LES ESPACES GÉOMÉTRIQUES
I
La géométrie dite non euclidienne a surtout un intérêt philosophique ; nous allons essayer ici d’indiquer succinctement, et sans l’appareil des formules, quelques-unes des conséquences de cette géométrie relativement à notre conception de l’espace.
On sait que l’ordre dans lequel on présente les diverses propositions de la géométrie ne saurait être arbitraire ; mais cet ordre n’a cependant rien d’absolu ; ainsi il est d’usage d’étudier d’abord les figures planes ; on pourrait tout aussi bien commencer par l’étude des figures sphériques[1]. Un ordre étant adopté, la définition d’une ligne géométrique doit remplir les conditions suivantes :
1o Cette définition doit convenir à toutes les lignes du genre qu’on veut définir et seulement à ces lignes ; autrement dit, on définit une ligne par une propriété caractéristique.
2o La définition ne doit énoncer que des relations de la nouvelle ligne avec d’autres lignes procédemment étudiées.
3o Il doit être évident, d’après les connaissances géométriques antérieurement acquises, que la définition ne présente aucune contradiction et qu’elle est bien compatible avec l’existence d’une ligne.
Les mêmes conditions s’imposent pour la définition des surfaces.
Or ces règles générales d’une bonne définition deviennent inapplicables quand il s’agit de définir la ligne droite, considérée comme première ligne de la géométrie ; nos deux dernières règles du moins cessent, dans ce cas, d’avoir un sens. Nous sommes ainsi amené à nous poser la question suivante : à quoi peut-on reconnaître qu’une définition de la ligne droite est légitime ? En réalité nous avons tous, avant toute culture scientifique, une certaine notion expérimentale de la ligne droite ; cela suffit dans l’enseignement pour servir de base à la géométrie ; mais laissons ce point de vue de côté
- ↑ Voir à ce sujet notre Étude sur la sphère, la ligne droite et le plan (Berger-Levrault et Cie, 1888).
