dirons de même : la droite d’un espace à trois dimensions est une droite située dans cet espace et telle que par deux points de cet espace il n’en passe qu’une.
D’après cela, à deux valeurs particulières du paramètre de la géométrie générale correspondent deux espaces à trois dimensions différents et, dans ces deux espaces, deux droites différentes, puisqu’une figure qui appartient à l’un de ces espaces ne peut être transportée dans l’autre : en un mot, une figure quelconque étant définie en géométrie générale, elle se particularise dans chaque espace particulier,
C’est-à-dire pour chaque valeur particulière du paramètre, de sorte qu’aucune ligure ne peut appartenir à la fois à plusieurs espaces.
En résumé, la géométrie générale basée sur la définition a est la géométrie synthétique d’un nombre infini d’espaces géométriques absolument distincts et la géométrie euclidienne est la géométrie d’un seul de ces espaces.
IV
Disons quelques mots des principales particularités géométriques qui distinguent l’espace euclidien de tous les autres. D’abord la ligne droite de cet espace jouit, par définition, de la propriété b.
De plus, Legendre a montré que cette propriété b de la ligne droite équivaut à la proposition suivante : Dans un triangle, la somme des angles est égale à deux angles droits.
On peut même montrer que, si cela a lieu pour un seul triangle, cela est encore vrai pour tous les autres triangles du même espace. D’où ces deux conséquences :
Si, dans un espace, la somme des angles d’un seul triangle est égale à deux angles droits, cet espace est euclidien.
Dans tout autre espace que l’espace euclidien, la somme des angles d’un triangle est toujours différente de deux angles droits.
Enfin, une des propriétés fondamentales de l’espace euclidien est d’être le seul espace homogène ; expliquons ce que cela veut dire. Soit un triangle dont les côtés ont respectivement 7, 8 et 13 mètres de longueur ; on sait qu’on peut construire un second triangle ayant les mêmes angles et des côtés mesurés par les nombres 7, 8 et 43 millimètres C’est ce qu’on exprime en disant que l’on peut construire une figure à diverses échelles ; il n’y a là qu’un simple changement dans l’unité de longueur (le millimètre au lieu du mètre par exemple), mais les angles et les nombres qui mesurent les côtés restent les mêmes.
Algébriquement cela revient à dire que les relations métriques des figures se traduisent toujours en formules homogènes. L’espace
