Or, lorsque l’on compare les formules de la géométrie générale aux formules de la géométrie euclidienne, on voit que les premières contiennent toutes un même paramètre général qui, pour une certaine valeur particulière, ramène à la géométrie euclidienne[1].
Ce résultat était d’ailleurs facile à prévoir : de même en effet que les coniques dont nous venons de parler diffèrent de la parabole par un paramètre variable (l’excentricité) qui en prenant une valeur particulière donne la parabole ; de même la droite générale doit dépendre d’un paramètre qui pour une certaine valeur donne la droite particulière euclidienne.
Au surplus, une ligne ne peut être plus générale qu’une autre ligne qu’à la condition de dépendre au moins d’un paramètre en plus.
III
Mais, lorsque l’on veut s’expliquer le sens de ce paramètre qui caractérise notre géométrie générale, une difficulté se présente.
Si, en effet, dans cette géométrie générale on cherche la droite qui passe par deux points, cette droite, comme on devait s’y attendre, dépend du paramètre général, de sorte qu’il y aurait, passant par ces deux points, une infinité de droites, savoir une correspondant à chaque valeur du paramètre, ce qui est en contradiction avec la définition a de la ligne droite.
Cette contradiction apparente n’est pas particulière au cas que nous venons de citer, elle s’étend à toute la géométrie générale ; en voici encore un exemple.
En géométrie euclidienne le volume d’une sphère ne dépend que de son rayon ; en géométrie générale la formule qui exprime ce volume en fonction du rayon contient encore le paramètre général, de sorte que notre sphère de rayon déterminé aurait un volume spécial correspondant à chaque valeur du paramètre, ce qui serait une absurdité.
Si donc notre géométrie générale impliquait ainsi dans toutes ses formules et dans toutes ses propositions une pareille absurdité, elle cesserait d’être légitime et devrait être rejetée.
Mais nous allons voir que cette contradiction n’est qu’apparente.
Appelons, suivant l’usage, espace à une, deux et trois dimensions une ligne, une surface et un volume.
Deux surfaces de forme différente, c’est-à-dire non susceptibles
- ↑ Dans les formules de Lobatchefsky ce paramètre n’est pas en évidence, parce que cet auteur choisit une unité particulière, mais ce paramètre apparaît dès qu’on adopte une autre unité.
