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PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN.
Si, maintenant, dans l’expression
![{\displaystyle \log \zeta (s)=-\sum \log(1-p^{-s})=\sum p^{-s}+{\frac {1}{2}}\sum p^{-2s}+{\frac {1}{3}}\sum p^{-3s}+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f4c6edd11d385822f2fb63d247f8775a6ae878d)
on remplace
par
,
=
, on obtient
![{\displaystyle {\frac {\log \zeta (s)}{s}}=\int \limits _{1}^{\infty }f(x)x^{-s-1}dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d8f22a586ee71e1a6015fe5a36252e6486989a2)
,
où l’on a désigné par
l’expression
![{\displaystyle \mathrm {F} (x)+{\frac {1}{2}}\mathrm {F} (x^{\frac {1}{2}})+{\frac {1}{3}}\mathrm {F} (x^{\frac {1}{3}})+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39ecf0af9f9f669544c1c2fb8fcd05c01076a26b)
Cette équation a lieu pour toute valeur complexe
de
, pourvu que
. Mais lorsque, sous ces hypothèses, l’équation suivante
![{\displaystyle g(s)=\int \limits _{0}^{\infty }h(x)x^{-s}d\log x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c0f0d7778d4058fd20e8f67ede9c901972ac2a5)
a lieu, l’on peut, à l’aide du théorème de Fourier, exprimer la
fonction
par la fonction
. Cette équation, quand
est réel
et que
![{\displaystyle g(a+bi)=g_{1}(b)+ig_{2}(b),\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d8df42a1b0ed917b50ba2184348011ec552ddbf)
se décompose en les deux suivantes :
![{\displaystyle ig_{2}(b)=-i\int \limits _{0}^{\infty }h(x)x^{-a}\sin(b\log x)d\log x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/975f7132e4f32a5adfdf823cc543d82ee6d74256)
Lorsque l’on multiplie les deux équations par
![{\displaystyle \,\left[\cos(b\log y)+i\sin(b\log y)\right]db}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c34fb85ec4149b86872fb39bf53ba7689a711535)
,
et que l’on intègre de
à
, l’on obtient, en vertu du théorème
de Fourier, dans les seconds membres des deux équations
, et, par conséquent, en ajoutant les deux équations et
multipliant par
, on a
![{\displaystyle 2\pi ih(y)=\int \limits _{a-\infty i}^{a+\infty i}g(s)y^{s}ds}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7972e2ee2f46f18931522c043ed4d25785583dc)
,