Annales de mathématiques pures et appliquées/Tome 02/Analise élémentaire, article 2

Méthode nouvelle et fort simple pour la résolution de l’équation générale du quatrième degré ; par M. Pilatte.

Annales de mathématiques pures et appliquées, 2, 1812 (p. 152-154).

ANALISE.

Méthode nouvelle et fort simple pour la résolution de
l’équation générale du quatrième degré ;

Par M. Pilatte, professeur de mathématiques spéciales
au lycée d’Angers.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Soit l’équation du quatrième degré, sans second terme,

$x^{4}+px^{2}+qx+r=0.\qquad \mathrm {(A)}$

Soit fait $x=y+t~;$ il viendra, en substituant et ordonnant par rapport à y,

$\left.{\begin{aligned}y^{4}+4ty^{3}&+6t^{2}\\&+2p\\\\\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}y^{2}&+4t^{3}\\&+2pt^{2}\\&+q\\\\\end{aligned}}\right|\left.{\begin{aligned}y&+t^{4}\\&+pt^{2}\\&+qt\\&+r\\\end{aligned}}\right|{\begin{aligned}&=0.\qquad \mathrm {(B)} \\&\\&\\&\\\end{aligned}}$

Soit fait

$4ty^{3}+(4t^{3}+2pt^{2}+q)y=0~;\;\qquad \mathrm {(C)}$

l’équation $\mathrm {(B)}$ deviendra

$y^{4}+(6t^{2}+2p)y^{2}+(t^{4}+pt^{2}+qt+r)=0.\qquad \mathrm {(D)}$

Mais l’équation $\mathrm {(C)}$, délivrée du facteur $y,$ donne

$y^{2}=-t^{2}-{\frac {p}{2}}t-{\frac {q}{4t}}.\;\qquad \mathrm {(E)}$

En substituant cette valeur et son quarré dans l’équation $\mathrm {(D)}$, on obtient la réduite

$t^{6}+{\frac {p}{2}}t^{4}+\left({\frac {p^{2}}{16}}-{\frac {r}{4}}\right)t^{2}-{\frac {q^{2}}{64}}=0.\;\qquad \mathrm {(F)}$

Soient $t',t'',t''',-t',-t'',-t''',$ les six racines de cette équation, on aura, par la théorie connue,

${\frac {p}{2}}=-t'^{2}-t''^{2}-t'''^{2}~;~{\frac {q^{2}}{64}}=t'^{2}t''^{2}t'''^{2}{\text{ ou }}{\frac {q}{4}}=\pm 2t't''t'''.$

Le signe supérieur répondant à la valeur $+t'$ et l’inférieur à la valeur $-t'.$

Substituant dans la valeur $\mathrm {(E)}$ de $y^{2}$ en y mettant pour $t$ l’une des trois valeurs $t',t'',t''',$ la première par exemple, on trouvera, à cause du double signe de la valeur de ${\frac {q}{4}},$

$y=\pm (t''-t'''),\quad y=\pm (t''+t''')~;$

mais on a, dans le premier cas, $x=y+t'$ et dans le second $x=y-t'~;$ il viendra donc

${\begin{aligned}x&=+t'+t''-t'''~;\\x&=+t'-t''+t'''~;\\x&=-t'+t''+t'''~;\\x&=-t'-t''-t'''.\\\end{aligned}}$