Recherches générales sur les surfaces courbes/Chapitre XIX

Carl Friedrich Gauss

Recherches générales sur les surfaces courbes

Traduction par M. A..
1852 (p. 37-39).

XIX.

Les formules générales que nous avons trouvées pour la mesure de la courbure et pour la variation de direction de la ligne de plus courte distance dans les art. XI, XVIII, deviennent beaucoup plus simples, si les quantités $p,\ q$ sont choisies de telle sorte que les lignes du premier système coupent toujours orthogonalement les lignes du second système, c’est-à-dire de telle sorte, qu’on ait généralement $\omega =90^{\circ }$ ou $\mathrm {F} =0.$ Alors on a, pour la mesure de la courbure,

$\mathrm {4E^{2}G^{2}} k=E.{\frac {d\mathrm {F} }{dq}}.{\frac {d\mathrm {G} }{dq}}+\mathrm {E} \left({\frac {d\mathrm {G} }{dp}}\right)^{2}+\mathrm {G} .{\frac {d\mathrm {E} }{dp}}.{\frac {d\mathrm {G} }{dp}}+\mathrm {G} .\left({\frac {d\mathrm {E} }{dq}}\right)^{2}$

$-\mathrm {2EG} \left({\frac {d^{2}\mathrm {E} }{dq^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {G} }{dp^{2}}}\right),$

et, pour la variation de l’angle $\theta ,$

${\sqrt {EG}}.d\theta ={\frac {1}{2}}{\frac {d\mathrm {E} }{dq}}.dp-{\frac {1}{2}}{\frac {d\mathrm {G} }{dp}}.dq.$

Parmi les divers cas dans lesquels a lieu cette condition d’orthogonalité, tient le premier rang celui où toutes les lignes de l’un ou l’autre système, par exemple du premier, sont des lignes de plus courte distance. Là, en effet, pour une valeur constante de $q,$ l’angle $\theta$ devient zéro ; d’où l’équation qu’on vient de donner pour la variation de $\theta$ montre qu’on doit avoir ${\frac {d\mathrm {E} }{dq}}=0,$ ou que le coefficient $\mathrm {E}$ doit être indépendant de $q,$ c’est-à-dire que $E$ doit être ou constant ou fonction seulement de $p.$ Le plus simple sera d’adopter pour $p$ la longueur même de chaque ligne du premier système, et même chaque fois que toutes les lignes du premier système concourent en un point, de compter cette longueur de ce point, ou, s’il n’y a pas de commune intersection, d’une ligne quelconque du second système. Ceci compris, on voit que $p$ et $q$ désignent maintenant les mêmes quantités que, dans les art. XV, XVI, nous avions exprimées par $r$ et $\varphi$, et qu’on $\mathrm {E} =1.$ Ainsi, les deux formules précédentes se transforment en celles-ci :

$4\mathrm {G} ^{2}k$	$=$	$\left({\frac {d\mathrm {G} }{dp}}\right)^{2}-2\mathrm {G} {\frac {d^{2}\mathrm {G} }{dp^{2}}},$
${\sqrt {\mathrm {G} }}.d\theta$	$=$	$-{\frac {1}{2}}{\frac {d\mathrm {G} }{dp}}.dq,$

ou, en posant ${\sqrt {\mathrm {G} }}=m,$

$k=-{\frac {1}{m}}.{\frac {d^{2}m}{dp^{2}}},\qquad d\theta =-{\frac {dm}{dp}}.dq.$

Généralement parlant, m sera fonction de $p,\ q,$ et $mdq$ l’expression de l’élément d’une ligne quelconque, du second système. Mais dans le cas particulier où toutes les lignes $p$ partent du même point, évidemment, pour $p=0,$ on doit avoir $m=0\ ;$ donc si, dans ce cas, nous adoptons pour $q$ l’angle même que le premier élément d’une ligne quelconque du premier système fait avec l’élément de l’une d’elles arbitrairement choisie, comme pour une valeur infiniment petite de $p,$ l’élément d’une ligne du second système (qu’on peut considérer comme un cercle décrit du rayon $p$), est égal $pdq,$ on aura, pour une valeur infiniment petite de $p,m=p,$ et ainsi, pour $p=0,$ on aura en même temps $m=0$ et ${\frac {dm}{dp}}=1.$