\sqrt {-1}}\sin \zeta \right).$

Cela posé, l’équation (17) deviendra

(18)

$\left\{{\begin{aligned}\varpi (x)=&\rho ^{\frac {\operatorname {L} x}{\alpha }}\left[\cos \left({\frac {\zeta }{\alpha }}\operatorname {L} x\right)+{\sqrt {-1}}\sin \left({\frac {\zeta }{\alpha }}\operatorname {L} x\right)\right]\\=&x^{\frac {\operatorname {L} \rho }{\alpha }}\left[\cos \left({\frac {\zeta }{\alpha }}\operatorname {L} x\right)+{\sqrt {-1}}\sin \left({\frac {\zeta }{\alpha }}\operatorname {L} x\right)\right].\end{aligned}}\right.$

En vertu de cette dernière équation, toute valeur de $\varpi (x)$ propre à résoudre la question proposée sera nécessairement de la forme

(19)

$\varpi (x)=x^{a}\left[\cos(b\operatorname {L} x)+{\sqrt {-1}}\sin(b\operatorname {L} x)\right],$

$a,b$ désignant deux quantités constantes. Il est aisé, de plus, de s’assurer que ces deux quantités constantes doivent demeurer entièrement arbitraires.

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