de se confondre en une seule sans déformation, sont, d’après cela, deux espaces à deux dimensions différents : telles sont, par exemple, deux surfaces sphériques de rayons inégaux. Ne parlons pour le moment que des espaces à deux dimensions de la géométrie euclidienne ; on appelle géodésique d’un espace à deux dimensions une ligne appartenant à cet espace et telle que par deux points de cet espace il n’en passe qu’une : si par exemple cet espace à deux dimensions est une surface sphérique, la géodésique doit être située sur cette surface et y être déterminée par deux points.
Il suit de là que les géodésiques de deux surfaces sphériques différentes, par exemple, ont une définition identique et sont cependant des lignes différentes : d’une façon générale, les géodésiques des divers espaces à deux dimensions, bien que différentes, ont une définition commune, des propriétés communes et satisfont à une même géométrie.
Maintenant généralisons cette idée d’espaces à deux dimensions différents et étendons-la à des espaces à trois dimensions ; il est bien entendu qu’il s’agit là d’une généralisation purement géométrique qui n’a nullement besoin pour se concevoir d’une réalisation matérielle : nous allons voir que cette conception de divers espaces à trois dimensions s’adapte très bien à notre géométrie générale et nous fournit l’explication du paramètre qui caractérise cette géométrie.
Ce qui, en géométrie euclidienne, caractérise deux espaces à deux dimensions différents, c’est l’impossibilité de les faire coïncider sans déformation, ou de transporter une figure telle quelle de l’un dans l’autre ; ainsi un triangle sphérique ne peut être transporté d’une sphère sur une autre de rayon différent.
Nous dirons de même que deux espaces à trois dimensions sont différents lorsque les figures de l’un d’eux ne peuvent être transportées telles quelles dans l’autre, ce passage ne pouvant se faire, comme dans le cas du triangle sphérique, qu’en modifiant la forme et les propriétés métriques des figures.
Dès lors, il suffit, pour faire disparaître la contradiction apparente à laquelle donne lieu la géométrie générale, de considérer le paramètre de cette géométrie comme un paramètre spatial dont chaque valeur particulière correspond à un espace à trois dimensions particulier ; dans ces conditions, la définition de la droite générale caractérisée par la propriété a peut prendre une forme plus précise qui lève immédiatement toute difficulté. Nous avons appelé géodésique d’un espace à deux dimensions une ligne située dans cet espace et telle que par deux points de cet espace il n’en passe qu’une ; nous.
