Sur les axes principaux d’une surface du second degré

Géométrie Analitique.

Des trois axes rectangulaires des surfaces du second degré, qui ont un centre ; par M. Binet.

Lorsque j’ai publié, en 1801, le Mémoire sur les surfaces du second degré, je m’étois propose de prouver qu’en rapportant la surface du second degré à trois plans rectangulaires, l’équation générale de cette surface pouvoit toujours être ramenée à la forme

La note placée à la suite de ce Mémoire renferme une démonstration rigoureuse de cette proposition ; elle prouve qu’on peut toujours faire disparoître de l’équation générale des surfaces du second degré les trois rectangles , , . M. Binet (J.-P.-M.) a observé que lorsque les surface : du second degré avoient un centre, le calcul de la note qu’on vient de citer, pouvoit être simplifié par la considération suivante : « Ayant un systême de droites parallèles entr’elles, qui servent de cordes à la surface du second degré, il existe un plan perpendiculaire à ces cordes, qui les divise toutes en parties égales, et ce plan est évidemment un des plans rectangulaires de la surface. »

Prenons pour l’équation générale des surfaces du second degré :


et soient


les équations d’une droite qui coupe la surface du second degré en deux points ; on obtiendra les coordonnées de ce point, en combinant ces équations avec l’équation générale , et faisant pour abréger

L’ordonnée du point d’intersection sera donnée par l’équation  ; les deux valeurs de , tirées de cette équation, sont :

pour la première,

et pour la deuxième ;

Donc l’ordonnée du milieu de la droite qui joint les deux points d’intersection, est .

Nommant , , les deux autres coordonnées du même point, on aura par les équations


regardant , comme des coordonnées variables, dont la valeur dépend des quantités et , si, entre ces trois équations, on élimine ces dernières quantités et , l’équation résultante en , , , qu’on peut désigner par les trois lettres , , , appartiendra à la surface qui passe par les centres de toutes les cordes parallèles à la droite des équations .

Les équations donnent :

substituant pour , et leurs valeurs, on a,

réduisant

Cette équation linéaire est celle d’un plan diametral qui passe par les milieux de toutes les cordes parallèles à la droite des équations .

Pour que ce plan soit perpendiculaire aux cordes, il faut qu’il soit parallèle au plan dont l’équation est :

Donc on aura les équations de condition.

ces équations sont linéaires, l’une par rapport à , et l’autre par rapport à  ; éliminant l’une ou l’autre, par exemple, on aura :

mettant dans cette dernière équation pour , sa valeur, et observant que le terme du 4e degré se détruit, l’équation réduite en , est du 3e degré ; ce qui prouve que la surface du second degré ne peut avoir que trois axes rectangulaires ; on tire de cette équation, au moins une racine réelle de  ; à cette valeur réelle de a correspond une autre valeur réelle de , donnée par la première des équations . Substituant ces valeurs réelles de « et al dans l’équation , on a l’équation d’un plan diamétral perpendiculaire à toutes les cordes parallèles à la droite des équations  ; la surface du second de gré étant rapportée à ce plan diamétral, comme l’un des plans coordonnés, son équation sera évidemment de la forme :

Changeant les coordonnées rectangulaires , en d’autres coordonnées rectangulaires , , par les formules connues , on trouve valeur réelle d’après laquelle les axes des et des deviennent les axes rectangulaires de la surface du deuxième degré, conjugués à l’axe déterminé par la racine réelle de , qui est donnée nécessairement par l’équation du troisième degré en .

Enfin, on sait qu’en changeant l’origine des coordonnées, on peut faire disparoître les termes de première dimension par rapport aux variables ; donc l’équation générale des surfaces du second degré qui ont un centre, sera réduite à la forme

, , étant des coordonnées rectangulaires.

H. C.