ANALISE INDÉTERMINÉE.

Recherches sur les fractions-continues périodiques ;
Par M. Kramp, professeur, doyen de la faculté des sciences
de l’académie de Strasbourg.
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1. Désignons par les lettres qui sont supposées se succéder dans l’ordre alphabétique, soit directe soit rétrograde, et sans omission d’aucun intermédiaire, une série de nombres entièrement pris à volonté, et n’étant liés entre eux par aucune loi quelconque. Ces nombres étant donnés, formons la série qui suit :

D’après la marche de cette série, l’on voit que l’unité, quand même elle ne serait pas formellement exprimée, est cependant considérée comme en faisant partie et comme précédant tous ses autres termes. Cela étant, nous donnerons le nom de médiateurs aux fonctions littérales désignées par les lettres et nous nommerons bases des médiateurs, les nombres même que nous avons représentés par les lettres Nous aurons ainsi :

Le premier médiateur
Le second médiateur
Le troisième …
Le quatrième …

2. D’après cette convention, pour désigner un médiateur quelconque, il suffira d’indiquer, parmi ses bases, la première et la dernière, en sous-entendant les intermédiaires qui seront censées se succéder de l’une à l’autre, suivant l’ordre alphabétique, et sans omission d’aucune.

Ainsi, par exemple, pour désigner le médiateur qui a, pour les première et dernière de ses bases, celles qui sont marquées par les lettres et , nous écrirons simplement , et cette notation sera équivalente à

Nous substituerons des lettres majuscules aux autres, pour prévenir l’équivoque, et nous enfermerons le tout entre deux parenthèses.

3. Tout médiateur, tel que , sera donc déterminé par les deux et qui le précèdent, moyennant la formule suivante, que l’on peut regarder comme fondamentale, et tenant lieu de définition.

[1].

Si l’on prend, au contraire, les bases dans un ordre rétrograde, on aura

L’analise des médiateurs fournit plusieurs théorèmes intéressans que nous nous contenterons ici d’énoncer, attendu que nous en ayons donné la démonstration ailleurs. (Arith univ. chap. VIII.)

4. Théorème I. Un médiateur ne change pas de valeur, lorsqu’on renverse l’ordre de ses bases ; ainsi, par exemple, les médiateurs et sont identiques entre eux.

5. Théorème II. Si la première ou la dernière base d’un médiateur s’évanouit, il perdra, à la fois, ses deux premières bases dans le premier cas, et ses deux dernières dans le second ; de sorte que le degré auquel il appartiendra, sera diminué de deux unités. Par exemple ; le médiateur étant égal à aussi bien qu’à , devient dans le cas de et dans le cas de

6. Théorème III. En quelque endroit qu’on partage en deux le médiateur donné , comme, par exemple, entre les bases et , il sera égal au produit des deux médiateurs et , plus le produit des deux médiateurs et , qu’on obtient des deux précédens, en supprimant la dernière base de l’un et la première de l’autre. On aura donc généralement

7. Théorème IV. Si du médiateur on forme les trois médiateurs  ; en supprimant pour l’un la première des bases, pour l’autre la seconde, et pour le troisième les deux bases extrêmes, à la fois ; la différence de produits sera constamment égale à l’unité ; et cette unité sera positive ou négative, suivant que le nombre des bases du médiateur proposé sera pair ou impair.

8. Théorème V. On peut donner au théorème précédent une généralité beaucoup plus grande, en l’énonçant comme il suit : soient les deux médiateurs et , tels que les bases du dernier soient entièrement comprises parmi celles du premier, et qu’elles s’y succèdent dans le même ordre. Si du premier des deux on retranche les bases excédentes, depuis jusqu’à , et qu’on les ajoute à l’autre, il en résultera les deux nouveaux médiateurs et , entièrement compris dans le premier, et comprenant le second. Alors, l’excès du produit des deux premiers médiateurs sur le produit des deux derniers, c’est-à-dire, sera, dans tous les cas, égal au simple produit des deux médiateurs affecté du signe plus ou du signe moins, suivant que le nombre des bases du médiateur intermédiaire sera pair ou impair.

9. Théorème VI. La fraction-continue

reçoit successivement les expressions littérales qui suivent, selon qu’on s’arrête à la première base, à la seconde, à la troisième, …, savoir :

à la première ou  ;
à la seconde  ;
à la troisième  ;
à la quatrième  ;
à la cinquième  ;

et ainsi des autres.

10. Nous appellerons fractions-continues périodiques celles dans lesquelles, après un certain nombre de bases initiales qui ne sont soumises à aucune loi, on remarque, parmi les suivantes, une périodicité constante, revenant sans cesse à l’infini : telle serait, par exemple, la fraction-continue

Ici l’on remarque d’abord les bases qui peuvent être des nombres quelconques ; viennent ensuite les bases périodiques et lesquelles sont supposées se reproduire constamment à l’infini. Nous nommerons tête de la fraction, la partie par laquelle elle commence, et qui fait exception à la loi de la période ; elle sera comptée inclusivement jusqu’à la base après laquelle la période devient sensible. Les bases qui composent la tête de la fraction seront nommées bases initiales, et nous les désignerons par les lettres de l’alphabet grec ; tandis que les lettres de l’alphabet latin seront réservées pour désigner les bases périodiques.

11. Pour fixer les idées, supposons que les bases initiales aussi bien que les bases périodiques de la fraction-continue soient au nombre de six. Les premières étant désignées par  ; et les dernières par les lettres  ; la partie de la fraction qui s’étend à l’infini, depuis le commencement de la période, et que nous représenterons par , sera

.

Et, si nous exprimons par y la fraction-continue entière, prolongée à l’infini, à partir de la tête, nous aurons

.

La partie de la fraction-continue ce qui se termine à la base sera égale à

Pour avoir la valeur de la fraction-continue, prolongée à l’infini, il faudra remplacer, dans cette dernière expression, la lettre par ce qui donnera, après les réductions,

 ;

ainsi, la valeur de la fraction-continue sera l’une des deux racines de l’équation du second degré qui suit :

Et, pour exprimer la fraction-continue entière, que nous ayons désignée par , on aura de même :

 ;

ce qui donne

12. Substituant cette dernière fraction littérale à la place de , dans l’équation du second degré en , la valeur totale de la fraction-continue se trouvera être encore racine d’une équation du second degré, mais beaucoup plus générale que la première.

Faisons, pour abréger,

et, de plus, désignons généralement l’unité par pour les bases initiales, et par pour les bases périodiques, ce qui donne (7)

On aura donc, dans tous les cas, tant que  ; et cette unité sera positive ou négative, suivant que le nombre des bases sera pair ou impair.

On aura de même, , positif, si le nombre des bases initiales et celui des bases périodiques sont tous deux pairs ou tous deux impairs, et négatif, si l’un de ces nombres est pair et l’autre impair.

En employant ces notations, les deux équations précédemment obtenues deviendront :

et  ;

et, en substituant, dans la première, la valeur de donnée par la seconde, elle deviendra

or, comme (6)

on voit que l’équation en pourra être mise sous cette autre forme plus simple :

donc, si l’on fait, pour abréger

il en résultera l’équation

13. Les quatre coefficiens de cette équation, savoir sont liés entre eux par quelques relations générales qu’il importe de connaître.

Examinons d’abord la différence des deux coefficiens du milieu, savoir  ; on a

donc

Ainsi, la différence des deux coefficiens moyens est indépendante des bases initiales de la fraction et dépend simplement des bases périodiques ; elle est égale, dans tous les cas, à affecté du signe plus ou du signe moins, suivant que le nombre des bases initiales est pair ou impair. La valeur absolue de cette différence dépend donc des bases périodiques, et son signe de la parité ou de l’imparité du nombre des bases initiales.

Examinant de même la différence de produits on la trouvera égale au produit des deux facteurs qui suivent :

et

Chacun de ces facteurs est, dans tous les cas, égal à l’unité. Cette unité, pour le premier facteur, est positive ou négative, suivant que le nombre des bases initiales est pair ou impair. Et, pour le second facteur, cette même unité est positive ou négative suivant que le nombre total, tant des bases initiales que des bases périodiques, est pair ou impair. On voit par là que la différence toujours égale à l’unité, dépendra, quant à son signe, de la parité ou de l’imparité du nombre des bases périodiques ; de manière que, dans le premier cas, on aura tandis qu’on aura, dans le second,

14. Dans la notation que nous avons employée, il ne faut pas perdre de vue que les lettres, désignent toujours l’avant-dernière et la dernière des bases initiales, et que les lettres , désignent, de même, l’avant-dernière et la dernière des bases périodiques. Ainsi, l’application des notations n’aura jamais de difficulté, tant que le nombre des bases ne sera pas au-dessous de quatre.

Dans le cas de trois bases, désignées par les lettres ou on aura :

Dans le cas de deux bases, désignées par les lettres ou on aura :

Enfin, dans le cas d’une seule base, designée par la lettre ou on aura :

Il peut importer encore d’examiner le cas d’une seule base initiale combinée ayec un nombre quelconque de bases périodiques. On a alors

15. Etant donnée une équation quelconque du second degré

on peut la comparer à

moyennant les deux proportions et l’équation qui suivent :

On en tire

[2]

d’où l’on déduit, en faisant, pour abréger,

[3]

16. Les deux premières de ces formules servent à déterminer les valeurs entières des y qui peuvent rendre quarrée toute expression de la forme dans laquelle et sont supposés des nombres entiers quelconques. Comparant, en effet, cette expression à [4] ou on aura

il en résultera l’équation

[5]

qui donne

Ici, pourra être pris a volonté, et la quantité qu’on obtient, en développant en fraction-continue la fraction sera l’inconnue qu’on demandait. Le radical, lui-même, sera

17. Comme le coefficient q est entièrement arbitraire, on fera bien de supposer et, dans cette supposition, l’indéterminée sera simplement égale à la fraction Développant donc cette fraction en fraction-continue qui, dans tous les cas, sera périodique, on connaîtra ainsi les bases, tant initiales que périodiques ; le coefficient fera connaître toutes les valeurs de  ; et les racines correspondantes de seront comprises dans la formule ou qui revient à

18. Dans le cas particulier, mais très-fréquent où on obtient, sur-le-champ et presque sans calcul, les valeurs entières de l’indéterminée qui peuvent rendre l’expression un quarré parfait. Il suffit, pour cela, de développer en fraction-continue la racine quarrée du coefficient numérique  ; et, comme on a la seule base initiale sera nécessairement (14)

[6].

On aura de plus et la racine correspondante de sera ou ou, enfin, Les exemples suivans éclairciront cette méthode ; et nous apprendrons aussi à rendre quarrée la fonction du moins lorsque cela est possible.

19. Exemple 1. Déterminer les valeurs entières de qui peuvent rendre quarrée l’expression

On a ici d’où

ainsi, on aura donc les deux séries de médiateurs que voici :

[7]

ainsi, les valeurs consécutives de seront celles des médiateurs c’est-à-dire, et les racines correspondantes de seront ou ou, enfin, c’est-à-dire,

Dans cet exemple, on pourrait aussi regarder les deux bases 1, 1, comme initiales ; les bases périodiques seraient alors 2, 1. Ayant donc, dans ce cas,

on en déduirait les médiateurs que voici :

on aurait alors ce qui, appliqué aux cas particuliers, conduit aux nombres précédemment obtenus, savoir : .

Les racines correspondantes seraient comprises sous la formule générale ce qui donnerait, comme ci-dessus, les nombres

Exemple II. Déterminer les valeurs entières de qui peuvent rendre quarrée l’expression

On a ici d’où

ce qui donne

en employant les formules du n.o 14, on trouve

On a, en outre, la suite des médiateurs

les valeurs consécutives de sont celles de O, savoir , et les valeurs correspondantes de la racine quarrée de sont celles de ou de c’est-à-dire,

En considérant comme initiales les bases 1, 1, la période serait on aurait donc

de là résulterait

et, par suite,

Les médiateurs seraient ici

ce qui donnerait pour les valeurs de , et pour les racines correspondantes de les mêmes nombres que ci-dessus.

Exemple III. Déterminer les valeurs entières de qui peuvent rendre quarrée l’expression

En développant en fraction-continue, on trouve d’abord la base initiale 10, puîs les bases périodiques d’après quoi on a

les médiateurs sont

ce qui donne pour les valeurs et, pour les racines correspondantes de

Exemple IV. Déterminer les valeurs entières de qui peuvent rendre quarrée l’expression. En développant en fraction-continue, la racine quarrée de 41, on trouve la base initiale 6, suivie des bases périodiques de manière qu’on a

Le nombre des bases de cette période est impair, tandis que nos formules le supposent pair ; mais, comme cette période revient à l’infini, il est permis de doubler le nombre de ses bases ; la période sera ainsi Le nombre des bases se trouvant alors pair, l’application des formules précédentes pourra avoir lieu. En s’arrêtant, au contraire, à trois bases, on trouvera les valeurs de qui rendent quarrée l’expression puisque dans ce cas, on a

Dans l’un et l’autre cas, désignera toujours la première base périodique, c’est-à-dire, 2 ; mais, dans le premier, aurontles valeurs et tandis que, dans le second, ces lettres se trouveront remplacées par et .

Les valeurs de qui rendront quarrée l’expression seront celles des médiateurs et les racines correspondantes seront

ou
ou

et, ainsi des autres. Au contraire, les valeurs de qui rendront quarrée l’expression seront celles des médiateurs et les racines correspondantes seront

ou

et ainsi des autres. Les médiateurs sont ici

Ainsi les nombres qui rendent quarrée l’expression sont et les racines correspondantes sont et ceux qui rendent quarrée l’expression sont et les racines correspondantes sont

Cette marche doit être suivie, toutes les fois que, dans le développement de la racine de , on parvient à un nombre impair de bases périodiques ; et l’on voit que notre méthode donne, non-seulement la solution de l’équation mais encore celle de l’équation toutes les fois, du moins, que cette dernière est possible en nombres entiers.

Exemple V. Déterminer les valeurs de qui peuvent rendre quarrée l’expression

On a ici

Le nombre des bases est ici impair ; mais, en le doublant, il devient pair, et on a alors

les médiateurs sont ensuite

Ainsi, les nombres qui rendront quarrée l’expression seront et les racines de ces quarrés seront ceux, au contraire, qui rendront quarrée l’expression seront et les racines correspondantes seront

Exemple VI. Déterminer les valeurs de qui peuvent rendre quarrée l’expression

On a simplement ici
la période entière ne consiste donc que dans une base unique. Les médiateurs sont


les valeurs de qui rendent un quarré parfait sont donc et les racines correspondantes sont


et ainsi des autres ; celles qui rendent, au contraire, un quarré parfait sont et les racines correspondantes sont


et ainsi des autres.

20. L’équation générale du second degré

peut être ramenée à

en déterminant les coefficiens de manière à ce qu’ils satisfassent aux quatre équations suivantes

la lettre désignant toujours l’unité prise en plus ou en moins, suivant le nombre des bases périodiques est pair ou impair. Il en résulte

Ainsi, pour que l’équation soit réductible à sans qu’on soit obligé de développer en fraction-continue périodique, ce qui exige quelquefois qu’on l’évalue d’abord à 40 ou 50 décimales[8], il faudra que ou soit un quarré parfait.

C’est ainsi que l’équation dans laquelle on a devient on a alors ainsi, dans cet exemple, De même l’équation dans laquelle on a devient on a alors ainsi, dans cet exemple,

21. Étant proposée l’équation générale du second degré on peut toujours déterminer un facteur de manière que l’équation soit réductible à Il faudra, pour cela que soit un quarré parfait. étant déterminée de manière à satisfaire à cette condition, on aura

Soit par exemple l’équation qui donne Il faudra déterminer de manière que ou soit un quarré parfait ; on trouvera d’après cela et l’équation sera ou d’où et conséquemment

22. Étant proposée cette même équation générale du second degré qui donne aussi bien que on en tirera facilement les bases initiales, en développant en fraction-continue la fraction

Connaissant ces bases, et par conséquent les médiateurs on peut demander les médiateurs lesquels conduisent ensuite (11) aux bases périodiques on aura :

[9]

et de plus c’est-à-dire ou

Il en résultera

Exemple. Soit proposée l’équation du second degré Il faudra déterminer le facteur numérique de manière que ou devienne un quarré parfait. On trouvera, par les méthodes qui ont été précédemment exposées,  ; multipliant donc l’équation proposée par 12, ce qui donnera on aura

développant alors en fraction-continue la valeur numérique de on aura la base initiale  ; et, après elle, commencera la période. Cela donnera

d’où l’on, conclura, par les formules précédentes,

réduisant donc en fraction-continue le rapport ou on aura la suite des bases périodiques, savoir :

23. On a vu précédemment que, pour transformer en quarré parfait l’expression il faut, en prenant à volonté, transformer en fraction-continue le développement faisant connaître, tant les bases initiales que les bases périodiques, et par conséquent les médiateurs

et que, déduisant de ces médiateurs les valeurs des coefficiens en vertu du N.o 12, les valeurs de seront celles de , tandis que les racines correspondantes seront

Nous en avons fait jusqu’ici l’application au simple cas de voyons actuellement comment il faudra opérer lorsqu’on attribuera à une valeur entière quelconque, différente de l’unité.

Exemple. Proposons-nous de déterminer les valeurs entières de qui peuvent rendre quarrée l’expression

On a ici ainsi il faudra développer en fraction-continue la fraction La racine quarrée de 11 est Quant à la valeur de , elle est arbitraire, pourvu que soit entier. On voit, au reste, qu’il suffit de considérer les valeurs attendu que, passé six, les mêmes résultats doivent constamment revenir, et que la différence ne peut tomber que sur la première des bases initiales, laquelle n’influe en rien sur les valeurs numériques des coefficiens \mathrm{O}. Voici une table qui contient, tant les bases initiales que les bases périodiques qui résultent du développement des fractions dans les différentes suppositions qu’on peut faire pour

Cette table nous apprend que, dans la recherche des valeurs de qui peuvent faire devenir l’expression un quarré parfait, le choix du nombre arbitraire n’est pas indifférent. Dans l’exemple actuel, où et les bases initiales sont partout au nombre de deux ; la première se reconnaît par la seule inspection des nombres Dans la colonne des secondes bases initiales, désignées par , on trouve les nombres qui ne paraissent être soumis à aucune loi connue jusqu’ici. Quant aux bases périodiques, les valeurs et dont la somme est 7, nous font connaître la période composée des nombres Ces mêmes bases, quoique disposées dans un ordre différent, sont encore fournies par les valeurs et conséquemment aussi dont la somme est encore 7. Les valeurs et dont la somme est aussi 7, fournissent la période composée des bases quoique disposées dans un ordre différent. Toutes ces périodes nous font connaître certaines valeurs de , mais elles ne renferment pas la solution complète du problème.

La série complète des valeurs de résulte des développemens que l’on obtient en supposant ou dont la somme est encore 7. Il en provient les deux bases En adoptant cette période, et la valeur 2 pour , on a

ce qui donne

les médiateurs qui en proviennent sont

En appliquant ensuite les formules du n.o 12, on trouve

Les valeurs de qui renferment la solution du problème sont celles de , et les racines qui leur répondent sont . On a donc ainsi ;

valeurs de
racines
(La suite incessamment.)

  1. Quelque facile qu’il puisse paraître, d’après ce principe, de déduire les uns des autres les médiateurs , … ; cependant, lorsqu’on n’a besoin que du dernier, et que le nombre des bases est considérable, l’obligation d’écrire tous les médiateurs qui précèdent celui qu’on cherche, peut entraîner des longueurs, et doit faire désirer quelque méthode au moyen de laquelle on puisse directement écrire un médiateur quelconque, dont les bases sont données, sans que préalablement il soit nécessaire d’en former aucun autre ; c’est à quoi l’on peut facilement parvenir, au moyen des observations suivantes :

    1.o Tout médiateur ne doit renfermer que des termes de dimensions paires seulement ou des termes de dimensions impaires seulement, suivant que le nombre de ses bases est lui-même pair ou impair ; de sorte qu’en général, n représentant le nombre de ces bases, les termes du médiateur seront successivement de , …, dimensions ; cette suite se terminant à zéro dimensions ou à une dimension, suivant que est pair ou impair.

    2.o Tout médiateur n’a jamais qu’un terme unique de dimensions, lequel est le produit de toutes ses bases. Si est pair, le médiateur n’aura pareillement qu’un terme unique de zéro dimensions, et ce terme sera l’unité.

    3.o Les termes intermédiaires sont des produits des diverses bases multipliées à , à , …, à  ; mais ils ne sont pas tous les produits de cette nature, comme on va le dire tout-à-l’heure.

    4.o Dans tout médiateur, les termes sont positifs et sans coefficiens, et, comme jamais la même base n’entre deux fois dans un même terme, ces termes sont aussi sans exposant.

    5.o Enfin on reconnaîtra qu’un produit de facteurs, choisis parmi les bases, doit ou ne doit pas faire partie du médiateur cherché, au moyen de la règle suivante :

    Soient écrits les facteurs de ce produit suivant l’ordre de leur succession alphabétique ; soit aussi écrit le produit de toutes les bases suivant le même ordre, et soit divisé le second produit par le premier, en écrivant le quotient toujours de la même manière.

    Suivant que, dans ce quotient, il y aura ou il n’y aura pas des facteurs, en nombre impair, se succédant sans interruption de la même manière qu’ils le font dans l’alphabet, le produit soumis à l’épreuve devra être rejeté ou admis.

    Ainsi, par exemple, le produit ne peut faire partie du médiateur  ; car et l’on voit, dans ce quotient, les trois, lettres consécutives et la lettre unique  ; au contraire, le produit doit faire partie du médiateur  ; car et l’on ne voit dans ce quotient que les deux lettres consécutives et les quatre lettres consécutives

    D’après ces diverses observations, rien n’est plus aisé que de former immédiatement un médiateur dont les bases sont données, ainsi qu’on va le voir dans l’exemple suivant.

    Exemple. Soit proposé de former le médiateur  ?</>

    Ce médiateur doit contenir des termes de 6, 4, 2, 0, dimensions, et son seul terme de six dimensions est, comme nous l’avons vu ci-dessus,

     ;

    divisant ce premier terme successivement, et de toutes les manières possibles, par un produit de deux lettres consécutives, c’est-à-dire, par et prenant la somme des quotiens, on formera la totalité des termes de quatre dimensions, lesquels seront ainsi

     ;

    divisant ensuite successivement le même premier terme, de toutes les manières possibles, par deux produits de deux lettres consécutives, c’est-à-dire, par et prenant la somme des quotiens, on formera la totalité des termes de deux dimensions, lesquels seront ainsi

     ;

    divisant, enfin, le même premier terme par trois produits de deux lettres consécutives, ce qui ne pourra avoir lieu que d’une manière unique, savoir le quotient 1 de cette division sera le terme de zéro dimensions, c’est-à-dire, le dernier terme du médiateur ; en sorte qu’on aura

    On peut désirer, comme moyen de vérification, de connaître, à l’avance, combien de termes de chaque sorte de dimensions un médiateur doit renfermer, ce nombre de termes est, pour bases et dimensions.

    Le nombre total des termes d’un médiateur de bases, a donc pour expression

    série qui se termine d’elle-même si, comme cela doit toujours être, est entier et positif, et dont la somme des termes peut d’ailleurs être mise sous cette forme finie :

    (Note des éditeurs.)
  2. Les deux proportions ci-dessus équivalent aux deux équations

    desquelles on déduit encore, par l’élimination de \mathrm{L},

    Si maintenant, au moyen de l’équation on élimine successivement et de l’équation il viendra

    mais, en multipliant successivement par et par chacune des deux équations elles deviendront, en transposant,

    formant alors

    on obtiendra, en réduisant, les quatre équations de M. Kramp.

  3. Ces résultats s’obtiennent en résolvant successivement chacune des quatre équations par rapport à chacune des deux lettres qui s’y trouvent au quarré.
  4. L’auteur suppose tacitement ici et conséquemment le nombre des bases périodiques pair.
  5. Cette équation s’obtient en substituant, dans l’équation les valeurs
    (Notes des éditeurs.)
  6. Dans le cas d’une seule base initiale, on a (14)
    donc

    d’où

  7. L’auteur emploie ici des lettres accentuées, pour distinguer entre elles les diverses périodes.
    (Notes des éditeurs.)
  8. Il est même essentiel d’observer qu’à quelque nombre de chiffres décimaux que l’on pousse l’approximation, on ne saurait jamais avoir une entière confiance dans le résultat qu’on en déduit, si l’on n’a vérifié ce résultat, en remontant, à l’équation du second degré dont il doit être une des racines ; : il peut arriver en effet que la suite, soit des bases initiales, soit des bases périodiques présente, dès les commencemens, une périodicité apparente qui fasse prendre le change sur la véritable loi de la fraction-continue. Au surplus, en procédant par la méthode d’approximation de M. Lagrange, on évite tout embarras sur ce point.
    (Note des éditeurs.)
  9. La première équation en du n.o 14 peut être écrite comme il suit :

    En la comparant, à il viendra

    considérant, dans ces équations, comme trois inconnues, et ayant égard à ce que d’où résulte on obtiendra les trois équations de l’auteur ; en y joignant ensuite l’équation on en déduira les valeurs de données dans le texte.

    (Note des éditeurs.)