journalAnnales de mathématiques pures et appliquéesAnnales de mathématiques pures et appliquées, Tome 091819NîmesV9Annales de mathématiques pures et appliquées, 1818-1819, Tome 9.djvuAnnales de mathématiques pures et appliquées, 1818-1819, Tome 9.djvu/3229-240
ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.
Démonstration d’un fait de calcul algébrique très-important et très-remarquable, et des principales conséquences qui en résultent ;
Par M. de Stainville, répétiteur d’analise à l’école royale polytechnique.
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Soit la série indéfinie
et soit une autre série
ne différant uniquement de celle-là qu’en ce que y a pris la
place de Nous nous proposons, en premier lieu, de démontrer
que le produit de ces deux séries est une série composée en de la même manière que la première l’est en et la seconde en c’est-à-dire, que ce produit est
Pour y parvenir, assurons-nous d’abord de la forme des premiers
termes du développement de ce produit ; nous trouverons, pour
ces premiers termes
On voit d’abord que le coefficient de
est Celui de peut
se décomposer en ces deux parties
ou
ou
dont la somme sera conséquemment
Le coefficient de
peut également se décomposer en ces deux parties
or, le multiplicateur de dans la première partie, est évidemment
ce que devient le coefficient de lorsqu’on y change en
et le multiplicateur de dans la seconde est ce que devient ce
même coefficient, lorsqu’on y change en puis donc que
nous avons trouvé que le coefficient de revenait à il en résulte que le multiplicateur de dans la première partie du coefficient de et celui de dans la seconde
sera également
l’ensemble de ces deux parties, ou le coefficient de sera donc
c’est-à-dire,
Il demeure donc prouvé, par ce qui précède, que du moins la
loi dont il s’agit se soutient pour les quatre premiers termes du
produit de nos deux séries ; et il ne serait pas difficile de s’assurer
qu’elle a également lieu pour un plus grand nombre de termes
de ce produit.
Il n’est donc plus question, pour compléter notre démonstration,
que de prouver que si cette même loi se soutient jusqu’au coefficient de
inclusivement, elle aura lieu également pour celui de
or, on trouve, pour le premier de ces deux coefficiens,
et pour le second
Or, en. remarquant que
on verra que ce coefficient peut se décomposer en deux parties
dont la première est
et la seconde
Or, il est aisé de voir que le multiplicateur de dans la première
de ces deux parties, est ce que devient le coefficient de
lorsqu’on y change en et que le multiplicateur de dans
la seconde, est ce que devient ce même coefficient, lorsqu’on y
change en si donc, comme nous le supposons, le coefficient de
est en effet réductible à la forme
le multiplicateur de dans la première de ces deux parties, et
celui de dans la seconde, sera également
en réunissant donc ces deux parties, et ayant égard au facteur
commun qui les affecte, on aura, pour le coefficient de
comme nous l’avions annoncé. Il est donc prouvé, par ce qui
précède, que, si la loi dont il s’agit se soutient jusqu’à un terme
quelconque du produit, elle aura lieu également pour le terme
qui le suivra immédiatement ; puis donc que nous nous sommes
assurés de son existence pour les quatre premiers termes, il s’ensuit
qu’elle a lieu pour tous, et qu’ainsi le théorème est démontré en
toute rigueur.
Pour abréger, désignons par notre première série, c’est-à-dire, posons
nous aurons pareillement
et encore
en conséquence, le théorème qui vient d’être démontré pourra être
écrit sous cette forme très-simple
(I)
On remarquera que, d’après cette notation, on doit évidemment
avoir
Si dans l’équation (I) on change en elle deviendra
mais, en vertu de là même équation
substituant donc, on aura
En supposant que se change en et se conduisant de la
même manière, on prouvera pareillement que
et en poursuivant toujours ainsi, on se convaincra qu’en général
c’est-à-dire, que le produit de tant de série qu’on voudra, de la forme de la série et ne différant les unes des autres qu’en ce
que s’y trouve successivement changé en est une
série composée exactement en de la même manière
quel est la première en la seconde en la troisième en la
quatrième en et ainsi de suite.
Si dans la dernière équation ci-dessus on suppose les quantités
égales entre elles et à la première et leur
nombre égal à elle deviendra
(II)
c’est-à-dire qu’une puissance entière et positive quelconque de
la série est une série composée en de la même manière
que celle-là l’est en
Suivant l’équation (I) on a
posons d’où il viendra, en substituant
d’où
(III)
c’est-à-dire que le quotient de la division de la série par la série
est une série composée en de la même manière que le
dividende l’est en et le diviseur en
Par l’équation (II), on a
posant d’où il viendra
d’où on tirera, en extrayant la racine et renversant
(IV)
c’est-à-dire que la racine d’un degré quelconque entier et positif
, de la série n’est autre chose qu’une série composée en
de la même manière que la puissance l’est en
On aura, d’après cela
c’est-à-dire,
et étant deux nombres positifs quelconques. L’équation (II)
a donc lieu, quelque nombre positif, entier ou fractionnaire qu’on
représente par Il serait ensuite aisé de prouver, à l’aide des
raisonnemens usités en pareil cas, qu’il en sera encore de même
lorsque sera un incommensurable positif quelconque.
On aura encore, quel que soit le nombre positif
ou, d’après ce qui précède et le théorème (II)
Ainsi, quelque nombre entier ou fractionnaire, positif ou négatif,
commensurable ou incommensurable qu’on représente par il
est toujours vrai de dire qu’on a
c’est-à-dire,
et cela quels que soient d’ailleurs et
Si, dans cette équation, on fait et elle deviendra
la formule du binome se trouve donc ainsi démontrée, quel que
soit l’exposant
Si, dans la même équation, on suppose elle deviendra
La série du premier membre est, comme l’on sait, un nombre
incommensurable[1], compris entre et c’est la base du système de logarithmes népériens ; en le représentant par suivant
l’usage, on aura
Si l’on fait auquel cas sera le logarithme népérien de
on aura
formule qui donne le développement des exponentiels en séries ou,
ce qui revient au même, le développement d’un nombre en fonction de son logarithme.
Si, dans cette dernière formule, on change en et en elle deviendra
mais on a, d’un autre côté,
égalant donc entre elles ces deux valeurs, en supprimant l’unité
de part et d’autre, et divisant par il viendra
faisant enfin, dans cette dernière équation, on aura
formule qui donne le logarithme népérien de en fonction
du nombre
Ceux qui désireront de plus amples détails sur ce sujet pourront
consulter nos Mélanges d’analise algébrique et de géométrie (veuve
Courcier, Paris, 1815).
Dans un prochain article, nous nous occuperons du développement
des fonctions circulaires en séries.